In questo articolo studieremo la legge dei grandi numeri, un importante teorema di teoria della probabilità e statistica. In termini semplici questa legge afferma che, effettuando delle misurazioni su un campione preso da una popolazione, al crescere della grandezza del campione la media aritmetica di una grandezza misurata del campione Leggi tutto…
Le catene di Markov sono un modello stocastico utile per modellizzare e analizzare sistemi che evolvono secondo certe distribuzioni di probabilità. È un processo stocastico importante che ha trovato applicazione in diversi settori: fisica, biologia, scienze sociali, economia, ingegneria, ecc. La teoria delle catene di Markov è stata inizialmente sviluppata Leggi tutto…
La teoria della probabilità, nata soprattutto per esigenze dovute ai giochi d’azzardo, è diventata una disciplina matematica fondamentale in molti settori della scienza e della tecnologia: fisica, biologia, ingegneria, scienze sociali, ecc. “Il concetto di probabilità è il più importante della scienza moderna, soprattutto perché nessuno ha la più pallida Leggi tutto…
1) Huygens Christiaan Huygens (1629-1695) è stato un importante scienziato, che ha dato contributi in diversi settori della scienza: matematica, fisica, astronomia, meccanica. Tra i suoi principali contributi ricordiamo: la teoria ondulatoria della luce; la scoperta della forma degli anelli di Saturno; lo studio dell’azione delle forze sui corpi; la Leggi tutto…
Il questo articolo studieremo un importante risultato, chiamato lemma o teorema di Burnside (1852-1927), che è molto utile per contare le configurazioni di un oggetto, tenendo conto delle simmetrie. In realtà il teorema era stato dimostrato in precedenza da Frobenius (1849-1917) e ancora prima da Cauchy (1789-1857 ), per cui Leggi tutto…
La nascita della probabilità classica può essere fissata nel secolo XVII, motivata in particolare dall’esigenza di risolvere problemi relativi al gioco d’azzardo. Già nel secolo precedente alcuni studiosi, in particolare Cardano, avevano dato un contributo importante per calcolare le probabilità nei casi più semplici. Tuttavia solo nel secolo successivo Pascal Leggi tutto…
Generalmente la nascita del calcolo delle probabilità viene fissata nella metà del XVII secolo. In quel periodo i due grandi matematici Blaise Pascal (1623–1662) e Pierre de Fermat (1601– 1665) discussero insieme alcuni problemi relativi al gioco d’azzardo e definirono le basi teoriche della teoria matematica della probabilità classica. Tuttavia Leggi tutto…
Dopo aver introdotto le funzioni generatrici ordinarie in un precedente articolo (link), studiamo ora le proprietà delle funzioni generatrici esponenziali e presentiamo alcune applicazioni importanti. 1) Le funzioni generatrici esponenziali Definizione 1.1Data una successione di numeri reali \(\{a_{0},a_{1},a_{2}, \cdots \}\), si chiama funzione generatrice esponenziale (EGF – exponential generating function) Leggi tutto…
1) Funzioni generatrici ordinarie di una variabile Le funzioni generatrici sono uno strumento importante per risolvere problemi combinatoriali di vario tipo. Un problema tipico è il calcolo del numero di oggetti in funzione della dimensione \(n\), che possiamo indicare con \(a_{n}\). Per ogni valore di \(n\) intero non negativo abbiamo Leggi tutto…
In un precedente articolo abbiamo introdotto alcuni esempi di frattali, illustrando le loro principali caratteristiche, qualitative e quantitative: autosimilarità, irregolarità geometrica, dimensione frazionaria. Per approfondire lo studio della scienza dei frattali è necessario in primo luogo dare una definizione più rigorosa del contesto matematico in cui sono definiti gli oggetti Leggi tutto…