In questo articolo proponiamo alcuni esercizi di matematica elementare. Per eventuali chiarimenti si può utilizzare la email del blog oppure la sezione commenti. Esercizio 1 Sia dato un poligono regolare di \(n\) lati, ognuno di lunghezza \(L\), nel quale sono inscritti \(n\) cerchi. Ogni cerchio è tangente a due lati Leggi tutto…
In questo breve articolo presenteremo alcuni problemi relativi alla determinazione dei punti a coordinate intere contenuti all’interno o sulla frontiera di alcune figure piane. Questo tipo di problema presenta aspetti molto interessanti e trova importanti applicazioni in vari settori della matematica. 1) Il reticolo piano degli interi Un punto del Leggi tutto…
Esercizio 1 Dimostrare che \[ \sum_{k=1}^{100}k! \equiv 0 \pmod {11} \] SoluzionePer trovare il resto della somma divisa per \(11\) bisogna trovare il resto della divisione per la somma dei primi \(10\) termini, in quanto dall’undicesimo in poi tutti sono divisibili per \(11\). Possiamo scomporre la somma dei primi \(10\) Leggi tutto…
Esercizio 1 I numeri di Fermat sono così definiti: \(F_{n}=2^{2^{n}}+1\). Dimostrare che tutti i numeri di Fermat con \( n>1\) hanno l’ultima cifra uguale a \(7\). SuggerimentoIl numero \(2^{2^{2}}=16\) termina con la cifra \(6\). Lo stesso vale quindi per i numeri \(2^{2^{n}}\) con \(n > 2\). Per le proprietà dei Leggi tutto…
Esercizio 1 Sia \(x_{1}=2\) e \(x_{n+1}= x_{n}^{2} – x_{n}+1\). Dimostrare che i numeri \(x_{n}\) sono primi fra loro. SoluzioneI valori della successione si ottengono iterando il polinomio \(P(x)=x^{2}-x+1\). Ragionando per induzione si può vedere facilmente che dato \(m <n\) risulta la seguente relazione: \[ x_{n}= x_{m}Q(x_{m}) +1 \] dove \(Q(x)\) Leggi tutto…
Problema 1 Sia dato un mazzo di \(52\) carte da poker disposte in un ordine qualsiasi. Quante mischiate devono essere fatte prima che il mazzo ritorni nell’ordine iniziale? Le mischiate devono essere fatte soltanto nel seguente modo: dividere il mazzo in due gruppi uguali di \(26\) carte; quindi muovere alternativamente Leggi tutto…
Problema Sia dato un poligono convesso di \(n\) lati. Calcolare in quanti modi diversi il poligono può essere diviso in triangoli mediante diagonali che non si intersecano. Questo problema venne proposto da Eulero nel 1751 al suo amico Christian Goldbach. Il numero delle diverse triangolazioni trovato da Eulero, indicato con Leggi tutto…
In questo articolo presentiamo alcuni esercizi della Teoria elementare dei numeri, che non richiedono conoscenze matematiche avanzate. Seguiranno altri articoli con esercizi collegati ai vari settori di questa affascinante branca della matematica.Ricordiamo che il simbolo \(\left\lfloor x \right\rfloor\) indica la parte intera del numero reale \(x\), cioè il più grande Leggi tutto…
Problema Supponiamo di utilizzare solo le cifre dell’insieme \(A= \{1,2,3,4,5\} \). Quanti numeri di \(n\) cifre dell’insieme \(A\) possono essere formati, se le cifre adiacenti differiscono esattamente di 1? Indichiamo il numero cercato con \(a(n)\). SuggerimentoSe \(n=1\) abbiamo gli interi \({1,2,3,4,5}\).Se \(n=2\) abbiamo gli interi \({12,21,23,32,34,43,45,54}\).All’aumentare del numero delle cifre Leggi tutto…
In questo articolo vengono proposti alcuni problemi di natura combinatoria relativi alla scacchiera e al gioco degli scacchi, che tuttavia hanno un ambito di applicazione anche in altri settori della matematica. Esercizio 1 Numeriamo la scacchiera \(8 \times 8\) con i numeri da 1 a 64. Disporre 8 torri sulla Leggi tutto…