Il questo articolo studieremo un importante risultato, chiamato lemma o teorema di Burnside (1852-1927), che è molto utile per contare le configurazioni di un oggetto, tenendo conto delle simmetrie. In realtà il teorema era stato dimostrato in precedenza da Frobenius (1849-1917) e ancora prima da Cauchy (1789-1857 ), per cui Leggi tutto…
In questo articolo studieremo il secondo teorema di Shannon, relativo alla comunicazione su un canale in presenza di rumore. Nel \(1948\) Shannon dimostrò che è possibile trasmettere i dati con una data velocità e con una probabilità di errore piccola a piacere. Il massimo della velocità dipende dalla capacità del Leggi tutto…
In questo articolo studieremo il problema della rappresentazione degli interi come somma di quadrati. Il problema consiste nel determinare sotto quali condizioni un intero positivo \(n\) si può scrivere come somma di due quadrati di interi, cioè nella forma \[ n = x^{2}+ y^{2} \ , \quad x,y \in \mathbb{Z} Leggi tutto…
Nel libro V degli Elementi di Euclide viene illustrata la teoria delle proporzioni, sviluppata da Eudosso di Cnido nella prima metà del secolo IV a.C. La teoria di Eudosso è un esempio del grande livello di astrazione raggiunto dai matematici Greci. Ha permesso di superare la crisi dovuta alla scoperta Leggi tutto…
In un articolo precedente abbiamo esaminato il problema della trasmissione di messaggi in presenza di un canale ideale privo di rumore e quindi senza errori. Abbiamo studiato il primo teorema di Shannon che permette di individuare i codici ottimali per la sorgente.In questo articolo studieremo la trasmissione di un messaggio attraverso Leggi tutto…
Il numero \(\pi\) è il rapporto fra la lunghezza della circonferenza di un cerchio e il suo diametro. Come è noto nella geometria euclidea tale rapporto è invariabile, qualunque siano le dimensioni del cerchio. Si tratta di un numero irrazionale, quindi con infinite cifre, il cui calcolo non è affatto Leggi tutto…
La Crittologia è la scienza che si occupa della creazione e della decifrazione dei codici segreti. I codici segreti vengono creati per proteggere e trasmettere in modo sicuro le informazioni. La Crittologia è costituita da due branche fondamentali: Crittografia, che si occupa di creare codici segreti per cifrare i messaggi Leggi tutto…
Nell’articolo precedente abbiamo illustrato due risultati importanti sulla distribuzione dei numeri primi: \[ \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x \to \infty}\pi(x)=\infty \\ \sum\limits_{p}{}\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{11}+ \cdots=\infty \end{array} \] dove \(\pi(x)\) è la funzione che conta il numero dei primi che non superano \(x\). Il primo risultato è già presente negli ‘Elementi’ di Euclide, mentre il secondo Leggi tutto…
La nascita della Teoria dell’informazione può essere fatta risalire al \(1948\), l’anno della pubblicazione dell’articolo ‘A mathematical theory of communication‘ di Claude Shannon (1916-2001 ). L’opera di Shannon è stata fondamentale per lo sviluppo della tecnologia digitale di trasmissione dei dati sulle reti di computer e sulla rete globale Internet. Leggi tutto…
In un precedente articolo di questo sito abbiamo visto che l’insieme dei numeri reali \(\mathbb{R}\) può essere decomposto in due sottoinsiemi disgiunti: i numeri razionali e i numeri irrazionali. In questo articolo vedremo una diversa suddivisione di \(\mathbb{R}\), altrettanto importante: i numeri algebrici e i numeri trascendenti. 1) I numeri Leggi tutto…