Huygens – Il Calcolo delle Probabilità e il Gioco d’Azzardo

1) Huygens

Christiaan Huygens (1629-1695) è stato un importante scienziato, che ha dato contributi in diversi settori della scienza: matematica, fisica, astronomia, meccanica. Tra i suoi principali contributi ricordiamo:

• la teoria ondulatoria della luce;
• la scoperta della forma degli anelli di Saturno;
• lo studio dell’azione delle forze sui corpi;
• la costruzione del primo orologio a pendolo (descritto nel suo libro ‘Horologium Oscillatorium’);
• la definizione delle basi matematiche per la teoria della probabilità.

La teoria ondulatoria di Huygens considera la luce come un’onda che si trasmette in un mezzo di trasmissione. Purtroppo la sua teoria non venne considerata, in quanto venne preferita la teoria corpuscolare di Newton. Dovranno passare circa \(150\) anni prima che la teoria di Huygens venga considerata corretta. Uno dei successi di questa teoria è la spiegazione del fenomeno della diffrazione della luce, non spiegabile con la teoria corpuscolare.
Un’altro contributo di Huygens è lo sviluppo di telescopi sempre più potenti, con i quali fece importanti scoperte relative alla luna di Saturno (Titano) e agli anelli del pianeta.
Scrisse anche due libri di matematica. Il primo è ‘Theoremata de quadratura hiperboles, ellipsis et circuli’ (1651), riguardante la quadrature delle sezioni coniche, e il secondo è ‘De circuli magnitudine inventa’, nel quale viene esposta la teoria delle evolute e evolventi delle curve.
Nel \(1657\) Huygens pubblicò al sua fondamentale opera riguardante il calcolo delle probabilità: ‘Libellus de Ratiociniis in Ludo Aleae’ (Trattato sui ragionamenti nel gioco dei dadi), che diventò il testo di riferimento del calcolo delle probabilità per diversi anni. In questo libretto Huygens diede una sistemazione teorica ai risultati ottenuti dai sui predecessori (Pascal, Fermat) nella soluzione dei problemi di gioco d’azzardo (vedi articolo su questo sito).
Per una panoramica sui contributi di Huygens nei vari campi vedere Wikipedia.

2) L’aspettazione e il postulato fondamentale di Huygens

Il calcolo delle probabilità è nato nel XVI secolo grazie agli studi dei matematici Cardano, Pascal e Fermat, i quali erano interessati a risolvere problemi legati al gioco d’azzardo. Un problema importante era quello di determinare le condizioni affinché un gioco sia equo. Possiamo definire un gioco equo se nessun giocatore è avvantaggiato, e quindi ripetendo il gioco un grande numero di volte il guadagno medio dei vari giocatori è nullo.
Al tempo di Pascal e Fermat non era ancora stato chiarito il concetto di valore atteso di una variabile aleatoria. Si tratta di un valore medio pesato sulle probabilità dei diversi eventi, che permette ai giocatori di conoscere e quindi valutare l’equità del gioco d’azzardo in termini oggettivi.
Per definire un gioco equo Huygens introdusse il concetto fondamentale di aspettazione (exspectatio in latino). Huygens non definì il gioco equo mediante l’uguaglianza delle probabilità, ma utilizzò l’analogia legale dello scambio o contratto equo, in cui tutti i giocatori hanno la stessa aspettazione. Secondo Huygens l’aspettazione misura il valore del gioco, cioè il giusto prezzo da pagare per partecipare al gioco.
Dal punto di vista concettuale l’aspettazione di Huygens è diversa dal concetto moderno di “valore atteso”. Tuttavia dal punto di vista pratico, negli esempi trattati da Huygens, il concetto di aspettazione da gli stessi risultati di quello che oggi viene chiamato valore atteso (o valore medio o speranza matematica) di una variabile aleatoria.
Il concetto di valore atteso è in genere attribuito a Huygens, tuttavia ricordiamo che è già presente in Pascal nel \(1654\), nella sua soluzione del problema dei punti. Bisogna comunque riconoscere che Huygens per primo definisce e utilizza questo concetto in modo preciso e sistematico.

2.1) Il postulato fondamentale di Huygens

Il libro di Huygens ‘Libellus de Ratiociniis in Ludo Aleae’ può essere suddiviso in quattro sezioni:

• introduzione
• postulato fondamentale
• \(14\) proposizioni
• \(5\) esercizi

Huygens formulò il principio fondamentale alla base dei giochi d’azzardo:

“In un gioco d’azzardo la eventualità o aspettazione (exspectatio geometrica) di vincere una cosa, deve avere lo stesso lo valore che, se il giocatore la possedesse, gli sarebbe possibile procurarsi la stessa eventualità o aspettativa, con un gioco equo, cioè un gioco che non miri a danneggiare nessuno.”

Huygens illustra questo postulato con questo esempio: “Se qualcuno, a mia insaputa, nasconde tre monete in una mano e sette nell’altra, e mi chiede di scegliere fra le due mani, io dico che questa offerta ha per me lo stesso valore che se mi regalassero cinque monete. Infatti, se possiedo cinque monete, posso nuovamente pormi nella situazione di avere la stessa possibilità di ottenere o tre o sette monete; e ciò con un gioco equo.”

Sulla base del suo postulato fondamentale, Huygens costruisce le \(14\) proposizioni.
Come detto in precedenza, il termine aspettazione deve essere inteso come il valore del gioco, cioè la quantità giusta della posta che si deve pagare per partecipare ad un gioco equo. Il postulato di Huygens definisce l’aspettazione tramite il concetto di gioco equo, il quale a sua volta può essere definito come un gioco in cui i giocatori hanno aspettative proporzionali alle quote versate. Quindi sembra una definizione circolare, a meno che non si riesca a dare una definizione di gioco equo senza usare il concetto di aspettazione.

2.2) Definizione moderna di valore atteso di una variabile aleatoria

Il concetto di valore atteso è fondamentale nel calcolo delle probabilità. Sia data una variabile aleatoria discreta \(X\), che assume i valori \(\{x_{1},x_{2}, \cdots,x_{n}\}\), con probabilità rispettive \(\{p_{1},p_{2},\cdots,p_{n}\}\). La definizione moderna del valore atteso \(E(X)\) è la seguente:

\[ E(X)=\sum\limits_{k=1}^{n}p_{k}x_{k} \]

La definizione si estende anche al caso di una variabile aleatoria discreta che assume una infinità numerabile di valori. In tal caso la somma finita diventa una serie infinita.
Nel caso continuo la somma viene sostituita da un integrale:

\[ E(X)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx \]

dove \(f(x)\) è la densità di probabilità della variabile aleatoria \(X\).
La notazione \(E(X)\) deriva dalla parola latina exspectatio, che è il termine introdotto da Huygens nel suo libro. Il valore atteso viene anche chiamato valore medio e si usa spesso anche la notazione \(M(X)\).

3) Le proposizioni di Huygens

Nelle sue \(14\) proposizioni Huygens illustra l’utilizzo dell’aspettazione per risolvere semplici giochi d’azzardo.
In questo paragrafo analizziamo le varie proposizioni di Huygens, utilizzando termini moderni.

Proposizione I
Se con uguale facilità posso ottenere una somma \(a\) oppure una somma \(b\), allora la mia aspettazione (il mio valore atteso) è \(\dfrac{a+b}{2}\). 

Riportiamo la dimostrazione di Huygens:
Huygens chiama \(x\) il valore dell’aspettazione del giocatore \(A\) nel gioco in esame \(G\). In base al suo postulato, assume che l’aspettazione possa essere derivata simulando un gioco ausiliario \(\overline{G}\), che sia equo e tale che tutti i possibili risultati di \(\overline{G}\) sono gli stessi del gioco \(G\).
Il gioco ausiliario \(\overline{G}\) è il seguente: due giocatori versano la stessa somma \(x\) con l’accordo che il vincitore donerà la somma \(a\) a chi perde e incasserà la somma restante \(2x−a\). La somma \(a\) è in genere minore di \(x\) ed è una sorta di consolazione per la perdita \(x-a\). In base all’ipotesi della proposizione \(I\) deve essere \(2x−a = b\) e quindi si ottiene \(x=\dfrac{a+b}{2}\). Quindi la posta giusta per il gioco è \(\dfrac{a+b}{2}\) per ognuno dei due giocatori.
Notiamo che nella proposizione I, si assume che le probabilità di vincita o perdita siano uguali.

Nella proposizione II Huygens afferma che se un giocatore ha uguali possibilità di guadagnare \(a\), \(b\), oppure \(c\), allora l’aspettazione è \(\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)\). Più in generale si può dimostrare che se abbiamo \(n\) risultati possibili \(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\) con la stessa probabilità, l’aspettazione è \(\left(\dfrac{a_{1}+\cdots + a_{n}}{n}\right)\).

La proposizione III tratta il caso in cui i risultati del gioco non sono equivalenti (in termini moderni gli eventi non sono equiprobabili). La formulazione è la seguente:

Proposizione III
Siano \(p\) il numero di opportunità nei quali mi spetta \(a\) e \(q\) il numero di opportunità in cui mi spetta \(b\), supponendo che tutti questi casi abbiano la stessa possibilità di accadere; allora la mia aspettazione avrà il valore

\[ \dfrac{ap+bq}{p+q} \]

Dimostrazione
Notiamo che i termini \(p,q\) sono numeri naturali e non sono probabilità.
Indichiamo con \(x\) l’aspettazione del gioco. Supponiamo che ci siano \(p+q\) giocatori, ognuno dei quali gioca la somma \(x\). La somma totale è quindi \(S=(p+q)x\). Uno dei \(p\) giocatori, indicato con \(A\), stipula con gli altri \(q\) giocatori il seguente contratto: chi di loro vincerà darà la somma \(b\) ad \(A\); a sua volta \(A\), se vince, darà \(b\) a ciascuno di loro. Inoltre \(A\) stipula con gli altri \(p-1\) giocatori un contratto simile, utilizzando la somma \(a\) al posto della \(b\).
Supponendo che gli esiti siano equivalenti, nel caso non vinca, il giocatore \(A\) ha \(q\) aspettazioni uguali a \(b\), \(p-1\) aspettazioni uguali ad \(a\). In un solo caso, quando vince, il giocatore \(A\) riceve la somma \((p+q)x-bq-a(p-1)\). 
A questo punto imponiamo che sia

\[ (p+q)x – bq – a(p-1)=a \]

In questo modo ho \(p\) possibilità di ottenere \(a\) e \(q\) possibilità di ottenere \(b\), come nel gioco iniziale. Risolvendo l’equazione abbiamo infine

\[ x = \frac{ap+bq}{p+q} \]

Le proposizioni V-IX discutono del problema dei punti nel caso di due e anche di tre giocatori. La soluzione è simile a quella data da Pascal (vedi articolo su questo sito citato in precedenza).
Con la Proposizione VIII, Huygens generalizza il problema della ripartizione della posta al caso in cui siano coinvolti tre giocatori.
Con la proposizione X Huygens si occupa di problemi relativi al gioco con i dadi.

Proposizione X
Determinare quali sono le possibilità che esca il numero \(6\) con un certo numero di lanci di un dado.

In altre parole si tratta di stabilire il numero minimo di lanci di un dado per avere un vantaggio nell’ottenere un \(6\). La convenienza a scommettere si ha quando la probabilità di vincere è maggiore di \(\dfrac{1}{2}\).
Nel linguaggio moderno basta calcolare la probabilità che non esca mai il numero \(6\) in \(n\) lanci, cioè \(\left(\dfrac{5}{6}\right)^{n}\), e verificare che sia minore di \(\dfrac{1}{2}\). Quindi la soluzione è il numero minimo \(n\) tale che sia verificata la seguente disuguaglianza:

\[ 1- \left(\frac{5}{6}\right)^{n} \gt \frac{1}{2} \]

Si trova facilmente che ponendo \(n=4\) risulta

\[ 1- \left(\frac{5}{6}\right)^{4} \approx 0,5177 \]

Il metodo di Huygens è più elaborato. Indicando con \(a\) la posta totale, Huygens trova la seguente equazione ricorsiva per l’aspettativa \(A(n)\):

\[ A(n)=\frac{1}{6}(a + 5A(n-1)) \]

la cui soluzione è \(A(n)=\left(\dfrac{5}{6}\right)^{n}a\).

Ricordiamo che Cardano nel 1663, nel suo libro sui giochi ‘Liber de ludi aleae’, diede una soluzione errata, affermando che il numero minimo dei lanci è uguale a \(3\).

Nella proposizione XI viene illustrato il calcolo della probabilità di ottenere una coppia di numeri con somma \(12\), con un certo numero di lanci di due dadi.
Nella proposizione XII Huygens tratta il problema di determinare quanti dadi un giocatore deve avere per ottenere almeno due \(6\) al primo lancio.
Questo problema è equivalente a quello di un solo dado lanciato più volte, in cui si deve trovare il numero minimo di lanci necessari, affinché la probabilità che il numero \(6\) compaia due volte sia maggiore della probabilità che non accada. E’ un primo esempio di applicazione della distribuzione binomiale negativa, che come è noto calcola il numero di prove necessarie per avere un dato numero di successi, in una sequenza di prove di Bernoulli. Sia \(X_{r}\) la variabile aleatoria che conta il numero di prove indipendenti di Bernoulli necessarie per avere \(r\) successi; la distribuzione binomiale negativa è

\[ P(X_{r}=n)= \binom{n-1}{r-1}p^{r}(1-p)^{n-r} \ , \quad n \ge r \]

Proposizione XIII
Supponiamo che io ed un altro giocatore giochiamo con il lancio di una coppia di dadi, con queste condizioni: se il risultato è \(7\) allora vinco io, se il risultato è \(10\) vince lui; altrimenti la posta viene divisa in parti uguali. Determinare le proporzioni della posta che ognuno deve avere.

Proposizione XIV
Supponiamo che un altro giocatore ed io lanciamo a turno due dadi con la condizione che io vincerò se avrò ottenuto \(7\) punti e lui vincerà ottenendo \(6\) punti. Concederò a lui il primo lancio. Trovare il rapporto tra le mie possibilità e le sue.

Soluzione di Huygens
Mentre nei precedenti problemi Huygens ha utilizzato dei procedimenti ricorsivi, basati su equazioni alle differenze finite, in questo problema utilizza dei metodi algebrici. In questo gioco le aspettazioni di un giocatore cambiano a seconda di chi sia di turno a lanciare. Indichiamo con \(A\) il giocatore che vince se esce come risultato la somma \(7\), con \(B\) il giocatore che vince il risultato è \(6\). Il primo lancio viene effettuato da \(B\).
Indichiamo con \(x\) e \(y\) le aspettazioni di \(A\) quando tocca a \(B\) oppure ad \(A\) per lanciare il dado. Ogni volta che \(B\) non ottiene \(6\), il gioco torna ad \(A\) e la sua aspettazione è \(y\). Ogni volta che \(A\) non ottiene \(7\), il gioco torna a \(B\) e l’aspettazione di \(A\) diventa \(x\). Il risultato \(6\) esce in \(5\) casi e non esce in \(31\) casi. Quindi il valore \(x\) verifica l’equazione

\[ x = \frac{31y}{36} \]

poiché se \(B\) non ottiene \(6\) il gioco torna ad \(A\), con aspettativa \(y\). Quando è il turno di \(A\), poiché il numero \(7\) può uscire in \(6\) casi, l’aspettazione verifica l’equazione

\[ y = \frac{6a+30x}{36} \]

dove \(a\) è il valore della puntata. Da queste equazioni si ottiene

\[ \begin{array}{l} x = \dfrac{31a}{61} \\ a-x = \dfrac{30a}{61} \end{array} \]

Quindi il rapporto fra le probabilità di \(A\) e \(B\) è \(30:31\). Ricordiamo che \(B\) è il giocatore che effettua il primo lancio.

Soluzione moderna al problema XIV
Diamo anche una soluzione moderna del problema XIV. Indichiamo con \(E_{7}\) l’evento che esca il risultato \(7\) e con \(F_{6}\) l’evento che esca il risultato \(6\). Notiamo che le probabilità sono:

\[ \begin{array}{l} P(E_{7}) = \dfrac{6}{36} \ , \quad P(\overline{E_{7}}) = \dfrac{30}{36} \quad \\ P(F_{6}) = \dfrac{5}{36} \ , \quad P(\overline{F_{6}}) = \dfrac{31}{36} \\ \end{array} \]

Il giocatore \(A\), che non lancia per primo, vince se si verifica la seguente catena di eventi incompatibili:

\[ \overline{F_{6}}E_{7} \cup \overline{F_{6}}\overline{E_{7}} \overline{F_{6}}E_{7} \cup \cdots \]

Un ragionamento simile vale per il giocatore \(B\), tenendo conto che questo effettua il primo lancio. E’ facile vedere che si hanno le seguenti relazioni:

\[ \begin{array}{l} p_{B} =\dfrac{5}{36}+ \left(\dfrac{31}{36}\dfrac{30}{36}\right) \dfrac{5}{36} + \left(\dfrac{31}{36}\dfrac{30}{36}\right)^{2} \dfrac{5}{36} + \cdots \\ p_{A} =\dfrac{31}{36}\dfrac{6}{36}+ \left(\dfrac{31}{36}\dfrac{30}{36}\right)\dfrac{31}{36}\dfrac{6}{36} + \left(\dfrac{31}{36}\dfrac{30}{36}\right)^{2}\dfrac{31}{36}\dfrac{6}{36} + \cdots \\ \end{array} \]

Le due serie sono esempi di serie geometriche \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x^{n}=\dfrac{1}{1-x}\), con \(|x| \lt 1\). Quindi svolgendo i calcoli otteniamo:

\[ p_{A}= \frac{31}{61} \ , \quad p_{B}= \frac{30}{61} \]

4) Problemi finali posti da Huygens

Nella parte finale del suo libro, Huygens propone al lettore cinque problemi da risolvere. I problemi posti da Huygens rappresentarono una sfida per i matematici dell’epoca. In particolare, le soluzioni ai \(5\) problemi vennero pubblicate da Bernoulli nella sua importante opera ‘Ars Conjectandi’.
Il primo problema è una versione più complessa della Proposizione XIV.

Problema 1
Due giocatori \(A\) e \(B\) giocano con due dadi con questa condizione: \(A\) vincerà se ottiene \(6\) punti, \(B\) vincerà se ne ottiene \(7\). Il giocatore \(A\) farà un solo lancio all’inizio; poi \(B\) ne farà \(2\), quindi \(A\) farà due lanci di nuovo, e così via, finché uno dei due non sarà riuscito a vincere. Si richiede il rapporto tra le possibilità di successo di \(A\) e \(B\).
Secondo Huygens il rapporto delle possibilità di successo di \(A\) e \(B\) è \(10355:12276\).

Indichiamo con \(p_{1},p_{2}\) le probabilità di vincere di \(A\) e \(B\) in una singola prova. Siano inoltre \(q_{1}=1-p_{1}\) e \(q_{2}=1-p_{2}\).
Supponiamo che il premio totale sia uguale all’unità; in tal modo l’aspettazione di \(A\) è uguale alla sua probabilità di vincita \(p_{A}\). Il problema può essere risolto con lo stesso metodo utilizzato per la proposizione XIV. Sommando la serie geometrica si trova il seguente risultato:

\[ p_{A}= \frac{p_{1}(1+q_{1}q_{2}^{2})}{1-q_{1}^{2}q_{2}^{2}} \]

Naturalmente \(p_{B}=1-p_{A}\).

Problema 2
Tre giocatori \(A,B,C\) prendono \(12\) gettoni di cui \(4\) bianchi ed \(8\) neri. Vincerà il giocatore che per primo, bendato, estrarrà un gettone bianco. Il primo a giocare sarà \(A\), seguito da \(B\) e da \(C\).

Questo problema presenta delle ambiguità e può essere interpretato in tre modi distinti, come notato da Bernoulli.
L’estrazione può essere fatta con restituzione del gettone nella scatola, oppure senza restituzione. Inoltre la scatola è unica per tutti e tre i giocatori, oppure ogni giocatore ha a disposizione una scatola con \(12\) palline.
Bernoulli pubblicò le soluzioni relative alle tre diverse ipotesi.

Problema 3
Abbiamo un mazzo di \(40\) carte, di \(4\) colori diversi e \(10\) per ogni colore. Il giocatore \(A\) gioca con \(B\) e scommette di riuscire ad estrarre \(4\) carte di colori tutti diversi. Dimostrare che le possibilità di \(A\) rispetto a \(B\) stanno come \(1000:8139\).

La probabilità \(p_{A}\) di vincita di \(A\) può essere calcolata con questa formula:

\[ p_{A}=\left(\frac{40}{40}\right)\left(\frac{30}{39}\right)\left(\frac{20}{38}\right)\left(\frac{10}{37}\right)= \dfrac{1000}{9139} \]

Problema 4
Si prendono \( 12\) palline, \(4\) bianche e \(8\) nere. Il giocatore \(A\) gioca con \(B\) e scommette che, estraendo bendato \(7\) palline, ne troverà \(3\) bianche. Si domanda il rapporto tra le possibilità di \(A\) e di \(B\).

Problema 5
Due giocatori \(A\) e \(B\) prendono \(12\) gettoni ciascuno e giocano con tre dadi con queste regole: se il punteggio totale è \(11\), allora \(A\) da un gettone a \(B\); se è \(14\), allora \(B\) da un gettone ad \(A\). Vince chi per primo riuscirà ad ottenere tutti i gettoni. Dimostrare che le possibilità di \(A\) rispetto a \(B\) stanno come \( 244140625\) sta a \(282429536481\).

Questo problema era già stato proposto da Pascal a Fermat. Huygens ne venne a conoscenza grazie ad una lettera di Pierre de Carcavi (1600-1684) del \(28\) settembre \(1656\). Huygens inviò la soluzione a Carcavi dopo due settimane. Nel paragrafo successivo studieremo in dettaglio la soluzione di questo problema, noto come problema della rovina del giocatore.

Esercizio 4.1
In relazione al problema \(5\) di Huygens, calcolare le probabilità che in un singolo lancio di tre dadi la somma risulti rispettivamente \(11\) oppure \(14\).

Soluzione
Il numero dei casi possibili nel lancio di tre dadi è \(216=6^{3}\). Dobbiamo contare quanti sono i casi in cui la somma è \(11\) oppure \(14\). Con un conteggio manuale si trova che il numero di triple che danno come somma \(11\) è \(27\), mentre quelle che danno somma \(14\) è \(15\).
Si può anche utilizzare il metodo delle funzioni generatrici. In questo caso la funzione generatrice è

\[ F(x)=(x+x^{2}+ x^{3}+ x^{4}+x^{5}+ x^{6})^{3} \]

Il coefficiente di \(x^{n}\) nell’espansione è uguale al numero di modi di ottenere il valore \(n\) sommando \(3\) numeri dell’insieme \(\{1,2,\cdots,6\}\). Per calcolare lo sviluppo del cubo possiamo utilizzare uno strumento software, ad esempio il programma Wolfram:

\[ \begin{array}{l} (x+x^{2}+ x^{3}+ x^{4}+x^{5}+ x^{6})^{3}= \\ x^{18}+3x^{17}+6x^{16}+10x^{15}+15x^{14} +21x^{13} + 25x^{12} + \\ 27x^{11} +27x^{10}+25x^{9} +21x^{8} +15x^{7} +10x^{6} +6x^{5} +3x^{4} +x^{3} \end{array} \]

Quindi la probabilità che in un lancio la somma sia \(11\) è uguale a \(\dfrac{27}{216}\), mentre la probabilità che la somma sia \(14\) è uguale a \(\dfrac{15}{216}\). Nel linguaggio delle scommesse possiamo dire che il rapporto fra le probabilità a favore di \(A\) e quelle a favore di \(B\) è uguale a \(\dfrac{9}{5}\).

5) Il quinto problema di Huygens e il problema della rovina del giocatore

Il problema della rovina del giocatore venne proposto nel \(1656\) da Pascal a Fermat. Ci sono diverse versioni equivalenti del problema. La versione di Pascal, riportata in una lettera di Carcavi a Huygens, è sostanzialmente la seguente:

Due giocatori giocano con \(3\) dadi, il primo giocatore ottiene un punto se esce \(11\) e il secondo se esce \(14\). Invece di accumulare punti nel modo ordinario, un punto viene sommato al punteggio di un giocatore solo se il punteggio dell’altro è uguale a zero, altrimenti viene sottratto dal punteggio dell’altro giocatore. Vince colui che raggiunge per primo \(12\) punti.
Calcolare le probabilità di vincita dei due giocatori.

Nella formulazione di Carcavi il giocatore in coda ha sempre zero punti, e un giocatore per vincere deve raggiungere 12 punti. Il problema vene riformulato da Huygens nella sua opera ‘De ratiociniis in ludo aleae’, in due versioni equivalenti:

• Prima formulazione: i punti sono accumulati dai giocatori nel modo ordinario. Il vincitore è quello che riesce ad avere un vantaggio di \(12\) punti.
• Seconda formulazione: è il problema V esposto nel paragrafo precedente.

Le tre formulazioni sono tra loro equivalenti. In base all’esercizio 4.1, nella formulazione di Huygens (problema 5) abbiamo i parametri \(p=\dfrac{9}{14}\), \(q=\dfrac{5}{14}\) e \(m=n=12\).

A) La soluzione di Pascal
Pascal diede la seguente soluzione al problema. Le probabilità di vincita dei due giocatori sono

\[ \begin{array}{l} P(A) = \dfrac{150.094.635.296.999.122}{150.094.635.296.999.122+129.746.337.890.625} \approx 0,999136 \\ P(B) = \dfrac{129.746.337.890.625}{150.094.635.296.999.122+129.746.337.890.625} \approx 0,000864 \\ \end{array} \]

Nel linguaggio delle scommesse le possibilità dei due giocatori stanno nel rapporto

\[ \begin{array}{l} 150.094.635.296.999.122: 129.746.337.890.625 \approx 1156,83 \end{array} \]

Probabilmente Pascal utilizzò la stessa tecnica ricorsiva con la quale risolse il problema dei punti.
Nella formulazione di Carcavi il giocatore in coda ha sempre zero punti, e un giocatore per vincere deve raggiungere 12 punti. Possiamo quindi elaborare una variante del metodo di Pascal. Supponiamo che il premio per il vincitore sia uguale all’unità. Indichiamo con la variabile \(X\) il numero dei punti che mancano al giocatore \(B\) per vincere il gioco. I valori che può assumere sono \(X=\{0,1,2, \cdots,24\}\).
Se il giocatore \(A\) è in coda, e quindi ha zero punti, la variabile \(X\) assume i valori \(\{0,1,\cdots,12\}\). Se il giocatore \(B\) ha zero punti, la varabile \(X\) assume i valori \(\{12,13,\cdots,24\}\). Indichiamo con

\[ x_{k}=P(A|X=k) \ , \quad k=0,1,2,\cdots,24 \]

la probabilità che vinca il giocatore \(A\), dato che al giocatore \(B\) mancano \(k\) punti. L’equazione ricorsiva è quindi

\[ \begin{array}{l} x_{k}= px_{k+1}+ qx_{k-1} \ , \quad x_{0}=0 \ , \quad x_{24}=1 \end{array} \]

Pascal non pubblicò il suo metodo di soluzione. Con i metodi moderni possiamo risolvere l’equazione trovando le radici dell’equazione caratteristica:

\[ p\lambda^{2}-\lambda + q =0 \]

Indichiamo con \(\lambda_{1},\lambda_{2}\) le soluzioni dell’equazione caratteristica. Allora la soluzione generale dell’equazione ricorsiva è la seguente:

\[ x_{n}=A \lambda_{1}^{n}+ B\lambda_{2}^{n} \]

dove \(A,B\) sono due costanti da determinare mediante le condizioni al contorno.

Esercizio 5.1
Dimostrare che la soluzione dell’equazione caratteristica che soddisfa le condizioni al contorno \(x_{0}=0, \ x_{24}=1\) è

\[ \begin{array}{l} x_{n}=\dfrac{1-\left(\dfrac{q}{p}\right)^{n}}{1-\left(\dfrac{q}{p}\right)^{24}} \end{array} \]

Suggerimento
Notare che \((1-4pq)=(p+q-4pq)=(p-q)^{2}\).

Per risolvere il problema di Carcavi basta calcolare il valore \(x_{12}\), e si trova la soluzione di Pascal:

\[ \begin{array}{l} x_{12}=\dfrac{1-\left(\dfrac{q}{p}\right)^{12}}{1-\left(\dfrac{q}{p}\right)^{24}} \end{array} \]

Ponendo i valori \(\dfrac{27}{216}\) e \(\dfrac{15}{216}\) calcolati nell’esercizio 4.1, si trovano i valori pubblicati da Pascal.
Ricordiamo che anche Fermat risolse il problema affermando che il rapporto è compreso fra \(1156:1\) e \(1157:1\). Fermat non spiegò il metodo da lui utilizzato.

B) La soluzione di Huygens
Nella sua dimostrazione Huygens utilizza la prima versione del problema, in cui i due giocatori iniziano con zero punti e il vincitore è colui che riesce per primo ad avere un vantaggio di \(12\) punti. Indichiamo con \(E(a,b)\) il valore atteso della vincita del primo giocatore \(A\), quando i punteggi dei due giocatori sono \(a\) e \(b\) rispettivamente. Se consideriamo la posta totale uguale ad \(1\), allora \(E(a,b)\) coincide con la probabilità di vincita di \(A\).
Huygens suppone inizialmente che il vincitore è il giocatore che per primo ha un vantaggio di \(2\) punti. Abbiamo \(E(2,0)=1\), \(E(0,2)=0\) e \(E(1,1)=E(0,0)\). Le equazioni ricorsive sono le seguenti:

\[ \begin{array}{l} E(1,0) = pE(2,0) + qE(1,1) \\ E(0,1) = pE(1,1,)+qE(0,2)= pE(0,0) \\ E(0,0)= pE(1,0) + qE(0,1) \end{array} \]

Facendo i calcoli si trova \(E(0,0)=\dfrac{p^{2}}{p^{2}+q^{2}}\).
Huygens considera quindi gli altri casi in cui vince il giocatore che ha un vantaggio di \(3,4,6,8\) punti e trova una relazione simile. Conclude quindi che nel caso in cui vince il giocatore che ha un vantaggio di \(n\) punti la soluzione è

\[ E(0,0)=\dfrac{p^{n}}{p^{n}+q^{n}} \]

In termini di possibilità relative dei due giocatori, abbiamo la stessa formula di Pascal: \(p^{n}:q^{n}\). Con i parametri \(p=\dfrac{9}{14}\), \(q=\dfrac{5}{14}\) e \(m=n=12\) i valori della soluzione di Huygens sono

\[ 282.429.536.481:244.140.625 =9^{12}:5^{12} \approx 1156,831381 \]

Il risultato di Huygens è equivalente a quello di Pascal, in quanto i numeri di Pascal sono divisibili per \(3^{12}\).

Per un approfondimento dei contributi di Huygens al calcolo delle probabilità vedere ^[2] e ^[4].

Conclusione

Il libro di Huygens ‘Libellus de Ratiociniis in Ludo Aleae’ è stato il testo di riferimento per il calcolo delle probabilità per diversi anni e ha influenzato molti matematici dell’epoca, come Bernoulli e de Moivre.
La teoria della probabilità, ancora in fase iniziale al tempo di Pascal, Fermat e Huygens, ha conosciuto un grade sviluppo nel periodo successivo, sia dal punto di vista teorico che applicativo.
In un prossimo articolo studieremo i contributi di Jacob Bernoulli. La sua opera ‘Ars Conjectandi’ contiene una discussione approfondita dei contributi di Huygens e altri, e presenta nuovi importanti risultati, come una prima versione della legge debole dei grandi numeri.

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Bibliografia

^[1]W. Feller – An Introduction to Probability Theory (Vol. I; Wiley)

^[2]A. Hald – A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750 (Wiley)

^[3]Ivor Grattan-Guinness – Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940 (Elsevier Science)

^[4]I. Todhunter – A history of the mathematical theory of probability : from the time of Pascal to that of Laplace (Chelsea Pub. Co.)