Generalmente la nascita del calcolo delle probabilità viene fissata nella metà del XVII secolo. In quel periodo i due grandi matematici Blaise Pascal (1623–1662) e Pierre de Fermat (1601– 1665) discussero insieme alcuni problemi relativi al gioco d’azzardo e definirono le basi teoriche della teoria matematica della probabilità classica.
Tuttavia i primi studi sul calcolo delle probabilità apparvero già un secolo prima, in particolare nell’opera di Gerolamo Cardano (1501-1576), che era un grande appassionato dei giochi d’azzardo. Egli sostanzialmente diede la definizione classica di probabilità di un evento come rapporto fra il numero dei casi favorevoli e il numero totale dei casi possibili.
In questo articolo descriveremo alcuni problemi relativi al gioco d’azzardo studiati da Cardano e altri studiosi del periodo, che introducono i concetti base della probabilità classica, in seguito definiti in modo rigoroso da Pascal, Fermat, Huygens e altri.
1) Breve storia del gioco d’azzardo
Lo sviluppo del Calcolo delle probabilità è legato in particolare all’esigenza di risolvere dei problemi pratici legati al gioco d’azzardo. La parola deriva dal termine arabo al zahr, che significa dado. Il gioco d’azzardo (gambling in inglese) consiste in genere nello scommettere denaro o altri oggetti di proprietà sulla base di un evento aleatorio futuro.
La passione per il gioco d’azzardo è vecchia quanto l’umanità stessa. In luoghi quali la Cina, l’Egitto, la Grecia, Roma, ne esistono testimonianze che risalgono a migliaia di anni fa. Lo strumento più usato è rappresentato dai dadi (nel lontano passato erano usati gli astragali). Le carte da gioco apparvero alla fine del XIV secolo.
Le prime case da gioco (casinò) aprirono in Italia nel XVII secolo, ad esempio il Ridotto di Venezia nel 1638, poi si diffusero in tutta Europa. Nel XVI nacque il gioco del lotto a Genova. Agli inizi del XX secolo vennero introdotte le prime slot machine meccaniche, poi perfezionate in elettromeccaniche.
Con l’avvento della rete Internet, le slot machine sono diventate accessibili online per chiunque, permettendo di giocare da casa. Grazie alla diffusione degli smartphone è in continuo aumento il mobile gambling.
In tutte le età la passione del gioco d’azzardo ha condizionato nel bene e nel male la vita di molti uomini. Spesso ha portato alla rovina di molti giocatori e per questi motivi in diversi paesi nel corso del tempo si è cercato di proibirlo, senza successo.
Una lettura molto interessante per capire la psicologia dei giocatori è il famoso libro del grande scrittore russo Dostoevskij[1].
2) La figura di Gerolamo Cardano
Come abbiamo detto in precedenza i primi studi sul calcolo delle probabilità sono nati per risolvere problemi posti dai giocatori d’azzardo. Uno dei principali studiosi è certamente il matematico italiano Gerolamo Cardano (1501-1576).
Cardano è un personaggio tipico del Rinascimento, che si interessò di varie scienze: la matematica, la fisica e la meccanica, la medicina, l’astrologia, l’alchimia. Tra l’altro fu uno dei primi scienziati ad affermare l’impossibilità del moto perpetuo, cioè la creazione di una macchina che possa funzionare senza alcuna perdita di energia.
Cardano era un accanito giocatore; dalle sue memorie risulta che per molti anni della sua vita giocò quasi ogni giorno a tutti i tipi di giochi della sua epoca: dadi, scacchi, carte, e così via.
2.1) Cardano e l’Algebra
Per quanto riguarda la matematica Cardano ebbe un ruolo primario nello studio delle equazioni algebriche di terzo e quarto grado. L’equazione generale di terzo grado può essere scritta nel modo seguente:
\[ x^{3}+ Ax^{2}+Bx +C=0 \\ \]La risoluzione delle equazioni di terzo grado rappresentava una sfida per i matematici del Rinascimento. Il matematico Nicolò Tartaglia (1499–1557), nel 1534, riuscì a trovare un metodo per risolvere le equazioni di terzo grado ridotte, cioè senza il termine di secondo grado:
\[ x^{3}+bx+c=0 \\ \]L’equazione generale di terzo grado può essere messa nella forma ridotta mediante la sostituzione \(x=y – \frac{A}{3}\).
Cardano chiese con insistenza a Tartaglia di rivelargli il segreto della formula risolutiva, e dopo varie resistenze Tartaglia gli svelò il suo metodo, imponendogli di non pubblicarlo con un giuramento.
Nel 1545 Cardano pubblicò in Germania la sua importante opera ‘Ars Magna’. La pubblicazione di questo libro per molti rappresenta l’inizio della matematica moderna. Nel libro Cardano presentò tra l’altro le soluzioni delle equazioni generali di terzo e quarto grado, e anche il modo di passare dall’equazione generale a quella ridotta. Il fatto di aver pubblicato la formula di Tartaglia nella sua opera fece scatenare una contesa fra i due matematici.
Tuttavia erano passati diversi anni dalla promessa fatta a Tartaglia, e durante questo periodo Tartaglia non aveva mai voluto pubblicare la sua formula. Inoltre, insieme a Cardano e Tartaglia, ci furono altri due matematici che diedero un contributo fondamentale alla risoluzione dei due problemi nella forma generale: Scipione del Ferro (1465-1526) che in realtà scoprì il metodo di soluzione prima di Tartaglia, e Ludovico Ferrari (1522-1565), allievo di Cardano che scoprì la formula per le equazioni di quarto grado. Nella sua opera ‘Ars Magna’ Cardano, correttamente, riconobbe i meriti di tutti.
La formula generale per risolvere l’equazione ridotta di terzo grado è la seguente:
\[ x=\sqrt[3]{-\frac{c}{2}+ \sqrt{\frac{c^{2}}{4}+ \frac{b^{3}}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{c}{2}- \sqrt{\frac{c^{2}}{4} + \frac{b^{3}}{27}}} \\ \]Esercizio 2.1
Calcolare le soluzioni dell’equazione \(x^{3}=6x+6\).
Rimaneva comunque da risolvere un problema fondamentale: non si riusciva a trattare il cosiddetto caso irriducibile, cioè quando \(\dfrac{c^{2}}{4} + \dfrac{b^{3}}{27} <0\); se la grandezza nelle radici quadrate è negativa, allora ci si trovava in presenza dei cosiddetti numeri immaginari, che ancora non erano stati introdotti nella matematica.
La situazione verrà chiarita successivamente dal matematico Raffaele Bombelli (1526-1573) che gettò le basi per la teoria dei numeri complessi.
Esercizio 2.2
Calcolare le tre soluzioni reali della equazione:
Soluzione: \(4,\sqrt{3}+2,\sqrt{3}-2\)
2.2) Cardano e il Calcolo delle Probabilità
Cardano scrisse un libretto denominato ‘Liber de Ludo Aleae’ nel quale sono introdotti e discussi i primi concetti della probabilità classica. Il libretto purtroppo non venne stampato prima del 1663 e quindi non ebbe l’attenzione che meritava. Per la versione inglese del libro vedere [2].
Il libretto di Cardano tratta in particolare i gioco dei dadi, nel quale egli stesso ebbe fortune alterne di vincite e perdite.
Nel suo libretto Cardano introduce il concetto di circuito, cioè l’insieme di tutti i casi possibili, che coincide con il moderno spazio dei campioni o spazio degli eventi. Nonostante alcuni errori iniziali, sostanzialmente Cardano introduce la definizione classica di probabilità come rapporto fra il numero dei casi favorevoli e quelli possibili. Tuttavia nella parte iniziale del libro Cardano utilizza anche un secondo tipo di ragionamento, chiamato ragionamento sulla media, che lo conduce a risultati non corretti.
Esempio 2.1 – Ragionamento sulla media
Lanciando un dado la probabilità che appaia una singola faccia, ad esempio il \( 4\), è uguale a \(p=\frac{1}{6}\). Quindi con un singolo lancio otteniamo \(\frac{1}{6}\) come probabilità del punteggio cercato. Se lanciamo due volte il dado otteniamo \(2 \cdot \frac{1}{6}\), e cosi via. In particolare se facciamo tre lanci avremmo il \(50\%\) di possibilità che esca una data faccia del dado.
Se si accettasse questo tipo di ragionamento basterebbero \(6\) lanci per essere sicuri che esca una data faccia, mentre nella realtà una data faccia potrebbe non uscire mai anche dopo un grandissimo numero di lanci.
In seguito Cardano si rende conto della fallacia del ragionamento e da allora in poi utilizza il metodo corretto, consistente nel contare i casi favorevoli e quelli totali.
Nel capitolo XIV, Cardano espone in modo chiaro la regola da applicare per calcolare la probabilità di un evento. Contare i casi totali del circuito, quindi contare i casi favorevoli e calcolare la probabilità secondo la formula classica:
Cardano in realtà utilizza i termini del gioco d’azzardo per esprimere la sua regola generale: per ogni giocatore è importante conoscere il rapporto fra i casi favorevoli e quelli sfavorevoli.
Se un evento \( A\) ha probabilità uguale a \(P(A)\), allora le probabilità a favore e contro sono le seguenti:
Problema 2.1 – Cardano
Calcolare quante volte si deve lanciare un dado non truccato per avere una probabilità superiore ad \( \frac{1}{2} \) che esca almeno un \(6 \)?
Soluzione
Risolviamo con la notazione moderna. Indichiamo con \(A\) l’evento che è vero se esce il numero \(6\). Conviene calcolare anche la probabilità dell’evento complementare \( \overline{A}\), cioè l’evento che è vero se non esce il numero \(6\). In un lancio abbiamo \( P(\overline{A})= \frac{5}{6}\) e quindi \(P(A) = 1 – \frac{5}{6}\). Se effettuiamo due lanci, poiché i lanci sono indipendenti, abbiamo \(P(\overline{A})= \left(\frac{5}{6}\right)^{2}\) e quindi \(P(A)= 1 – \left(\frac{5}{6}\right)^{2}\). Quindi nel caso di \(n\) lanci abbiamo i seguenti valori di probabilità:
Per risolvere il problema di Cardano dobbiamo trovare il valore di \(n\) tale che \( P(A) \ge \frac{1}{2}\), o in modo equivalente \(P(\overline{A}) < \frac{1}{2}\). Poiché \(\left(\frac{5}{6}\right)^{3} \approx 0,578\) e \(\left(\frac{5}{6}\right)^{4} \approx 0,482\), possiamo concludere che bastano \(4\) lanci affinché risulti vantaggioso scommettere sull’uscita del numero \(6\).
Cardano utilizza inizialmente il ragionamento sulla media, e considera erroneamente che il numero dei lanci sia uguale a \(3\), in quanto calcola \(p= 3 \cdot \frac{1}{6}=\frac{108}{216}=\frac{1}{2}\). Accortosi però poi dell’errore, calcola correttamente che il numero dei casi favorevoli affinché esca una faccia con tre lanci è \(91\) e non \(108\), e quindi servono quattro lanci per avere una probabilità maggiore del \( 50\%\) che esca una data faccia.
Nel libretto Cardano presenta diversi esempi relativi al lancio di due dadi e di tre dadi, effettuando correttamente i calcoli secondo la definizione classica di probabilità.
2.2.1) La legge di potenza
Un altro tipo di problema studiato da Cardano è il calcolo delle probabilità per un evento ripetuto. Come abbiamo visto in un lancio di tre dadi le probabilità a favore e contro di ottenere almeno un \( 4\) sono nella proporzione di \(91\) e \(125\). Cardano cerca di calcolare le probabilità di successo in ognuno di due lanci successivi; inizialmente utilizza un ragionamento errato e assume che le probabilità a favore e contro siano nella proporzione \(91^{2}\) e \( 125^{2}\). E così via per un numero di prove superiore. Cardano si rende conto che questo metodo di calcolo porta a dei risultati assurdi. Dopo vari tentativi arriva a dimostrare la formula corretta; in un insieme di \(2\) prove successive indipendenti le probabilità a favore e contro di ottenere due successi consecutivi sono nella proporzione seguente:
\[ 91^{2} \quad \text{e} \quad 216^{2}-91^{2} \]scoprendo una delle leggi fondamentali del calcolo delle probabilità.
In forma moderna possiamo affermare che la probabilità \(p_{n}\) di ottenere \(n\) successi in \(n\) prove indipendenti è data dalla seguente formula:
dove \(p\) è la probabilità di successo in una singola prova. Si tratta di un importante risultato, che verrà generalizzato con la distribuzione di Bernoulli, per calcolare la probabilità di avere \(k\) successi in \(n\) lanci.
2.2.2) La legge dei grandi numeri
Nell’ultimo capitolo del suo libretto Cardano espone, anche se in modo ancora rudimentale, il contenuto della legge dei grandi numeri e della media di una variabile aleatoria. Ripetendo un esperimento \(n\) volte, un evento di probabilità \(p\) si presenterà mediamente un numero di volte uguale a \(n\cdot p\).
3) Alcuni esercizi famosi
Descriviamo alcuni esercizi tipici dell’epoca. Dal punto di vista attuale possono sembrare semplici, tuttavia, considerati nel contesto della fase iniziale dello sviluppo del calcolo delle probabilità, hanno un rilievo importante.
3.1) Il problema di Galileo
Supponiamo di lanciare tre dadi e sommare i tre numeri ottenuti. I punteggi totali di \( \{9,10,11,12\} \) possono tutti essere ottenuti ognuno con \(6\) diverse combinazioni. Perché allora i punteggi totali di \(10\) oppure \(11\) sono più probabili dei punteggi di \(9\) o \(12\)?
Questo problema venne posto dal Granduca di Toscana a Galileo Galilei (1564-1642), il quale presentò una soluzione nel suo trattato ‘Sopra le scoperte dei dadi’.
Con tre dadi il numero totale degli eventi elementari, cioè delle triplette di numeri, è \( 6^{3}=216 \). Tuttavia la somma dei tre numeri può assumere solo \(16\) valori distinti: \( \{3,4,\cdots,18\}\). La seguente tabella mostra le combinazioni possibili per i quattro casi:
L’ultima riga contiene il numero delle disposizioni ordinate nei vari casi, che come si vede non sono tutte uguali nei \(4\) casi.
Galileo quindi conta il numero dei casi favorevoli e divide per il numero dei casi totali, secondo la definizione classica di probabilità.
Lo stesso tipo di problema in realtà era stato già risolto da Cardano ed è infatti presente nel capitolo 13 del suo libro.
3.2) Il problema del cavaliere de Méré
Nel 1654 Antoine Gombaud, detto il cavaliere de Méré, pose a Pascal il seguente problema riguardante due modalità di scommesse con i dadi:
- nel primo gioco si utilizza un singolo dado e si scommette che esca almeno un \(6\) dopo \(4\) lanci consecutivi
- nel secondo tipo si utilizzano \(2\) dadi e si scommette che escano insieme due \(6\) in \(24\) lanci consecutivi
Méré utilizzava un ragionamento errato, simile a quello iniziale di Cardano: nel primo caso secondo i suoi calcoli la probabilità è \( \frac{1}{6}\cdot 4 = \frac{2}{3}\). Nel secondo caso risulta \(\frac{1}{36} \cdot 24 = \frac{2}{3}\), uguale al primo tipo di gioco.
Nonostante le probabilità fossero uguali secondo i suoi calcoli, il cavaliere perse molto denaro scommettendo sull’uscita della coppia di \(6\) in \(24\) lanci, mentre in genere vinceva nel primo tipo di gioco. Per questo sottopose il problema al grande matematico Pascal.
Pascal fornì la risposta giusta, concludendo che la coppia di \(6\) su \(24\) lanci è un evento con minore probabilità di un singolo \(6\) su \(4\) lanci.
Vediamo la soluzione utilizzando la notazione moderna, risolvendo separatamente i due tipi di gioco.
Nel primo gioco i casi totali sono: \(6^{4}=1296\); i casi sfavorevoli sono \(5^{4}=625\); i casi favorevoli sono \(1296-625=671\). Quindi il primo tipo di gioco è favorevole allo scommettitore.
Nel secondo gioco i casi totali sono: \(36^{24}\), i casi sfavorevoli sono \(35^{24}\)e i casi favorevoli sono \(36^{24}-35^{24}\). Si tratta di numeri molto grandi; tuttavia si può vedere che il numero dei casi sfavorevoli questa volta è maggiore di quelli favorevoli.
In termini di probabilità la probabilità di vincita nel primo tipo di gioco è:
Il primo gioco quindi non è equo, ma favorevole allo scommettitore: su \(100\) scommesse vincerebbe mediamente \(52\) volte.
La probabilità di vincita nel secondo tipo di gioco è invece:
\[ P(A_{2}) = 1 – \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx 0,4914 \]confermando che il secondo gioco è meno favorevole del primo. Anche il secondo gioco non è equo, ma questa volta è sfavorevole allo scommettitore: su \(100\) scommesse vincerebbe mediamente \(49\) volte.
3.3) Il problema della divisione della posta (o problema dei punti)
Due giocatori A e B mettono in palio una certa posta che verrà data al primo dei due che raggiungerà un numero fissato \(N\) di punti, in una successione di prove indipendenti. Tuttavia il gioco viene interrotto quando il giocatore A ha guadagnato \(a\) punti e il giocatore B ne ha ottenuti \(b\). La domanda è come deve essere divisa la posta totale messa in gioco?
Nella versione iniziale si suppone che i due giocatori abbiano la stessa probabilità di vincita di ogni singolo punto. La sostanza del problema consiste nel calcolare la probabilità di vincita di ognuno dei due giocatori, al momento dell’interruzione, in funzione dei punti guadagnati da ognuno.
In questo articolo presenteremo alcuni tentativi non corretti di soluzione proposti dai primi studiosi di probabilità dell’epoca. In un articolo successivo presenteremo le soluzioni corrette e complete date da Pascal e Fermat.
3.3.1) La soluzione di Luca Pacioli
Il matematico Luca Pacioli (1447-1517) espose il problema nelle sua importante opera ‘Summa de aritmetica, geometria, proporzioni et proporzionalita (1494)’. Ricordiamo tra l’altro che Pacioli viene anche considerato il fondatore della Ragioneria, per avere inventato il metodo della Partita Doppia.
Egli considerò una versione particolare del problema: A e B giocano ad un gioco equo che si completerà quando uno dei due vince \(6\) partite. La gara viene interrotta quando il giocatore A ha vinto \(5\) partite e B ne ha vinte \(3\). Come va ripartita la posta?
La soluzione di Pacioli consiste nel dividere la posta in proporzione ai punti ottenuti dai due giocatori. Quindi A riceve \(\frac{5}{5+3}=\frac{5}{8}\) e B riceve \(\frac{3}{5+3}=\frac{3}{8}\) della posta totale.
3.3.2) La critica di Tartaglia
Tartaglia criticò la soluzione di Pacioli nel suo ‘General trattato de’ numeri et misure‘. Tartaglia fece notare che, in base alla regola di Pacioli, se A vincesse una sola partita e B nessuna, allora il giocatore A dovrebbe prendere tutta la posta, che non è ovviamente corretto. Tartaglia comprese che per risolvere il problema non si devono considerare i punti già ottenuti, ma bisogna calcolare le probabilità che i due giocatori hanno di guadagnare i punti rimanenti. Il metodo di Tartaglia consiste nel corrispondere al giocatore che è in vantaggio la sua posta iniziale più una frazione ottenuta dividendo la differenze dei punti ottenuti per il punteggio totale richiesto per completare il gioco.
Applichiamo il metodo di Tartaglia al seguente esempio: A e B giocano una partita a palla che si completa quando uno dei due vince \(60\) partite. Ognuno investe 22 euro. La gara viene interrotta quando il giocatore A ha vinto \(50\) partite e B ne ha vinte \(30\). Come va ripartita la posta?
Il metodo di Tartaglia prevede i seguenti calcoli:
\[ \begin{array}{l} 50 – 30=20 \text{ differenza dei punti ottenuti} \\ \frac{20}{60} \text{ frazione rispetto al gioco completo} \\ 22 + \frac{22}{3} \text{ somma corrisposta al giocatore in vantaggio} \\ 22 – \frac{22}{3} \text{ somma corrisposta al giocatore in svantaggio} \\ \end{array} \]Tuttavia anche il metodo di Tartaglia non è corretto.
3.3.3) Risoluzione secondo Cardano
Anche Cardano capì che la soluzione del problema della divisione della posta dipende dal numero delle partite mancanti, e non da quelle giocate. Cardano propone di dividere la posta secondo il rapporto delle due progressioni aritmetiche, definite in funzione dei punti mancanti ai due giocatori:
\[ \begin{array}{l} 1+ 2 + \cdots + (n-a) = \dfrac{(n-a)(n-a+1)}{2} \\ 1+ 2 + \cdots + (n-b) = \dfrac{(n-b)(n-b+1)}{2} \\ \end{array} \]Quindi la posta dovrebbe essere divisa in base al rapporto fra le progressioni di \((n-a)\) e \((n-b)\), ovvero
\[ (n−b)(n−b+1) : (n−a)(n−a+1) \]Applicando questa regola al primo tipo del problema di Pacioli \((n=6;\ a=5;\ b=3)\), si trova che la posta dovrebbe essere corrisposta ai giocatori nel rapporto \((6:1)\).
La logica di Cardano si basa sull’idea che il giocatore in vantaggio deve ricevere una compensazione proporzionale allo sforzo che l’altro giocatore deve fare per vincere la gara. Le progressioni basate sui punti mancanti sono secondo Cardano una misura dello sforzo relativo dei due giocatori per ottenere il numero dei punti previsto dal gioco.
Anche la soluzione di Cardano è errata, nonostante l’impostazione sia sostanzialmente corretta. La soluzione corretta venne data successivamente da Pascal e Fermat, grazie anche ai nuovi strumenti messi a disposizione dagli sviluppi del Calcolo Combinatorio. Descriveremo le soluzioni di Pascal e Fermat in un articolo successivo.
Conclusione
Come abbiamo visto Cardano ha dato contributi importanti alla nascita del Calcolo delle Probabilità, anche se le sue analisi in diverse occasioni erano troppo semplicistiche o anche errate. Dopo di lui saranno soprattutto Pascal, Fermat e poi Huygens a gettare le basi per una definizione rigorosa del concetto di probabilità classica e la dimostrazione dei principali teoremi.
Bibliografia
[1]F. Dostoevskij – The Gambler and Other Stories (Penguin Classics)
[2]G. Cardano – The Book on Games of Chance (Dover)
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