L’insieme dei numeri reali \(\mathbb{R}\) è la base sulla quale sono costruiti i principali settori dell’analisi matematica classica: il calcolo differenziale e integrale, le equazioni differenziali, il calcolo delle probabilità, ecc. Come è noto l’insieme di numeri reali è costituito da due grandi sottoinsiemi: l’insieme dei numeri razionali \(\mathbb{Q}\) l’insieme Leggi tutto…
In questo articolo studieremo le partizioni dei numeri interi positivi e, in particolare, la funzione aritmetica \(p(n)\), che conta il numero di partizioni di \(n\). 1) La teoria additiva dei numeri e le partizioni La teoria dei numeri ha due branche fondamentali: la teoria moltiplicativa e la teoria additiva. La teoria Leggi tutto…
La nascita della probabilità classica può essere fissata nel secolo XVII, motivata in particolare dall’esigenza di risolvere problemi relativi al gioco d’azzardo. Già nel secolo precedente alcuni studiosi, in particolare Cardano, avevano dato un contributo importante per calcolare le probabilità nei casi più semplici. Tuttavia solo nel secolo successivo Pascal Leggi tutto…
In questo articolo studieremo alcune proprietà delle serie di Lambert. Quindi, mediante la serie di Lambert relativa alla rappresentazione dei numeri interi come somma di due quadrati, calcoleremo il valore dell’integrale di probabilità di Gauss. 1) Le funzioni generatrici di Dirichlet Ricordiamo brevemente alcune proprietà delle funzioni generatrici di Dirichlet. Leggi tutto…
Le frazioni continue sono uno strumento molto efficiente per calcolare la migliore approssimazione di un numero reale tramite numeri razionali. Sono utilizzate in molti settori della Matematica: teoria dei numeri, analisi complessa, sistemi dinamici. Sono utili anche per studiare i problemi meccanici in cui sono presenti movimenti con periodi diversi. Leggi tutto…
L’algoritmo di Euclide permette di calcolare il massimo comune divisore (MCD) di due numeri interi. È descritto nel Libro VII degli ‘Elementi’ di Euclide, la grande opera pubblicata intorno al 300 a.C. Nonostante l’età, resta un algoritmo molto efficiente dal punto di vista computazionale e viene ancora utilizzato con i Leggi tutto…
In questo articolo proponiamo alcuni esercizi di matematica elementare. Per eventuali chiarimenti si può utilizzare la email del blog oppure la sezione commenti. Esercizio 1 Sia dato un poligono regolare di \(n\) lati, ognuno di lunghezza \(L\), nel quale sono inscritti \(n\) cerchi. Ogni cerchio è tangente a due lati Leggi tutto…
In questo articolo descriveremo il famoso Problema di Basilea, proposto inizialmente dal matematico Pietro Mengoli nel 1644. Descriveremo le prime soluzioni di Eulero e anche soluzioni successive fornite da altri matematici. 1) Il problema di Basilea Il problema posto da Mengoli consiste nel calcolare la somma della seguente serie infinita Leggi tutto…
Generalmente la nascita del calcolo delle probabilità viene fissata nella metà del XVII secolo. In quel periodo i due grandi matematici Blaise Pascal (1623–1662) e Pierre de Fermat (1601– 1665) discussero insieme alcuni problemi relativi al gioco d’azzardo e definirono le basi teoriche della teoria matematica della probabilità classica. Tuttavia Leggi tutto…
Il numero \( \pi \) occupa un ruolo centrale nella Matematica da oltre 2500 anni. Il suo valore è approssimativamente uguale a 3,14. Nella geometria euclidea è definito come il rapporto fra la lunghezza della circonferenza e il diametro di un cerchio. Come è noto nella geometria euclidea tale rapporto Leggi tutto…