Scacchi e Matematica – Torri, Regine e il Polinomio della Torre

Affinché le torri non possano attaccarsi è necessario che in ogni riga e in ogni colonna ci sia una ed una sola torre. L’elemento presente nella riga i-esima e nella colonna j-esima ha il valore \(c_{ij}= j+ 8(i-1)\). Comunque siano disposte le torri, entrambi i coefficienti \(i,j\) devono apparire 8 volte. Quindi la somma cercata è:

Come generalizzazione dimostrare che nel caso di una scacchiera \(n \times n\) e di \(n\) torri disposte in modo da non attaccarsi fra loro, la somma risulta:

Il numero minimo di quadrati che ogni regina può attaccare da qualunque posizione è 21, come si può facilmente verificare. Se la regina si trova nella prima o ottava riga, oppure nelle prima o ottava colonna, allora 21 è anche il numero massimo. Tuttavia se si trova nella seconda o settima riga, oppure nella seconda o settima colonna il numero massimo diventa 23. Proseguendo il massimo diventa 25 se si trova nella terza o sesta riga/colonna, e 27 nella quarta o quinta riga/colonna. Ora le caselle presenti nelle 4 regioni distinte sono rispettivamente 28,20,12,4. Supponiamo ora che le due regine abbiano posizioni iniziali casuali su due caselle. Calcoliamo inizialmente la probabilità \(p_{1}\) che possano attaccarsi. Applichiamo il principio delle probabilità composte:

La probabilità che non possano attaccarsi è quindi \(p_{2}=1 -p_{1} \approx 0,63\).
Per uno studio del calcolo delle probabilità e in particolare del principio delle probabilità composte vedere ad esempio ^[1].

Supponiamo inizialmente che le torri siano distinguibili tra loro. In questo caso per la prima torre abbiamo \(n^{2}\) possibilità di scelta. Per la seconda le possibilità sono \((n-1)^{2}\), ecc. Quindi in totale le possibili configurazioni sono

dove \(D_{n,k}\) indica il numero delle disposizioni di n oggetti presi a gruppi di k. Poiché le torri non sono distinte, per risolvere il problema dobbiamo dividere per \(k!\).
Ricordiamo la seguente relazione fra le disposizioni e le combinazioni, espresse dal coefficiente binomiale:

La soluzione cercata \(r_{k}\) è data quindi dalla seguente espressione:

Ad esempio il significato dell’espressione \(R_{2}(x)\) è che su una scacchiera \(2 \times 2\) due torri possono essere disposte in due modi, una torre può essere disposta in quattro modi, mentre zero torri possono essere disposte in un modo (nella scacchiera vuota).
Si può verificare facilmente che i primi polinomi della torre hanno radici reali, distinte, tutte negative. Questa è una proprietà generale valevole per ogni grado \(n\) del polinomio, che si può dimostrare per induzione utilizzando la formula di ricorsione sopra riportata e il teorema di Rolle dell’analisi matematica.