Nella prima parte di questo articolo studieremo le successioni di numeri reali. Introdurremo il concetto di limite, che è la base del calcolo differenziale e integrale. Nella seconda parte analizzeremo anche le successioni di numeri complessi. Al fine di assimilare questi concetti, per nulla banali, vengono proposti diversi esercizi e Leggi tutto…
In un articolo precedente abbiamo studiato le congetture di Legendre e Gauss per descrivere il comportamento asintotico della funzione \(\pi(x)\), che conta il numero dei primi che non superano \(x\). In particolare ricordiamo la congettura di Gauss, che con notazione moderna è la seguente: \[ \pi(x) \sim \int_{2}^{x}\frac{dt}{\ln t} \sim Leggi tutto…
I principali insiemi numerici utilizzati in matematica sono i seguenti: \(\mathbb{N} =\{0,1,2,3,\cdots\} \quad \text{ (numeri naturali o interi non negativi)}\) \(\mathbb{Z} =\{\cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots\} \quad\text{(numeri interi)} \) \(\mathbb{Q} =\left \{\dfrac{n}{m}, \text{con } n,m\in \mathbb{Z}, m\neq 0\right\} \quad \text{(numeri razionali)}\) \(\mathbb{R} =\text{(numeri reali)}\) \(\mathbb{C} =\text{(numeri complessi)}\) Indicheremo con \(\mathbb{Z}^{+}=\{1,2,3,\cdots\}\) l’insieme degli interi positivi. Leggi tutto…
1) Huygens Christiaan Huygens (1629-1695) è stato un importante scienziato, che ha dato contributi in diversi settori della scienza: matematica, fisica, astronomia, meccanica. Tra i suoi principali contributi ricordiamo: la teoria ondulatoria della luce; la scoperta della forma degli anelli di Saturno; lo studio dell’azione delle forze sui corpi; la Leggi tutto…
Il metodo di esaustione è un procedimento utilizzato dai matematici greci per calcolare la lunghezza di una curva, l’area di una figura piana o il volume di un oggetto tridimensionale. Ad esempio per una figura piana si utilizza un poligono inscritto nella figura: all’aumentare del numero dei lati del poligono, Leggi tutto…
Il questo articolo studieremo un importante risultato, chiamato lemma o teorema di Burnside (1852-1927), che è molto utile per contare le configurazioni di un oggetto, tenendo conto delle simmetrie. In realtà il teorema era stato dimostrato in precedenza da Frobenius (1849-1917) e ancora prima da Cauchy (1789-1857 ), per cui Leggi tutto…
In questo articolo studieremo il problema della rappresentazione degli interi come somma di quadrati. Il problema consiste nel determinare sotto quali condizioni un intero positivo \(n\) si può scrivere come somma di due quadrati di interi, cioè nella forma \[ n = x^{2}+ y^{2} \ , \quad x,y \in \mathbb{Z} Leggi tutto…
Nel libro V degli Elementi di Euclide viene illustrata la teoria delle proporzioni, sviluppata da Eudosso di Cnido nella prima metà del secolo IV a.C. La teoria di Eudosso è un esempio del grande livello di astrazione raggiunto dai matematici Greci. Ha permesso di superare la crisi dovuta alla scoperta Leggi tutto…
Il numero \(\pi\) è il rapporto fra la lunghezza della circonferenza di un cerchio e il suo diametro. Come è noto nella geometria euclidea tale rapporto è invariabile, qualunque siano le dimensioni del cerchio. Si tratta di un numero irrazionale, quindi con infinite cifre, il cui calcolo non è affatto Leggi tutto…
Nell’articolo precedente abbiamo illustrato due risultati importanti sulla distribuzione dei numeri primi: \[ \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x \to \infty}\pi(x)=\infty \\ \sum\limits_{p}{}\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{11}+ \cdots=\infty \end{array} \] dove \(\pi(x)\) è la funzione che conta il numero dei primi che non superano \(x\). Il primo risultato è già presente negli ‘Elementi’ di Euclide, mentre il secondo Leggi tutto…