Esercizio 1

Dimostrare che

\[ \sum_{k=1}^{100}k! \equiv 0 \pmod {11} \]

Soluzione
Per trovare il resto della somma divisa per \(11\) bisogna trovare il resto della divisione per la somma dei primi \(10\) termini, in quanto dall’undicesimo in poi tutti sono divisibili per \(11\). Possiamo scomporre la somma dei primi \(10\) termini in tre gruppi:

\[ \begin{split} S_{1} &= 1! + 2! + 3! + 4 ! = 33= 3\cdot 11 \\ S_{2} &= 5! + 6! + 7! + 8! = 46200= 4200 \cdot 11 \\ S_{3} &= 9! + 10! = 9!(1+10)= 9! \cdot 11 \end{split} \]

Quindi possiamo concludere che il numero \(11\) divide la somma dei fattoriali.

Esercizio 2

Risolvere la seguente equazione di ricorrenza:

\[ \begin{split} y_{n+2} &= (n+3)y_{n+1} – (n+2)y_{n} \\ y_{1} &=1 \\ y_{2} &=3 \\ \end{split} \]

Soluzione
Definire una nuova successione \(x_{n}=y_{n}-y_{n-1}\). Con semplici calcoli si trova che \(x_{n}=n!\) e quindi la soluzione \(y_{n}\) è la seguente

\[ y_{n}=\sum_{k=1}^{n}n! \]

Esercizio 2 bis

Dimostrare che per \(n \ge 4\) l’ultima cifra di \(y_{n}\) è sempre uguale a \(3\) .

Suggerimento
Intanto si ha \(y_{4}=33\). Inoltre per \(k \ge 5\) ogni numero \(k!\) termina con la cifra uguale a zero, in quanto sono presenti i fattori \(2\) e \(5\).

Esercizio 3

Calcolare la somma seguente:

\[ S= 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \cdots + 49 \cdot 49! \]

Suggerimento
Notare che \((k+1)! – k!= k \cdot k!\).
La soluzione è \(S=50! -1 \).

Esercizio 4

Trovare una formula chiusa per la seguente espressione:

\[ S_{n}= 1-2+3- \cdots + (-1)^{n-1}n \]

Esercizio 5

Calcolare la seguente somma:

\[ S_{n}=\frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2\cdot 3}+ \cdots \frac{1}{999 \cdot 1000} \]

Risposta: [\(\frac{999}{1000}\)]

Esercizio 6

Calcolare il seguente prodotto infinito:

\[ \prod_{k=2}^{\infty}\frac{n^{3}+1}{n^{3}-1}=\frac{3}{2} \]
SOLUZIONE

Soluzione
Per calcolare un prodotto infinito bisogna prima calcolare il prodotto parziale \(P(N)\) fino ad un generico intero \(N\) e poi calcolare il limite per \(N\) che tende all’infinito.

\[ \begin{split} P(N) &=\prod_{k=2}^{N}\frac{n^{3}+1}{n^{3}-1}=\prod_{k=2}^{N}\frac{(n+1)(n^{2}-n+1)}{(n-1)(n^{2}+n+1)} \\ &=\frac{\displaystyle \prod_{k=2}^{N}(n+1)}{\displaystyle \prod_{k=0}^{N-2}(n+1)} \frac{\displaystyle \prod_{k=1}^{N-1}(n^{2}+n+1)}{\displaystyle \prod_{k=2}^{N}(n^{2}+n+1)} \end{split} \]

Semplificando otteniamo il seguente valore per il prodotto parziale \(P(N)\):

\[ P(N)=\frac{N(N+1)}{2}\frac{3}{N^{2}+N+1} \]

Quindi il valore del prodotto infinito è

\[ \lim_{N \to \infty}P(N) = \frac{3}{2} \]

Esercizio 7

Dimostrare che prodotto infinito armonico diverge a zero:

\[ \prod_{n=2}^{\infty}(1 – \frac{1}{n})=0 \]

Soluzione
Il prodotto parziale \(P(N)\) è

\[ P(N) = (1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3}) \cdots (1-\frac{1}{N})=\frac{1}{N} \rightarrow 0 \]

Esercizio 8

\[ \prod_{n=2}^{\infty}(1 – \frac{1}{n^{2}})=\frac{1}{2} \]

Esercizio 9

Dimostrare la seguente formula:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+p)}=\frac{1}{p}\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k} \]

Suggerimento
Sfruttare il fatto che la serie è telescopica, a causa della relazione \(\frac{1}{k(k+p)}=\frac{1}{p}(\frac{1}{k}- \frac{1}{k+p})\).

Esercizio 10

Dimostrare che esistono infiniti numeri primi della forma \(6n-1\).

Suggerimento
In primo luogo è facile dimostrare che dato un numero primo \(p>3\) allora deve essere \(p \equiv 1 \pmod{6}\) oppure \(p \equiv -1 \pmod{6}\). Quindi supponiamo che esista solo un numero finito di primi della forma \(6n-1\). Indichiamo con \(p\) il più grande numero primo \(p \equiv -1 \pmod{6}\).
Poniamo \(n=p!-1 = \prod_{i=i}^{k}p_{i}\), dove tutti i primi \(p_{i}\) sono maggiori di \(p\), altrimenti dovrebbero dividere il numero \(1\). Quindi concludere arrivando ad una contraddizione in quanto ovviamente deve essere \(p! \equiv 0 \pmod{6}\).

Esercizio 11

Sia \(p\) un numero primo. Trovare tutte le soluzioni intere positive della seguente equazione:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y}= \frac{1}{p} \]

Risposta: [\((p+1,p(p+1));(2p,2p);(p(p+1),p+1)\)]


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