Il Logaritmo e la Funzione Esponenziale – Storia, Teoria e Applicazioni

In questo articolo studieremo le principali proprietà e applicazioni di due funzioni matematiche molto importanti: la funzione logaritmica e la funzione esponenziale. I logaritmi hanno la proprietà fondamentale di trasformare le operazioni di moltiplicazione e divisione in operazioni di addizione e sottrazione, molto più facili da eseguire. Questo rende i logaritmi particolarmente utili per semplificare ed eseguire operazioni complesse con maggiore precisione.
La funzione esponenziale è l’inversa della funzione logaritmica, e ha un utilizzo in molti settori della scienza e della tecnologia: matematica, fisica, chimica, biologia, finanza, ingegneria, ecc.

1) Breve storia dei logaritmi

I logaritmi sono stati introdotti nel \(1614\) da John Napier \((1550-1617)\), noto nella lingua italiana con il nome di Nepero. Lo scopo principale di Nepero era trovare dei metodi semplici ed efficienti per eseguire operazioni di moltiplicazione, divisione e calcolo di radici di numeri reali.
Questa esigenza era particolarmente sentita nel campo dell’astronomia, dove era necessario effettuare operazioni con numeri molto grandi. Calcolare il prodotto di numeri con diverse cifre decimali era un lavoro molto complesso e soggetto ad errori. Un metodo molto utilizzato dai matematici per questi calcoli era basato sull’utilizzo delle formule trigonometriche di prostaferesi e di Werner. Le formule di prostaferesi permettono di trasformare la somma o differenza di una stessa funzione trigonometrica (ad esempio il seno) calcolata in due angoli diversi nel prodotto di due funzioni trigonometriche. Esempi di formule di prostaferesi sono le seguenti:

\[ \begin{array}{l} \sin x + \sin y = 2 \sin \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2} \\ \cos x + \cos y = 2 \cos \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2} \\ \end{array} \]

In realtà per semplificare i calcoli venivano utilizzate le formule di Werner, che trasformano un prodotto di funzioni trigonometriche in una somma o differenza:

\[ \begin{array}{l} \sin x \cdot \sin y = \dfrac{1}{2}[\cos(x-y)- \cos(x+y)] \\ \cos x \cdot \cos y = \dfrac{1}{2}[\cos(x-y)+ \cos(x+y)] \\ \sin x \cdot \cos y = \dfrac{1}{2}[\sin(x-y)+ \sin(x+y)] \end{array} \]

Esempio 1.1 – Calcolo del prodotto con le formule di Werner
Per calcolare il prodotto di due numeri \(A,B\) per prima cosa se necessario li normalizziamo come numeri compresi fra \(0\) e \(1\). Quindi prendiamo una tabella trigonometrica dei seni e coseni e troviamo gli angoli \(x,y\) tali che \(A=\cos x\) e \(B= \cos y\). Quindi calcoliamo \(x+y\) e \(x-y\) e mediante le tabelle troviamo \(\cos (x+y)\) e \(\cos (x-y)\). Quindi sommiamo e dividiamo per due ottenendo il prodotto \(A \cdot B\) mediante la formula di Werner. Alla fine se necessario mettiamo la virgola nel posto giusto per ottenere il risultato cercato \(A \cdot B\).
Come esempio concreto poniamo \(A=1994\) e \(B=2562\). Vogliamo calcolare una stima approssimata del prodotto \(A*B=1994 * 2562 = 5.108.628\). Le operazioni sono descritte nello schema seguente:

\[ \begin{array}{l} A_{1}= 0,1994; \quad B_{1} = 0,2562 \\ \cos x = 0,1994; \quad \cos y = 0,2562 \\ x = \cos^{-1}0,1994 \approx 78,4981; \quad y =\cos^{-1}0,2562 \approx 75,1552 \\ \cos (78,4981 + 75.1552 ) \approx -0,8961. \\ \cos (78,4981 -75,1552) \approx 0,9982 \\ A_{1} \cdot B_{1}= \dfrac{(-0,8961 + 0,9982)}{2} \approx 0,05105 \\ A \cdot B \approx 0,05105 * 10^{8}. \end{array} \]

1.1) Definizione del logaritmo di Nepero

L’idea base del metodo di Nepero è quella di ridurre le operazioni di moltiplicazione e divisione a operazioni di addizione e sottrazione. Ad esempio supponiamo di avere una tabella delle potenze di \(2\) e di voler calcolare il prodotto \(64*128\). Poiché \(64=2^{6}\) e \(256 = 2^{8}\), applicando la regola delle potenze, abbiamo

\[ 64*256= 2^{6}* 2^{8}= 2^{14} \]

Leggendo la tabella delle potenze di \(2\) troviamo che \(2^{14}=16384\).
Naturalmente la stessa procedura è valida se si dispone di una tabella delle potenze di \(10\). Ad esempio supponiamo di avere una tabella con le potenze di 10 dei numeri da 1,0000001 a 10,0000000, con intervallo di 0,0000001. Per moltiplicare due numeri, ad esempio \(A=4.578\) e \(B= 7.245\), cerchiamo sulla tabella i valori approssimati \(a,b\) tali che \(4.578 = 10^{a}\) e \( 7.245 = 10^{b}\), poi tramite la tabella cerchiamo il numero corrispondente a \(10^{a+b}\). Quindi abbiamo calcolato il prodotto semplicemente effettuando una somma e utilizzando la tabella.
Nepero descrisse il suo metodo nell’opera ‘Mirifici logarithmorum canonis descriptio’, pubblicata nel 1614. Gli astronomi del tempo utilizzavano le funzioni trigonometriche, come il seno, per effettuare i calcoli. Quindi Nepero realizzò una tabella nella quale la moltiplicazione di due seni poteva essere fatta mediante l’addizione. Ricordiamo che nel periodo di Nepero la definizione del seno di un angolo era diversa da quella moderna, ma il valore dipendeva dal raggio del cerchio utilizzato. Precisamente il seno di un angolo era uguale alla metà della lunghezza della corda di un cerchio di raggio \(R\), che sottende il doppio dell’angolo. Per maggiori dettagli vedi articolo su questo sito.
Nepero basò il suo metodo su considerazioni di tipo cinematico. Immaginò due particelle che si muovono rispettivamente lungo una retta orizzontale e lungo un segmento. Le due particelle partono ad un certo istante con la stessa velocità iniziale. La prima particella si muove con moto uniforme lungo una retta di lunghezza infinita:

Il punto A si muove di moto uniforme con velocità costante uguale a \(10^7\), lungo una successione aritmetica crescente \(a,2a,3a,\cdots\) dove \(a=OQ_{1}\).
La seconda particella ha un moto confinato in un segmento finito e la sua velocità è proporzionale alla distanza della particella dal punto finale \(R\) del segmento:

Il segmento è lungo \(10^{7}\). Il punto \(B\) parte da \(O\) e si muove verso \(R\) (punto finale) con velocità proporzionale alla distanza da \(R\). La velocità iniziale è \(10^7\) e quella finale è zero.
I punti \(P_{k}\) vengono determinati in intervalli di tempo uguali di lunghezza \(t\).
Quando il punto \(B\) raggiunge il punto \(P_{k}\), il punto \(A\) raggiunge il punto \(Q_{k}\). La definizione del logaritmo di Nepero, indicato con il simbolo \(\text{NapLog}\) è la seguente:

\[ OQ_{k}= \text{NapLog}(RP_{k}) \]

In base a questa definizione si ha \(\text{NapLog}(10^7)=0\). Questo corrisponde alla scelta di Nepero di associare la lunghezza del segmento da \(O\) a \(R\) al raggio del cerchio. Secondo Nepero quindi il seno di \(90^{°}\) è uguale a \(10^{7}\). Il logaritmo di ogni seno minore di \(10^{7}\) è positivo e aumenta all’infinito quando il seno si avvicina a zero. In base alla definizione di Nepero il logaritmo di un numero maggiore di \(10^{7}\) assume valore negativo.

Esempio 1.2
Consideriamo il primo intervallo di tempo \(t\). Il punto \(B\) si muove verso \(P_{1}\), con \(R P_{1}=10^{7}-OP_{1}=10^{7} – 10^{7}t=10^{7}(1-t)\). Nello stesso intervallo di tempo il punto \(A\) ha raggiunto il punto \(Q_{1}\), dove \(OQ_{1}=10^{7}t\). Da questo deduciamo la seguente formula

\[ NapLog \left[10^7(1-t)\right]= 10^{7}t \]

Procedendo con lo stesso ragionamento negli intervalli successivi Nepero ottenne la seguente formula generale, ponendo \(t=10^{-7}\):

\[ NapLog\left[10^{7}\left(1-\dfrac{1}{10^{7}}\right)^{L}\right]=L \]

dove \(L\) è un numero reale positivo.

Esercizio 1.1
Supponiamo che

\[ \begin{array}{l} x_1 = \left[10^{7}\left(1-\dfrac{1}{10^{7}}\right)^{L_{1}}\right] \\ x_2 = \left[10^{7}\left(1-\dfrac{1}{10^{7}}\right)^{L_{2}}\right] \end{array} \]

Dimostrare le seguenti formule

\[ \begin{array}{l} NapLog \left(\dfrac{x_{1}\cdot x_{2}}{10^{7}}\right)= NapLog (x_{1}) + NapLog (x_{2})=L_{1}+L_{2} \\ NapLog \left(\sqrt{x_{1}\cdot x_{2}}\right)= \dfrac{NapLog (x_{1}) + NapLog (x_{2})}{2}=\dfrac{L_{1}+L_{2}}{2} \end{array} \]

Osservazione
Il logaritmo definito da Nepero non coincide con la definizione moderna del logaritmo naturale o neperiano, ma utilizza un modello geometrico basato sulla teoria delle proporzioni. Lo scopo principale di Nepero era di creare una tabella utile per gli astronomi, che permettesse di effettuare le moltiplicazioni delle funzioni trigonometriche mediante delle addizioni.
In un paragrafo successivo vedremo in dettaglio la relazione fra il logaritmo naturale moderno e il logaritmo definito da Nepero.

1.2) Il contributo di Briggs

Il matematico inglese Briggs (1561-1630) perfezionò il lavoro di Nepero apportando importanti modifiche. Briggs cercò di modificare le definizioni di Nepero per garantire la relazione fondamentale dei logaritmi:

\[ \log (xy) = \log x + \log y \]

Dalla relazione precedente deriva che deve essere \(\log 1=0\). Inoltre Briggs preferì utilizzare la base \(10\), e quindi \(\log 10=1\). Lo stesso Briggs costruì nuove tabelle con i logaritmi in base \(10\) (‘Arithmetica Logarithmica’) e introdusse anche i concetti di caratteristica e mantissa, che spiegheremo nel seguito dell’articolo.
Le tabelle logaritmiche in base decimale diventarono in breve tempo uno strumento fondamentale per scienziati, ingegneri e naviganti, in quanto permisero di semplificare calcoli complessi, che in precedenza richiedevano un grande lavoro ed erano soggetti a molti errori.
Per un’analisi dettagliata dei contributi di Briggs vedere ad esempio questo link.

2) La scala logaritmica e il regolo calcolatore

2.1) Scala lineare e scala logaritmica

Il matematico francese René Descartes (Cartesio) nel \(1637\) introdusse l’utilizzo delle coordinate cartesiane per visualizzare la relazione fra due variabili in un piano (detto piano Cartesiano). I diagrammi cartesiani sono utilizzati in moltissimi settori: matematica, fisica, economia, statistica, scienze sociali, e via discorrendo.
I due assi chiamati ascissa e ordinata formano una griglia rettangolare con spaziatura costante fra le rette. I valori rappresentati sugli assi non sono semplicemente dei numeri, ma hanno delle dimensioni (tempo, spazio, velocità, pressione, ecc.) e delle unità di misura. Per esempio se vogliamo rappresentare delle misurazioni di temperatura di un oggetto o in un ambiente, i valori possono essere gradi Celsius oppure Fahrenheit. Nel caso di distanze i valori possono essere misurati in centimetri, metri, chilometri, anni-luce, ecc.
In un diagramma cartesiano la spaziatura fra le rette della griglia corrisponde a differenze di una unità di valore nella unità di misura scelta. Per esempio in una scala dei tempi misurata in ore, i valori di due rette vicine differiscono di un’ora.
In una scala lineare la distanza fra due punti del reticolo è un valore costante, cioè la differenza tra due punti qualsiasi sulla scala è uniforme in tutto l’asse cartesiano. Ad esempio se misuriamo la distanza in metri su una scala lineare, allora la distanza tra i punti corrispondenti a 10m e 30m è la stessa della distanza tra i punti corrispondenti a 80m e 100m.
La scala lineare è adatta per rappresentare valori distribuiti in modo uniforme.
In diverse situazioni tuttavia è preferibile utilizzare delle scale non lineari, nelle quali ad una stessa spaziatura sull’asse cartesiano non corrisponde una stessa differenza di valori dei dati.
La scala non lineare più comune è la scala logaritmica, nella quale ad una variazione di una unità nella scala corrisponde la moltiplicazione per un valore fissato.
Per creare una scala logaritmica, ad esempio della funzione \(y=x^{3}\) calcoliamo il valore \(z= \log_{10}y= 3 \log_{10}x\) come è mostrato nei diagrammi sottostanti:

In questo caso si può verificare che il fattore di moltiplicazione è uguale a \(10^{1/3}\). Infatti

\[ 3\log_{10} (10^{1/3}\cdot x) = 3 \log_{10}x + 1 \]

2.2) Il regolo calcolatore

Una prima conseguenza degli studi di Nepero fu lo sviluppo del regolo calcolatore. Il regolo calcolatore è uno strumento di calcolo analogico, che sfrutta le proprietà dei logaritmi, e permette di effettuare operazioni complesse (prodotti, quozienti, esponenziali) mediante operazioni più semplici effettuate sui logaritmi degli operandi. Queste operazioni vengono eseguite graficamente, spostando delle asticelle graduate con una scala logaritmica.
Il primo modello venne sviluppato da Edmund Gunter nel 1623, il quale utilizzava una scala logaritmica ed un compasso per effettuare i calcoli. In seguito vennero sviluppati diversi modelli e in particolare nel 1622 William Oughtred (1574–1660) creò un modello con due scale logaritmiche adiacenti. In seguito Oughtred comprese che i compassi non erano necessari e creò il regolo con due scale lineari adiacenti, come lo conosciamo oggi.
La scala logaritmica si ottiene dividendo un segmento con tratti le cui distanze dall’origine sono misurate dai logaritmi dei numeri, segnati in corrispondenza dei tratti stessi. Scelta la lunghezza del segmento a rappresentare l’unità logaritmica, poiché \(\log_{10}1 = 0 \) e \(\log_{10}10 = 1\), il numero uno cade in corrispondenza dell’origine e il dieci in corrispondenza dell’estremo del segmento; in questo si possono quindi segnare le divisioni corrispondenti ai logaritmi dei numeri da 1 a 10. I numeri sono segnati sul righello ad una distanza dall’origine che è proporzionale al valore del loro logaritmo. Ad esempio

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline 0 & 0,301 & 0,477 & 0,602 & 0,699 & 0,778 & 0,845 & 0,903 & 0,954 & 1 \\ \hline \end{array} \]

Sovrapponendo due righelli con le scale logaritmiche possiamo eseguire operazioni di moltiplicazione e divisione semplicemente effettuando addizioni o sottrazioni.

Esempio 2.1
L’immagine seguente mostra come effettuare il prodotto \(1,5 \cdot 2,5 \approx 3,75\)

Il regolo calcolatore è stato uno dei principali strumenti di calcolo degli scienziati e ingegneri fino agli anni 1950, prima dell’avvento delle calcolatrici elettroniche e poi dei computer negli anni successivi.
Per approfondire la storia del regolo calcolatore vedere storia1 e storia2.

2.3) Terza legge di Keplero

L’invenzione dei logaritmi ebbe una grande importanza, in particolare nell’astronomia e nella navigazione. Semplificando i calcoli, i logaritmi permisero di migliorare la precisione dei calcoli astronomici e migliorare i modelli della meccanica celeste. Anche nella navigazione oceanica i logaritmi permisero di migliorare i calcoli della longitudine e latitudine nei lunghi viaggi.
Un esempio importante è dato dai calcoli fatti da Keplero per determinare le posizioni del sole, della terra, della luna e degli altri pianeti. Mediante l’uso dei logaritmi Keplero pubblicò nel \(1627\) le ‘Tavole Rudolfine’, così dette in onore dell’imperatore Rodolfo II. Si tratta di un grande catalogo contenente la posizione di oltre \(1000\) stelle, che sostituì le tavole utilizzate fino ad allora.
Keplero derivò le sue tre leggi dallo studio dei dati dell’astronomo danese Tycho Brahe (1546-1601) e dalle osservazioni:

• Prima legge di Keplero: ogni pianeta descrive un’orbita ellittica intorno al Sole, e uno dei fuochi dell’ellisse si trova al centro del Sole.
• Seconda legge di Keplero: il raggio vettore che va dal Sole ad un pianeta spazza aree uguali in intervalli di tempo uguali.
• Terza legge di Keplero: il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore di un’orbita e il quadrato del periodo di rivoluzione è lo stesso per tutti i pianeti.

In particolare la terza legge di Keplero può essere scritta nella forma seguente:

\[ T^{2} = k D^{3}, \quad k \text{ costante} \]

Utilizzando una scala logaritmica \( \log T – \log D\), Keplero costruì un grafico e notò che tutti i pianeti si trovavano quasi esattamente lungo una retta. Probabilmente fu proprio lo studio di questo grafico che diede a Keplero l’idea della sua terza legge.

3) Eulero e il logaritmo naturale

I logaritmi in base \(10\) introdotti da Briggs sono subito diventati uno strumento essenziale di calcolo per gli scienziati e ingegneri. In seguito è emerso un nuovo concetto di fondamentale importanza nella matematica e nella scienza: il logaritmo naturale, che è definito prendendo come base il numero \(e\) di Eulero, che è un numero irrazionale con valore approssimato \(2,7128\). Può essere definito in modi equivalenti, ad esempio come limite di una successione o come somma di una serie infinita:

\[ \begin{array}{l} e = \lim\limits_{n \to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n} \\ e = 1+ \dfrac{1}{1!}+ \dfrac{1}{2!}+ \dfrac{1}{3!}+ \cdots \end{array} \]

Questo numero appare in molte aree della matematica pura e applicata.
L’introduzione del logaritmo naturale è dovuta soprattutto ad Eulero (1701-1783), che studiò in modo approfondito le proprietà della funzione logaritmica e della funzione esponenziale \(f(x)=e^{x}\). Queste due funzioni sono ognuna l’inversa dell’altra.
Per un approfondimento del numero di Eulero vedere l’articolo su questo sito.

Esercizio 3.1
Dimostrare che il numero di Eulero può essere definito anche nel seguente modo:

\[ \begin{array}{l} e = \lim\limits_{x \to 0}\left(1+ x\right)^{\frac{1}{x}}, \quad x \text{ numero reale} \end{array} \]

3.1) La scoperta del numero di Eulero – Bernoulli e il calcolo dell’interesse composto

La prima scoperta del numero \(e\) di Eulero può essere fatta risalire a Jacob Bernoulli (1654-1705), il quale stava studiando la formula per calcolare l’interesse composto.
Nel regime di capitalizzazione semplice l’interesse è pagato sul capitale iniziale: ad esempio dato un capitale iniziale \(C(0)\) e supponendo di applicare un tasso di interesse annuale \(r\), il capitale al tempo \(t\) è dato dalla formula seguente:

\[ \begin{array}{l} C(t) = C(0)(1+rt) \end{array} \]

Nel regime di capitalizzazione composta l’interesse è pagato sul capitale continuamente rivalutato. Supponiamo di depositare in banca un capitale \(C(0)\) sul quale viene applicato un tasso di interesse uguale a \(\dfrac{100}{n}%\) calcolato \(n\) volte l’anno. Dopo il primo calcolo abbiamo un capitale di \(C(0)\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{1}\). Alla fine dell’anno il capitale disponibile diventa \(C(0)\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\).

Esercizio 3.2
Dimostrare che la formula generale per il calcolo dell’interesse composto è la seguente:

\[ C(t) = C(0)\left( 1+ \dfrac{r}{n}\right)^{nt} \]

dove \(C(0)\) è il capitale iniziale, \(C(t)\) è il capitale finale, \(r\) è il tasso di interesse, \(n\) è il numero di calcoli dell’interesse ogni anno e \(t\) è il numero di anni.

Esempio 3.1
Supponiamo \(r= \dfrac{8}{100}\), frequenza capitalizzazione semestrale, cioè \(n=2\), e \(t=3\). Investendo un capitale iniziale \(C(0)=1000\), dopo tre anni il capitale naturato a disposizione è

\[ C(3) = C(0)\left( 1+ \dfrac{8}{2 \cdot 100}\right)^{2\cdot 3} \approx 1265,32 \]

Supponendo di aumentare \(n\) all’infinito, abbiamo la formula della capitalizzazione composta continua:

\[ C(t)=\lim\limits_{n \to \infty}C(0)\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}=C(0)e^{rt} \]

3.2) Il logaritmo naturale di Eulero

Eulero definisce la funzione logaritmica tramite la funzione esponenziale in questo modo:

\[ \log_{a}x = y \iff a^{y}= x \]

Qualunque numero reale \( a \gt 0\) con \( a \neq 1\) può essere utilizzato come base per definire i logaritmi.
Il logaritmo naturale è definito prendendo come base il numero \(e\) di Eulero. Si utilizza la notazione \(\ln x = \log_{e}x\) (le parole iniziali di logaritmo naturale). La proprietà fondamentale è la seguente:

\[ e^{\ln x} = x \quad \text{dove } x \gt 0 \]

La scelta del numero di Eulero offre grandi vantaggi e semplifica i calcoli in molte situazioni.
Molti problemi di matematica pura e applicata hanno soluzioni che possono essere espresse mediante potenze del numero \(e\) di Eulero.
La definizione di Eulero corrisponde sostanzialmente alla definizione moderna. Inoltre Eulero estese la teoria dei logaritmi anche ai numeri negativi e ai numeri complessi, che vedremo in un paragrafo successivo.

4) Definizione moderna del logaritmo

Per la definizione moderna del logaritmo è utile ricordare alcune proprietà fondamentali delle potenze. Per ora ci limitiamo ai numeri reali.

4.1) Potenze di numeri reali positivi

Distinguiamo vari casi.

Potenze con esponente intero
Sia \(x \) un numero reale positivo e \(n\) un intero positivo. Allora la potenza \(x^{n}\) è definita tramite \(n-1\) ripetute moltiplicazioni:

\[ x^{n} = \underbrace{ x \cdot x \cdots x}_\text{(n volte x)} \]

Ricordiamo che per convenzione si pone \(x^{0}=1\). Nel caso di esponente negativo si definisce

\[ x^{-n} = \frac{1}{x^{n}} \]

Potenze con esponente razionale
La definzione può essere estesa al caso di esponenti razionali. Ricordiamo che un numero razionale \(a\) può essere scritto come rapporto di due numeri interi: \(a = \dfrac{m}{n}, n \neq 0\). Supponiamo prima il caso particolare \(a = \dfrac{1}{n}\). In questo caso definiamo

\[ x^{a}=x^{\frac{1}{n}} =\sqrt[n]{x} \ ,\quad x \ge 0 \]

In questo caso \(\sqrt[n]{x}\) è definito come il numero reale positivo tale che la sua potenza n-esima è uguale a \(x\). Si può dimostrare l’esistenza e unicità di questo numero reale. La dimostrazione si basa sulla continuità della funzione \(y=x^{n}\) e sull’esistenza della funzione inversa continua e strettamente crescente.
La definizione può essere estesa al caso generale di esponente razionale. Supponiamo quindi \(a = \dfrac{m}{n}, n \neq 0\). Possiamo definire la potenza \(x^{a}\) nel seguente modo:

\[ x^{a}=x^{\frac{m}{n}} =\sqrt[n]{x^{m}} \ ,\quad x \ge 0 \]

In questo caso \(\sqrt[n]{x^{m}}\) è definito come il numero reale positivo tale che la sua potenza n-esima è uguale a \(x^{m}\).

Potenze con esponente irrazionale
L’estensione al caso di esponenti irrazionali è più elaborata. Senza entrare nei dettagli, ricordiamo che ogni numero irrazionale può essere rappresentato come limite di una successione di numeri razionali. Dato un numero irrazionale \(x\) abbiamo \(x=\lim_{n \to \infty}x_{n}\), dove \(x_{n}\) è una successione di numeri razionali. Quindi possiamo approssimare la potenza con esponente irrazionale tramite delle potenze con esponenti razionali, al livello di precisone desiderato.

Il seguente teorema riepiloga le proprietà algebriche fondamentali delle potenze:

Teorema 4.1
Dati due numeri reali \(a,b\) e due numeri reali positivi \(x,y\), si ha:

\[ \begin{array}{l} x^{a}x^{b}= a^{a+b} \\ (x^{a})^{b}= x^{ab} \\ (xy)^{a}=x^{a}y^{a} \\ \left(\dfrac{x}{y}\right)^{a}=\dfrac{x^{a}}{y^{a}} \ ,\quad y \neq 0 \end{array} \]

Esempio 4.1
Supponiamo di voler calcolare \(x=2^{\sqrt{2}}\). Alcune approssimazioni razionali del numero irrazionale \(\sqrt{2}\) sono le seguenti:

\[ \begin{array}{l} 1 ;\ 1,4 ;\ 1,41;\ 1,414; \cdots \end{array} \]

Possiamo calcolare delle approssimazioni \(x_{n}\) della potenza \(x=2^{\sqrt{2}}\) in questo modo:

\[ \begin{array}{l} x_{1}=2^{1} \\ x_{2}=2^{1,4}= 2^{\frac{14}{10}}= \sqrt[10]{2^{14}} \\ x_{3}=2^{1,41}= 2^{\frac{141}{100}}= \sqrt[100]{2^{141}} \\ \cdots \end{array} \]

Esercizio 4.1
Supponiamo \(x \gt 0\) e \(a \gt 0\). Dimostrare che la funzione \(f(x)=x^{a}\) è continua e strettamente crescente, e inoltre

\[ \begin{array}{l} \lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}x^{a}= 0 \\ \lim\limits_{x \to +\infty} x^{a}= + \infty \end{array} \]

Se \(a \gt 0\) si pone per convenzione \(0^{a}=0\).

Esercizio 4.2
Supponiamo \(x \gt 0\) e \(a \lt 0\). Dimostrare che la funzione \(f(x)=x^{a}\) è continua e strettamente decrescente, e inoltre

\[ \begin{array}{l} \lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}x^{a}= +\infty \\ \lim\limits_{x \to +\infty} x^{a}= 0 \end{array} \]

4.2) Il logaritmo di un numero reale positivo

Vediamo ora la definizione del logaritmo di un numero reale rispetto ad una data base. La definizione moderna sostanzialmente coincide con la definizione di Eulero.

Definizione 4.1
Sia dato un numero reale \(a \gt 0\) e \(a \neq 1\). Il logaritmo in base \(a\) di un numero reale \(x \gt 0\), indicato con \(y=\log_{a}x\), è definito nel seguente modo:

\[ \begin{array}{l} y = \log_{a}x \iff a^{y}=x \quad \text{con } x \gt 0, a \gt 0, a \neq 1 \end{array} \]

Esempio 4.2

\[ \begin{array}{l} \log_{10}1000 = 3 \\ \log_{4}\frac{1}{64}= -3 \\ \log_{\sqrt{3}}\frac{1}{81}=-8 \\ \log_{\frac{1}{2}}4 = -2 \\ \log_{2}32 = 5 \\ \log_{\sqrt{3}} 81 = 8 \\ \log_{\sqrt{3}} \frac{1}{27} = -6 \end{array} \]

Come base si può prendere qualunque numero reale positivo diverso da \(1\). Il logaritmo naturale è definito prendendo come base il numero di Eulero, e si indica con la notazione \(\ln x\).
Chiaramente vale la seguente identità fondamentale:

\[ \begin{array}{l} a^{\log_{a}x}=x \end{array} \]

Esercizio 4.3
Sia \(x,y\) due numeri reali positivi. Dimostrare le seguenti proprietà del logaritmo:

\[ \begin{array}{l} \log_{a} (x \cdot y) = \log_{a}x + \log_{a}y \\ \log_{a} \dfrac{x}{y} = \log_{a}x – \log_{a}y \\ \log_{a}x^{t} = t \log_{a}x \ ,\quad t \in \mathbb{R} \\ \log_{b} x = \dfrac{\log_{a}x}{\log_{a}b} \quad \text{(cambiamento di base)} \end{array} \]

Esercizio 4.4
Dimostrare la sequente relazione:

\[ \begin{array}{l} \log_{10} x = \dfrac{\ln x}{\ln 10} \approx 0,434294 \cdot \ln x \end{array} \]

Esercizio 4.5

\[ \begin{array}{l} \log_{3} 2 \cdot \log_{4}3 \cdots \log_{10}9 \cdot \log_{11} 10 = \log_{11}2 \end{array} \]

Esercizio 4.6
Verificare i seguenti logaritmi:

\[ \begin{array}{l} \log_{10}5 = 0.69897000433602; \quad 10^{0,69897000433602} = 5 \\ \log_{10} 50 = 1.698970004336; \quad 10^{1,698970004336} = 50 \\ \log_{10}500 = 2.698970004336; \quad 10^{2,698970004336} = 500 \\ \log_{10}5000 = 3.698970004336; \quad 10^{3,698970004336} = 5000 \\ \end{array} \]

Mantissa e caratteristica
Nel caso di logaritmi decimali (base uguale a \(10\)) si chiama caratteristica il massimo intero (anche negativo) che non supera il logaritmo. La mantissa coincide con la differenza positiva fra il logaritmo e la sua caratteristica.

Esempio 4.3

\[ \begin{array}{l} \log_{10}5250 = 3.720159 \quad \text{car=} 3, \text{man=} 0,720159 \\ \log_{10}525,0 = 2.720159 \quad \text{car=} 2, \text{man=} 0,720159 \\ \log_{10}52,50 = 1.720159 \quad \text{car=} 1, \text{man=} 0,720159 \\ \log_{10}5,250 = 0.720159 \quad \text{car=} 0, \text{man=} 0,720159 \\ \log_{10}0,5250 = -0.278941 \quad \text{car=} -1, \text{man=} 0,720159 \\ \\ \end{array} \]

Esercizio 4.7
Dimostrare che se \(x \gt 1\) allora la caratteristica di \(\log_{10}x \) è data numero delle cifre intere di \(x\) che precedono la virgola meno uno. Se \(x \lt 1\) la caratteristica di \(\log_{10}x\) è data dal numero degli zeri che precedono la prima cifra decimale non nulla (includendo anche lo zero che precede la virgola) con segno negativo.
Dedurre anche che la mantissa di un logaritmo in base \(10\) non dipende dalla posizione della virgola decimale del numero di cui si calcola il logaritmo.

4.3) Relazione fra il logaritmo naturale moderno e la definizione di Nepero

In base al modello di Nepero, la posizione del punto \(B\) sul segmento \(OR\) ad un certo istante \(t\) è la seguente:

\[ \begin{array}{l} x(t)= 10^{7} – 10^{7}a^{t} \\ \delta (t) = 10^{7}a^{t} \end{array} \]

dove \(\delta(t)\) è la distanza che rimane da percorrere e il numero \(a\) è minore di \(1\) e molto vicino ad \(1\).
La velocità del punto \(B\) è calcolata effettuando la derivata:

\[ \begin{array}{l} v(t)= -10^{7}a^{t}\ln a \\ \end{array} \]

Imponendo che la velocità ad un certo istante \(t\) sia uguale alla distanza rimanente da percorrere abbiamo:

\[ \begin{array}{l} v(t)= -10^{7}a^{t}\ln a = 10^{7}a^{t} \\ \text{e quindi} \\ \ln a = -1 \implies a = \dfrac{1}{e} \end{array} \]

Nepero scelse il valore \(10^{7}\) e quindi ne potremmo dedurre che la base dei logaritmi di Nepero è uguale \(b=e^{-1/10^{7}}\). Se invece la lunghezza del segmento \(OR\) è assunta uguale a \(1\), o in modo equivalente se nelle tabelle di Nepero scaliamo di un fattore \(10^{7}\), otteniamo i logaritmi in base \(b=\dfrac{1}{e}\).

Esercizio 4.8 – Relazione fra logaritmo classico e logaritmo di Nepero
Dimostrare che vale la seguente relazione:

\[ \begin{array}{l} NapLog (x) = \log_{b} x + 10^{7} \ln 10^{7} =10^{7}\left(\ln 10^{7}- \ln x\right) \end{array} \]

dove \(b = e^{-1/10^{7}}\).

Esercizio 4.9
Dimostrare che

\[ \begin{array}{l} \ln x = \lim\limits_{n \to \infty} n(x^{1/n}-1) \end{array} \]

Nota
Le tabelle dei logaritmi preparate da Briggs utilizzano la base 10. Tuttavia il suo metodo anticipa i logaritmi naturali di Eulero. Infatti per il calcolo Briggs utilizza una formula del seguente tipo:

\[ \begin{array}{l} \log_{10} x \approx \log_{10}e \cdot 2^{k}(x^{1/2^{k}}-1) \approx 0,434294 \cdot 2^{k}(x^{1/2^{k}}-1) \end{array} \]

dove \(k\) è un numero molto grande, ad esempio \(k = 54\).

5) La funzione esponenziale e la funzione logaritmica

In questo paragrafo descriviamo alcune proprietà della funzione esponenziale e della funzione logaritmica.

5.1) La funzione esponenziale

Abbiamo visto nel paragrafo precedente che fissato un numero reale \(a \gt 0\) è possibile definire la potenza \(a^{x}\) per ogni numero reale \(x\). Possiamo quindi definire la funzione su tutti i valori reali:

\[ \begin{array}{l} f(x) = a^{x}, \quad -\infty \lt x \lt + \infty \end{array} \]

Nel diagramma cartesiano seguente sono rappresentati i grafici della funzione esponenziale per alcuni diversi valori della base \(a \gt 0\). Chiaramente nel caso \(a=1\) la funzione è costante.

La proprietà fondamentale della funzione esponenziale è la seguente:

\[ \begin{array}{l} a^{x+y}= a^{x}a^{y} \\ \end{array} \]

Esercizio 5.1
Supponiamo \(a \gt 1\). Dimostrare le seguenti proprietà:

\[ \begin{array}{l} a^{x} \lt a^{y} \quad \text{se } x \lt y \\ \lim\limits_{x \to -\infty}a^{x}=0 \\ \lim\limits_{x \to +\infty}a^{x}=+\infty \end{array} \]

Quindi se \(a \gt 1\) la funzione esponenziale \(y=a^{x}\) è strettamente crescente.

Esercizio 5.2
Supponiamo \(a \lt 1\). Dimostrare le seguenti proprietà:

\[ \begin{array}{l} a^{x} \gt a^{y} \quad \text{se } x \lt y \\ \lim\limits_{x \to -\infty}a^{x}=+\infty \\ \lim\limits_{x \to +\infty}a^{x}=0 \end{array} \]

Quindi se \(a \lt 1\) la funzione esponenziale \(y=a^{x}\) è strettamente decrescente.
Particolare importanza ha la funzione esponenziale nel caso la base \(a\) coincida con il numero di Eulero \(e \approx 2,7128\).

\[ y = e^{x} \ ,\quad -\infty \lt x \lt + \infty \]

La funzione \(y=e^{x}\) ha un ruolo fondamentale in molti settori della matematica, della scienza e della tecnologia.

5.2) Funzione inversa

Per definire la funzione logaritmica ricordiamo il concetto di funzione inversa. Supponiamo di avere una funzione crescente o decrescente \(y=f(x)\), definita in un intervallo \([a,b]\), con \(f(a)=c,f(b)=d\). La funzione inversa \(x=g(y)\) si ottiene risolvendo la funzione \(y=f(x)\) nella variabile \(x\).
Ad esempio se \(y=3x+5\) allora \(x=\dfrac{y-5}{3}\).
Vale il seguente teorema:

Teorema 5.1
Se una funzione crescente o decrescente \(y=f(x)\) è continua in un intervallo \([a,b]\), allora esiste anche la funzione inversa, la quale è continua nell’intervallo \([c,d]\).

Esempio 5.1
Consideriamo la funzione \(y=x^{3}\). Si tratta di una funzione crescente definita in tutto l’asse reale \((-\infty,+\infty)\). La funzione inversa è \(x=\sqrt[3]{y}\).
Possiamo disegnare nello stesso diagramma cartesiano i grafici delle funzioni \(y=x^{3}\) e \(y=\sqrt[3]{x}\). Verificare che i due grafici sono simmetrici rispetto alla retta di equazione \(y=x\).

5.3) La funzione logaritmica

Supponiamo \(a \gt 0\). La funzione logaritmica \(y=\log_{a} x\) è l’inversa della funzione esponenziale \(a^{y}=x\). Poiché la funzione esponenziale assume solo valori positivi, il logaritmo è definito solo per valori \(x \gt 0\). Come vedremo in seguito la definizione del logaritmo anche per valori negativi è possibile mediante l’introduzione dei numeri complessi.

Esercizio 5.3
Supponiamo \(a \gt 1\). Dimostrare che la funzione \(y=\log_{a}x\) è strettamente crescente e continua nell’intervallo \((0,+\infty)\). Precisamente risulta

\[ \begin{array}{l} \log_{a} x \lt \log_{a}y \quad \text{se } x \lt y \\ \lim\limits_{x \to +\infty}\log_{a}x=+\infty \\ \lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}\log_{a}x=-\infty \end{array} \]

Esercizio 5.4
Supponiamo \(0 \lt a \lt 1\). Dimostrare che la funzione \(y=\log_{a}x\) è strettamente decrescente e continua nell’intervallo \((0,+\infty)\). Precisamente risulta

\[ \begin{array}{l} \log_{a} x \gt \log_{a}y \quad \text{se } x \lt y \\ \lim\limits_{x \to +\infty}\log_{a}x=-\infty \\ \lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}\log_{a}x=+\infty \end{array} \]

5.4) Calcolo differenziale e integrale delle funzioni logaritmica ed esponenziale

5.4.1) Derivata della funzione esponenziale

Applicando la definizione di derivata abbiamo:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{da^{x}}{dx} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{a^{x+h}-a^{x}}{h}= a^{x}\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{a^{h}-1}{h} \end{array} \]

Per completare il calcolo della derivata osserviamo che possiamo scrivere \(a^{h} = 1+t \), con \(t \to 0\) quando \(h \to 0\). Quindi abbiamo

\[ \begin{array}{l} \dfrac{da^{x}}{dx} = a^{x}\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{a^{h}-1}{h}= a^{x}\lim\limits_{t \to 0}\dfrac{t}{\log_{a}(1+t)}= \\ a^{x}\lim\limits_{t \to 0}\dfrac{1}{\log_{a}(1+t)^{1/t}}= \dfrac{a^{x}}{\log_{a}e}= a^{x}\ln a \\ \end{array} \]

Come caso particolare importante abbiamo \(\dfrac{de^{x}}{dx}=e^{x}\).

5.4.2) Derivata della funzione logaritmica

Metodo 1
Applichiamo la definizione di derivata. Poniamo \( y = \log_{a}x\) e calcoliamo il rapporto incrementale:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}= \dfrac{\log_{a}(x+ \Delta x) – \log_{a}x}{\Delta x} = \dfrac{1}{\Delta x} \log_{a}\left(1+ \dfrac{\Delta x}{x}\right)= \\ \dfrac{1}{x}\dfrac{x}{\Delta x}\log_{a}\left(1+ \dfrac{\Delta x}{x}\right) = \dfrac{1}{x}\log_{a}\left(1+ \dfrac{\Delta x}{x}\right)^{x/\Delta x} \end{array} \]

Per completare il calcolo utilizziamo il limite notevole che definisce il numero \(e\) di Eulero:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{dy}{dx}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{1}{x}\log_{a}\left(1+ \dfrac{\Delta x}{x}\right)^{x/\Delta x} = \\ \dfrac{1}{x}\log_{a} \lim\limits_{\Delta x \to 0}\left(1+ \dfrac{\Delta x}{x}\right)^{x/\Delta x} = \dfrac{1}{x}\log_{a} e \end{array} \]

Osserviamo che nel caso del logaritmo naturale abbiamo \(\dfrac{d \ln x}{dx}= \dfrac{1}{x}\).

Metodo 2
Un metodo immediato è utilizzare il teorema di derivazione delle funzioni inverse.

Teorema 5.1
Supponiamo che per una funzione \(y=f(x)\) esista la funzione inversa \(x=g(y)\) e in un punto dato \(y\) la derivata \(g'(y)\) non sia nulla. Allora nel corrispondente punto \(x\) la funzione \(y=f(x)\) è derivabile e vale la relazione

\[ \begin{array}{l} f'(x) = \dfrac{1}{g'(y)} \end{array} \]

Utilizzando il teorema precedente possiamo nuovamente calcolare la derivata della funzione logaritmica \(y=\log_{a}x\):

\[ \begin{array}{l} (\log_{a}x)’ = \dfrac{1}{(a^{y})’} = \dfrac{1}{a^{y}\ln a}= \\ \dfrac{1}{x \ln a} = \dfrac{\log_{a} e}{x} \end{array} \]

Esercizio 5.5
La funzione \(y = \ln |x|\) è definita per valori positivi e negativi di \(x\). Il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse delle \(y\) . Dimostrare la seguente formula:

\[ \begin{array}{l} (\log_{a}|x|)’ = \dfrac{1}{|x|} \text{sgn}(x)= \dfrac{1}{x} \ ,\quad x \neq 0 \end{array} \]

dove \(\text{sgn}(x)\) assume I valori \(\pm 1\) a seconda del segno di \(x\).

La derivata logaritmica
La derivata logaritmica di una funzione \(y=f(x)\) è la derivata del logaritmo della funzione:

\[ \begin{array}{l} (\ln y)’ = \dfrac{y’}{y}= \dfrac{f'(x)}{f(x)} \end{array} \]

La derivata logaritmica è spesso utile per semplificare il calcolo della derivata di una funzione.
Esercizio 5.6
Calcolare la derivata della funzione

\[ \begin{array}{l} y = f(x)^{g(x)} \end{array} \]

Suggerimento
Calcolare \(\ln y = g(x) \ln f(x)\). Quindi derivare entrambi i membri dell’equazione.
Soluzione: \(\left[ y’ = y \left(g'(x) \ln f(x) + \dfrac{g(x)}{f(x)}f'(x)\right) \right]\).

Esercizio 5.7
Dimostrare che data \(y=f(x)= x^{x}\) la derivata è

\[ \begin{array}{l} y’ = f'(x) = x^{x}(1+ \ln x) \end{array} \]

Esercizio 5.8
Dimostrare che data \(y=f(x)= \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}\) la derivata è

\[ \begin{array}{l} y’ = f'(x) = \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}\left[\ln \left(1+\dfrac{1}{x}\right) -\dfrac{1}{1+x}\right] \end{array} \]

5.4.3) Integrale indefinito della funzione esponenziale

L’integrale indefinito è l’operazione inversa della derivazione. Quindi

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{}{}a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C \\ \displaystyle \int\limits_{}{}e^{x}dx = e^{x} + C \end{array} \]

dove \(C\) è una costante arbitraria.
Esercizio 5.9
Calcolare i seguenti integrali:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{}{}\dfrac{dx}{e^{x}+1} = \ln \dfrac{e^{x}}{e^{x}+1} + C \\ \displaystyle \int\limits_{}{}\dfrac{e^{1/x}dx}{x^{2}} = – e^{1/x} + C \end{array} \]

5.4.4) Integrale indefinito della funzione logaritmica

Mediante la formula di integrazione per parti, \(\int_{}{}fdg = fg – \int_{}{}gdf\), è facile calcolare l’integrale del logaritmo:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{}{}\ln x dx = x \ln x- x + C \end{array} \]

Nota
Ricordando che \(\dfrac{d \ln x}{dx}=\dfrac{1}{x}\), la funzione logaritmo può essere definita anche mediante il seguente integrale indefinito:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \ln x = \int\limits_{1}^{x}\dfrac{1}{t}dt \end{array} \]

Esercizio 5.10
Calcolare i seguenti integrali

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{}{}x^{2} \ln x dx = \dfrac{x^{3}}{3}\ln x – \dfrac{x^{3}}{9} + C \\ \displaystyle \int\limits_{}{}\dfrac{\ln (\ln x)}{x}dx = [\ln (\ln x) -1] \cdot \ln x + C \end{array} \]

Una formula utile per il calcolo degli integrali indefiniti è la seguente:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{}{}\dfrac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln |f(x)| + C \end{array} \]

Esercizio 5.11
Calcolare i seguenti integrali:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{}{}\cot x dx=\int\limits_{}{}\dfrac{\cos x}{\sin x}dx = \ln |\sin x| + C \\ \displaystyle \int\limits_{}{}\dfrac{x^{4}}{x^{5} -1}dx = \frac{1}{5}\ln |x^{5}-1| + C \\ \end{array} \]

5.5) Sviluppi in serie di Taylor delle funzioni logaritmo ed esponenziale

Ricordiamo lo sviluppo di Taylor di una funzione reale di una variabile reale \(f(x)\), definita in un intervallo \([a,b]\). Supponiamo che esistano le derivate fino all’ordine \((n+1)\) in un punto \(x_{0}\) dell’intervallo. Il problema consiste nel trovare un polinomio \(P_{n}(x)\) di grado uguale a \(n\), che nel punto \(x_{0}\) ha lo stesso valore della funzione \(f(x)\) e delle sue derivate fino all’ordine \(n\), cioè:

\[ \begin{array}{l} P_{n}(x_{0})= f(x_{0}),\ P_{n}'(x_{0})= f'(x_{0}),\ \cdots,\ P_{n}^{(n)}(x_{0})= f^{(n)}(x_{0}) \end{array} \]

Come è noto la formula di Taylor è la seguente

\[ \begin{array}{l} f(x) = f(x_{0}) + f^{(1)}(x_{0})\dfrac{(x-x_{0})}{1!}+f^{(2)}(x_{0})\dfrac{(x-x_{0})^{2}}{2!}+ \\ f^{(3)}(x_{0})\dfrac{(x-x_{0})^{3}}{3!}+ \cdots + f^{(n)}(x_{0})\dfrac{(x-x_{0})^{n}}{n!}+ R_{n}(x) \end{array} \]

dove il resto assume queste due forme:
Formula del resto (Lagrange)

\[ \begin{array}{l} R_{n}(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1} \ ,\quad x_{0} \lt c \lt x \end{array} \]

Poiché il punto \(x_{0} \lt c \lt x\), possiamo anche scrivere \(c = x_{0}+ \theta(x-x_{0})\), dove \(0 \lt \theta \lt 1\).
Formula del resto di Cauchy

\[ \begin{array}{l} R_{n}(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c)^{n}(x-x_{0}) \ ,\quad x_{0} \lt c \lt x \end{array} \]

5.5.1) Sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale

Applicando la formula di Taylor nel punto \(x=0\) abbiamo lo sviluppo in serie della funzione esponenziale:

\[ \begin{array}{l} e^{x}= 1+ x + \dfrac{x^{2}}{2!}+ \dfrac{x^{3}}{3!}+ \cdots + \dfrac{x^{n}}{n!}+ \cdots \end{array} \]

La serie è convergente per ogni valore di \(x\), nel senso che per ogni \(x\) il resto tende a zero, quando \(n \to \infty\).

Esercizio 5.12
Mediante lo sviluppo in serie di Taylor possiamo calcolare il valore del numero irrazionale \(e\) con qualsiasi grado di accuratezza. Supponiamo di considerare solo i primi \(9\) termini della serie di Taylor. Se \(x=1\) abbiamo

\[ \begin{array}{l} e \approx 1+ \dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+ + \cdots + \dfrac{1}{8!} \end{array} \]

Se utilizziamo 6 cifre decimali, sommiamo e arrotondiamo alla quinta cifra decimale, abbiamo il valore approssimato

\[ \begin{array}{l} e \approx 2,71828 \end{array} \]

Per la formula del resto di Lagrange \(R_{8}=\dfrac{x^{9}}{9!}e^{\theta x}\), quindi se \(|x| \le 1\) abbiamo

\[ \begin{array}{l} R_{8} \lt \dfrac{3}{9!} \lt \dfrac{1}{10^{5}} \end{array} \]

Quindi l’errore commesso non supera \(0,00001\).

5.5.2) Sviluppo in serie di Taylor della funzione logaritmica

Ricordiamo che il logaritmo è definito nel semiasse positivo \((0, +\infty)\) delle ascisse, mentre nel punto \(x=0\) ha una singolarità. Nel caso del logaritmo applicando la formula di Taylor nel punto \(1+x\) abbiamo

\[ \begin{array}{l} \ln(1+x) = x – \dfrac{x^{2}}{2}+ \dfrac{x^{3}}{3}- \dfrac{x^{4}}{4}+\cdots \ ,\quad -1 \lt x \le 1 \end{array} \]

Dimostrazione
Possiamo calcolare le derivate nei vari ordini della funzione \(f(x)=\ln(1+x)\) nel punto \(x=0\) e quindi applicare la formula di Taylor.
Ad esempio abbiamo

\[ \begin{array}{l} f(x) = \ln(1+x) \ ,\quad f(0) =0 \\ f'(x) = \dfrac{1}{1+x} \ ,\quad f'(0) =1 \\ f^{(2)}(x) = -\dfrac{1}{(1+x)^{2}} \ ,\quad f^{2}(0) =-1 \\ f^{(3)}(x) = \dfrac{1\cdot 2}{(1+x)^{3}} \ ,\quad f^{3}(0) =2! \\ \vdots \\ f^{(n)}(x) = (-1)^{n+1}\dfrac{(n-1)!}{(1+x)^{n}} \ ,\quad f^{(n)}(0) =(-1)^{n+1}(n-1)! \\ \end{array} \]

La formula del resto di Lagrange è la seguente:

\[ \begin{array}{l} R_{n}(x)= \dfrac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n(1+\theta x)^{n}} \ ,\quad 0 \lt \theta \lt 1 \end{array} \]

Si può dimostrare che la serie converge per \(-1 \lt x \le 1\).
Come caso particolare dello sviluppo in serie abbiamo la seguente importante formula:

\[ \begin{array}{l} \ln 2 = \ln (1+1)=1 – \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + \cdots \end{array} \]

Esercizio 5.13
Determinare lo sviluppo di Taylor della \(y=\ln(1+x)\) a partire dalla seguente formula:

\[ \begin{array}{l} \int\limits_{0}^{x} \dfrac{dt}{1+t} = \ln(1+x) \end{array} \]

Utilizzare la serie geometrica \(\dfrac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-x^{3}+ \cdots\).

6) Applicazioni del logaritmo e della funzione esponenziale

6.1) Interesse composto continuo

Come abbiamo visto in precedenza se investiamo un capitale \(C(0)\) con interesse composto continuo e tasso di interesse \(r\), dopo un tempo \(t\) il capitale \(C(t)\) è espresso tramite la funzione esponenziale. Precisamente abbiamo il seguente:

Teorema 6.1

\[ C(t) = C(0) e^{rt} \]

Dimostrazione
Possiamo dare una dimostrazione alternativa. Posto \(0 \le t \le T\), e un \(\Delta t\) abbastanza piccolo, possiamo supporre che in questo intervallo venga applicato un interesse semplice \(r\). Quindi

\[ C(t+ \Delta t)- C(t) \approx r\Delta t C(t) \]

Passando al limite \(\Delta t \to 0\) abbiamo la seguente equazione differenziale

\[ \begin{array}{l} C'(t) = r C(t) \implies \dfrac{C'(t)}{C(t)}= r \implies \dfrac{d (\ln C(t))}{dt} = r \implies \\ \ln C(t) = rt + c \implies C(t) = ke^{rt}, \quad k=e^{c} \text{ costante} \end{array} \]

Applicando la condizione iniziale al tempo \(t=0\) abbiamo infine \(C(t)=C(0)e^{rt}\).

Esempio 6.1
Supponendo \(r=5\) e un capitale iniziale \(C(0)=10000\), dopo \(10\) anni il capitale maturato è

\[ \begin{array}{l} C(10) = 10000 e^{0,05 \cdot 10} \approx 16.486 \end{array} \]

Tasso di attualizzazione o di sconto
Possiamo fare anche il ragionamento opposto. Vogliamo calcolare il valore attuale \(C(0)\) di un capitale \(C(t)\) disponibile in un tempo futuro \(t\), assumendo un tasso di interesse composto continuo uguale a \(r\). Chiaramente abbiamo

\[ C(0) = C(t) e^{-rt} \]

Questa operazione si chiama attualizzazione e il tasso \(r\) si chiama anche tasso di sconto.

6.2) Crescita esponenziale

Molti fenomeni naturali o sociali possono essere modellati mediante il concetto di crescita o decadimento esponenziale. Ad esempio:

• decadimento radioattivo
• crescita di una popolazione
• diffusione dell’anidride carbonica nell’atmosfera
• legge del raffreddamento di Newton

La crescita esponenziale di una grandezza può essere espressa mediante l’equazione seguente:

\[ \begin{array}{l} y(t) = y(0) e^{kt}, \quad k \gt 0 \end{array} \]

dove \(y(t)\) è il valore della grandezza al tempo \(t\), \(y(0)\) è il valore iniziale e \(k\) è una costante che esprime la velocità di crescita.
Se calcoliamo la derivata abbiamo la seguente equazione differenziale ordinaria del primo ordine:

\[ \begin{array}{l} y'(t) = ky(0) e^{kt}= ky(t) \end{array} \]

Come è noto la derivata di una funzione esprime la velocità di crescita della funzione. L’equazione differenziale precedente esprime una caratteristica fondamentale dei processi esponenziali, cioè la velocità di crescita di una grandezza è proporzionale al valore della grandezza stessa.

Esercizio 6.1
Determinare il tempo di raddoppio, cioè il tempo \(t\) tale che \(y(t)=2y(0)\).
Soluzione: \(\left[\dfrac{\ln 2}{k}\right]\)

6.3) Modelli relativi alla crescita delle popolazioni

6.3.1) L’equazione di Malthus

Robert Malthus (1766-1834) nella sua opera ‘An Essay on the Principle of Population’ fece l’ipotesi che le popolazioni tendono a crescere in modo esponenziale, mentre le risorse disponibili (cibo, terreno, case, ecc.) crescono in modo lineare. Sulla base di queste ipotesi giunse alla conclusione che l’aumento incontrollato della popolazione avrebbe comportato un aumento della povertà, carestie e guerre per il controllo delle risorse.
Il modello di Malthus può essere studiato mediante una equazione differenziale. Indichiamo la popolazione al tempo \(t\) con \(P(t)\), il tasso costante di crescita della popolazione con \(\alpha\) e il tasso di mortalità con \(\beta\). L’ipotesi di Malthus è espressa dalle seguenti formule:

\[ \begin{array}{l} r = \alpha – \beta \\ \dfrac{dP(t)}{dt}= rP(t) \\ P(t)= P(0) e^{rt} \end{array} \]

La grandezza \(r\) è chiamata parametro di Malthus.

Esercizio 6.2
Supponiamo che una popolazione abbia una crescita netta del \(10\%\) l’anno. Quanto tempo impiega per raddoppiare?
Soluzione: \([t_{\text{doppia}} \approx 6,931 \text{ anni}]\)

Una proprietà caratteristica del modello esponenziale di crescita è che il tempo di raddoppio della dimensione di una popolazione è indipendente dalla grandezza della popolazione stessa.

6.3.2) L’equazione logistica di Verhulst

Nel 1838 il matematico Pierre-Francoise Verhulst (1804-1849) nella sua opera ‘Mathematical investigations on the law of population growth’ propose una modifica al modello di Malthus, per tenere conto della crescita limitata delle popolazioni a causa della limitatezza delle risorse disponibili. Il suo modello è chiamato modello logistico ed è più realistico di quello di Malthus. In questo modello la crescita di una popolazione è proporzionale sia alla dimensione della popolazione esistente sia alla quantità di risorse disponibili.
Il risultato principale del modello logistico è che se la popolazione \(P(t)\) è piccola, allora tende a crescere con una velocità proporzionale alla stessa; tuttavia quando \(P(t)\) è grande allora cresce meno velocemente.
Indicato con \(K\) il valore massimo possibile della popolazione, la velocità di crescita è supposta proporzionale a \(P(t)\) e a \(K-P(t)\). In termini matematici abbiamo

\[ \begin{array}{l} \dfrac{dP(t)}{dt}= r P(t)\left(1 – \dfrac{P(t)}{K}\right) \end{array} \]

Notiamo che se \(P(t)\) è piccolo rispetto al parametro \(K\) allora l’equazione logistica si riduce all’equazione di Malthus:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{dP(t)}{dt} \approx r P(t) \quad \text{e quindi }P(t) \approx P(0)e^{rt} \end{array} \]

Teorema 6.2
La soluzione generale dell’equazione logistica è

\[ \begin{array}{l} P(t) = \dfrac{P(0)Ke^{rt}}{K+P(0)(e^{rt}-1)} \end{array} \]

Dimostrazione
Per la dimostrazione dividere per \(P^{2}\) e porre \(z=\dfrac{1}{P}\). Allora abbiamo

\[ \begin{array}{l} \dfrac{dz}{dt}= – rz – \dfrac{r}{K} \\ w = z – \dfrac{1}{K}. \\ \dfrac{dw}{dt}= -rw \\ w(t)= w(0)e^{-rt} =\left(\dfrac{1}{P(0)} – \dfrac{1}{K}\right)e^{-rt} \end{array} \]

Riarrangiando i termini abbiamo la soluzione finale del teorema.

6.4) Decrescita esponenziale

La decrescita esponenziale è rappresentata dalla seguente funzione:

\[ \begin{array}{l} y(t) = y (0) e^{-k t}, \quad k \gt 0 \end{array} \]

dove \(y(t)\) è il valore della grandezza al tempo \(t\), \(y(0)\) è il valore iniziale e \(k\) è una costante che esprime la velocità di decrescita.
Se calcoliamo la derivata abbiamo la seguente equazione differenziale ordinaria del primo ordine:

\[ \begin{array}{l} y'(t) = -ky(0) e^{-kt}= -ky(t) \end{array} \]

Un processo di decrescita esponenziale è quello nel quale il tasso di diminuzione di una quantità è proporzionale al valore attuale di quella quantità. Detta in altri termini, più è grande la quantità di cui si dispone, più essa decresce. Se la quantità è piccola decresce poco, se è media diminuisce moderatamente, se è grande decresce molto.

Esercizio 6.3
Determinare il tempo di dimezzamento della popolazione.
Soluzione: \(\left[\dfrac{\ln 2}{k}\right]\).

Esempio 6.2 – Decadimento radioattivo
Il decadimento radioattivo è un processo fisico casuale in cui un nucleo perde energia emettendo radiazione, sotto forma di particelle di vario tipo (particella alfa, beta o gamma). Indicato con \(N(0)\) il numero dei nuclei radioattivi iniziali e con \(N(t)\) il numero di nuclei rimasti al tempo \(t\), la formula del decadimento radioattivo è la seguente:

\[ \begin{array}{l} N(t) = N(0) e^{-\lambda t}, \quad \lambda \gt 0 \end{array} \]

dove \(\lambda\) è la costante di decadimento.

Esercizio 6.4 – Tempo medio di vita media di un nucleo
Dimostrare che il tempo di vita media \(\tau\) di un nucleo è \(\tau = \dfrac{1}{\lambda}\).
Suggerimento
Considerare la distribuzione di probabilità esponenziale \(f(t)= \lambda e^{-\lambda t}\).

6.5) La distribuzione dei numeri primi

La distribuzione dei numeri primi è stata oggetto di studio da parte dei matematici fin dall’antichità. Il teorema fondamentale, chiamato teorema dei numeri primi, intravisto da Legendre e Gauss, è stato dimostrato quasi contemporaneamente nel 1896, dai matematici Hadamard e de la Vallée Poussin.  Indichiamo con \(\pi(n)\) il numero dei numeri primi \(\leq n\). Allora vale il seguente teorema:

\[ \begin{array}{l} \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\pi(n)}{n/\log(n)}=1 \end{array} \]

Quindi il teorema dei numeri primi stabilisce un legame fondamentale fra la distribuzione dei numeri primi e il logaritmo naturale.
Per approfondire vedere articolo su questo sito.

6.6) Entropia – Fisica e informazione

L’entropia è una grandezza introdotta dai fisici per indicare il livello di disordine di un sistema fisico, ad esempio un sistema di molecole di acqua. A seconda dello stato del sistema fisico (solido, liquido o gassoso) varia il livello di disordine delle molecole. L’entropia è minima nello stato solido e massima nello stato gassoso.

6.6.1) Entropia e fisica

La nascita del concetto di entropia può essere fatta risalire al secolo XIX, con lo studio delle leggi della termodinamica. In particolare Rudolf Clausius (1822-1888) cercò di stabilire le leggi che regolano lo scambio di calore fra corpi aventi temperature diverse. Come è noto il calore si trasferisce naturalmente dai corpi più caldi a quelli più freddi. L’entropia è il concetto sviluppato per spiegare questo comportamento; letteralmente entropia significa “misura del disordine”. Gli studi di Clausius e altri portarono ad stabilire la seconda legge della termodinamica, che ha vari enunciati equivalenti, tra i quali i seguenti.

• L’entropia di un sistema isolato tende ad aumentare nel tempo, fino a raggiungere l’equilibrio termico.
• È impossibile realizzare una trasformazione fisica il cui unico risultato sia quello di trasferire calore da un corpo più freddo a uno più caldo, senza utilizzare del lavoro esterno.

Il secondo principio della termodinamica è una delle leggi fondamentali della fisica. Applicata all’universo intero, la legge afferma che il livello di disordine nell’universo è destinato ad aumentare in modo irreversibile, passando da un sistema ordinato ad un sistema sempre più disordinato.
Un altro scienziato, Ludwig Boltzmann (1844-1906), cercò di spiegare il comportamento macroscopico dei sistemi fisici a partire dai componenti elementari, le molecole e gli atomi. In particolare spiegò il secondo principio della termodinamica come risultato del movimento caotico delle particelle elementari. Ogni corpo macroscopico è costituito da un numero grandissimo di molecole e atomi. Secondo Boltzmann l’entropia è strettamente collegata con la distribuzione delle varie configurazioni microscopiche possibili. L’entropia tende ad assumere un valore massimo in corrispondenza della configurazione che ha la massima probabilità termodinamica. In termini matematici questo è espresso mediante la famosa legge di Boltzmann:

\[ S = k \ln W \]

dove \(S\) è l’entropia, e \(W\) è il numero delle configurazioni possibili, mentre \(k\) è una costante chiamata costante di Boltzmann.
All’aumentare del numero di stati possibili diminuisce l’informazione sullo stato del sistema, e quindi aumenta l’entropia. L’entropia è una grandezza fondamentale per spiegare i processi fisici e biologici e anche per simulare la possibile evoluzione del nostro universo.

6.6.2) Entropia e teoria dell’informazione

Il concetto di entropia ha un ruolo fundamentale anche nella moderna teoria dell’informazione, nata nel 1948 con la pubblicazione del libro di Claude Shannon (1916 – 2001) ‘A Mathematical Theory of Communication’.
L’informazione può essere definita a partire da una variabile che può assumere diversi valori, e che viene memorizzata o trasmessa. Otteniamo informazione quando siamo in grado di conoscere il valore del contenuto della variabile. Possiamo definire l’entropia di una variabile come la quantità di informazione contenuta nella variabile stessa.
Nella teoria dell’informazione di Shannon l’entropia è strettamente collegata all’informazione. Maggiore è l’incertezza sul contenuto di una variabile o sul verificarsi di un evento, maggiore è l’informazione che riceviamo.
L’informazione misura il grado di sorpresa nel verificarsi di un evento aleatorio (o casuale). Supponiamo di aver un mazzo di 40 carte napoletane. Mischiando in modo causale sono possibili \(40!\) disposizioni, un numero enorme. La probabilità dell’uscita di una particolare disposizione è quindi \(p=\dfrac{1}{40!}\). Poiché l’informazione è inversamente proporzionale alla probabilità, a questo evento possiamo assegnare un contenuto informativo uguale a \(\dfrac{1}{p}\). Per comodità di calcolo si usa una scala logaritmica. In genere si utilizzano i logaritmi in base \(2\), poiché in informatica si utilizzano i bit per codificare e memorizzare le informazioni.
L’informazione associata alla notizia che si è verificato un evento è così definita:

Definizione 6.1
L’informazione associata ad un evento \(E\) con con probabilità \(p=P(E)\) è la seguente:

\[ I(p)= \log_{2}\left(\frac{1}{p}\right)=-\log_{2}(p) \]

Naturalmente l’informazione \(I(p)\) è un numero non negativo, in quanto \(0 \le p \le 1\).
Se utilizziamo i logaritmi in base \(2\) l’unità di misura dell’informazione è il bit. Un bit rappresenta la quantità di informazione nel caso in cui si ha uguale probabilità di scelta fra due alternative, ad esempio nel lancio di una moneta non truccata. Il bit rappresenta la quantità minima di informazione misurabile.

Definizione 6.2
L’entropia \(H\) di un sistema completo di eventi \(A_{k},\ k=1,2,\cdots,n\) è definita nel modo seguente:

\[ H= – \sum\limits_{k=1}^{n}P(A_{k})\log_{2}P(A_{k}) \]

In questo caso l’entropia rappresenta l’informazione ricevuta conoscendo quale fra gli eventi \(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}\) si è verificato in una certa prova.
Nella formula si deve intendere che

\[ P(A_{k})\log_{2}P(A_{k})=0 \quad \text{se} \quad P(A_{k})=0 \\ \]

La formula può essere estesa al caso \(n= \infty\).
Notiamo che la funzione \(H(p_{1},p_{2}, \cdots,p_{n})\) assume sempre valori positivi, tranne nel caso in cui una delle probabilità \(p_{i}=1\) e tutte le altre sono uguali a zero. In altri termini se uno degli eventi è certo e gli altri sono impossibili, allora non c’è alcuna incertezza e quindi l’entropia è nulla.
Il valore massimo assunto dalla funzione \(H(p_{1},p_{2}, \cdots,p_{n})\) è indicato nel seguente teorema:

Teorema 6.3
La funzione \(H(p_{1},p_{2}, \cdots,p_{n})\) assume il valore massimo nel caso di eventi equiprobabili, cioè \(p_{k}=\dfrac{1}{n},\ k=1,2,\cdots,n\).

Esempio 6.2
Supponiamo di lanciare una moneta. Definiamo gli eventi \(A = \{\text{testa}\}\), \(B=\{\text{croce}\}\) e supponiamo che \(P(A)=P(B)=\dfrac{1}{2}\). L’informazione che si ottiene conoscendo il risultato del lancio è quindi:

\[ I(P(A))=I(P(B))= – \log_{2} \left(\frac{1}{2}\right)=1 \\ \]

Esempio 6.3
Consideriamo una password costituita da una stringa casuale di \(10\) caratteri, presi da un alfabeto di \(26\) caratteri. L’entropia è

\[ H = 10 \log_{2}26 \]

La password è più forte all’aumentare dell’entropia.
In generale la formula dell’entropia di una password è

\[ H = \log_{2}(R^{L}) = L\log_{2}R \]

dove \(L\) è la lunghezza della password e \(R\) è il numero di simboli dell’alfabeto utilizzato.
Per approfondire l’argomento entropia e la teoria dell’informazione vedere articolo1 e articolo2 su questo sito.

7) Estensione del logaritmo e della funzione esponenziale nel campo complesso

Le funzioni logaritmo ed esponenziale, definite nella retta reale, possono essere estese al piano complesso. La possibilità di fare questa operazione si basa sul concetto di continuazione analitica. Si tratta di un teorema fondamentale nello studio delle funzioni di una variabile complessa. In termini semplici, data una funzione inizialmente definita in un insieme di numeri reali o complessi, il principio di continuazione analitica permette, sotto certe condizioni, di estendere la funzione ad un dominio più grande reale o complesso.

7.1) I numeri complessi e le funzioni di variabile complessa

Per un ripasso dei numeri complessi vedere l’articolo su questo sito.
Indichiamo con \(\mathbb{C}\) l’insieme dei numeri complessi del piano euclideo e con \(z=x+iy\) un numero complesso, con parte reale \(x\) e parte immaginaria \(y\).

Un funzione di variabile complessa, definita in un insieme \(E \subset \mathbf{C}\):

\[ \begin{array}{l} f : E \to \mathbf{C} \end{array} \]

è una regola che associa ad ogni punto \(z=x+iy \in E\) un unico punto \(w=f(z)=u+iv \in \mathbf{C}\).

Esempio 7.1
La funzione \(w=f(z)=z^{2}\) ad ogni numero complesso \(z=x+iy\) associa il numero complesso

\[ \begin{array}{l} w=z^2=(x+iy)^{2}=x^{2}- y^{2}- 2ixy=u+iv \end{array} \]

Possiamo scomporre la funzione in due componenti:

\[ \begin{array}{l} u(x,y)= x^{2}- y^{2} \\ v(x,y)= 2xy \end{array} \]

Quindi ad una funzione di variabile complessa corrisponde una coppia di funzioni reali di due variabili reali.
Molte funzioni interessanti nella matematica non possono essere rappresentate mediante una semplice equazione. Ad esempio l’equazione può essere diversa a seconda della parte del dominio di definizione (funzioni a tratti).
Un modo molto utile per rappresentare una funzione è l’utilizzo delle serie di potenze. Ad esempio la funzione \(f(z)=\dfrac{1}{1-z}\) può essere rappresentata con la serie geometrica, all’interno del cerchio con centro nell’origine e raggio uguale a \(1\):

\[ \begin{array}{l} \dfrac{1}{1-z}= 1+ z + z^{2}+ z^{3}+ \cdots \ ,\quad |z| \lt 1 \end{array} \]

Mediante lo sviluppo in serie possono essere dimostrate le proprietà delle funzioni. In genere è possibile effettuare la derivazione e l’integrazione per serie all’interno del cerchio di convergenza.

7.2) Il principio di continuazione analitica

Ricordiamo alcune definizioni. Un insieme del piano complesso si dice un dominio se è aperto e connesso. Una funzione di variabile complessa \(f: U \to \mathbb{C}\) definita in un insieme aperto \(U\) del piano si dice olomorfa nell’insieme \(U\) se per ogni punto \(z_{0} \in U\) esiste la derivata \(f'(z)\), cioè esiste il limite

\[ f'(z) = \lim_{z \to z_{0}}\dfrac{f(z) – f(z_{0})}{z- z_{0}} \]

Definizione 7.1
Sia \(f(z)\) una funzione definita su un insieme \(E\) del piano complesso e sia \(F(z)\) un’altra funzione olomorfa in un dominio \(D\) che contiene \(E\). Supponiamo che risulti \(F(z)=f(z), \forall z \in E\). Allora la \(F(z)\) si chiama continuazione analitica della funzione \(f(z)\) dall’insieme \(E\) all’insieme \(D\).
Una importante proprietà è l’unicità. Infatti vale il seguente teorema fondamentale:

Teorema 7.1 – Unicità della continuazione analitica
Supponiamo che l’insieme \(E\) sia infinito e abbia un punto di accumulazione che appartiene al dominio \(D\). Allora la continuazione analitica dall’insieme \(E\) al dominio \(D\) è unica.

Dimostrazione
La dimostrazione utilizza lo sviluppo di Taylor della funzione in una parte del dominio. Supponiamo di espandere in serie di Taylor intorno ad un punto \(z_{0}\) nella regione rossa dell’insieme di definizione:

\[ \begin{array}{l} f(z)= f(z_{0}) + f'(z_{0})(z-z_{0}) + \frac{1}{2}f^{(2)}(z_{0}) (z-z_{0})^{2}+ \cdots \end{array} \]

Il cerchio di convergenza della serie si estende fino al punto singolare più vicino. Se questo punto è fuori della regione rossa allora possiamo calcolare il valore della funzione anche in una parte della regione azzurra.

Esempio 7.2
Consideriamo le seguenti due funzioni:

\[ \begin{array}{l} f(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}z^{n}= 1+ z + z^{2}+ z^{3}+ \cdots \ ,\quad |z| \lt 1 \\ F(z)= \dfrac{1}{1-z} \ ,\quad z \neq 1 \end{array} \]

La serie è convergente nel cerchio \(|z| \lt 1\) e quindi \(f(z)\) è una funzione regolare (olomorfa) nell’insieme e risulta \(f(z)= \dfrac{1}{1-z}\) nell’insieme. La funzione \(F(z)=\dfrac{1}{1-z}\) è olomorfa in tutto il piano complesso, ad esclusione del punto \(z=1\). Pioiché \(F(z)=f(z)\) nel dominio \(|z| \lt 1\), allora la \(F(z)\) è la continuazione analitica della \(f(z)\).

Esercizio 7.1
Sia \(f(z)\) una funzione analitica di variabile complessa non-nulla, definita in un dominio, cioè un insieme aperto e connesso. Allora l’insieme degli zeri non ha punti di accumulazione.
In altri termini, se l’insieme degli zeri ha un punto di accumulazione allora la funzione è identicamente nulla.

7.3) La formula di Eulero

Eulero nella sua opera ‘Introductio in analysin infinitorum’ \((1748)\) ha dimostrato una formula importante che lega alcune delle principali costanti della matematica:

\[ e^{i\pi}+1 =0 \]

Questa formula è un caso particolare di una formula più generale sempre scoperta da Eulero:

\[ e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta \]

Eulero nella sua opera ha espresso la sua formula limitatamente al caso \(\theta\) reale. Tuttavia la formula è valida anche nel caso complesso:

\[ e^{i z}= \cos z + i \sin z, \quad z =x+iy \]

Dalla formula di Eulero segue subito che

\[ \begin{array}{l} e^{2\pi i}=1 \\ e^{-\pi i }=-1 \end{array} \]

Mediante la formula di Eulero un numero complesso può quindi essere rappresentato mediante la notazione esponenziale o polare:

\[ \begin{array}{l} z = x+iy = Re^{i \theta} =R(\cos \theta + i \sin \theta) \quad \end{array} \]

Esempio 7.3
Vediamo alcuni esempi di rappresentazione esponenziale:

\[ \begin{array}{l} z = 1 – i = \sqrt{2}\left[ \cos (-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})\right] = \sqrt{2}e^{- \frac{\pi i}{4}} \\ -3 i = 3 \left[\cos (\frac{3 \pi}{2})+ i \sin (\frac{3 \pi}{2})\right]=3e^{\frac{3 \pi i}{2}} \\ z = 2 + 2 \sqrt{3}i = 4 \left[\cos \frac{\pi}{3}+ i \sin \frac{\pi}{3}\right]= 4e^{\frac{\pi i}{3}} \end{array} \]

7.4) Continuazione analitica della funzione esponenziale

La funzione esponenziale \(w=e^{z}\) è una funzione olomorfa in tutto il piano complesso e priva di zeri. Può essere definita in diversi modi, tra loro equivalenti. Un primo modo utilizza la formula di Eulero:

\[ w=f(z)=e^{z}=e^{x}\cos y + i e^{x}\sin y, \quad z = x+iy \]

Un secondo modo è la definizione tramite serie di potenze:

\[ e^{z}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^{n}}{n!}= 1 + z + \dfrac{z^{2}}{2!}+ \dfrac{z^{3}}{3!}+ \dfrac{z^{4}}{4!}+ \cdots \]

Un terzo modo è tramite il seguente limite notevole

\[ e^{z}= \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{z}{n}\right)^{n} \]

Esercizio 7.2
Dimostrare che valgono queste proprietà:

\[ \begin{array}{l} e^{z_{1}+z_{2}}= e^{z_{1}}e^{z_{2}} \\ \dfrac{1}{e^{z}}=e^{-z} \\ e^{z+2k\pi i}= e^{z} \ ,\quad k=0,\pm 1, \pm2, \cdots \\ \end{array} \]

Esercizio 7.2
Dimostrare che vale la seguente proprietà:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{de^{z}}{dz}= e^{z} \end{array} \]

Suggerimento
Per il calcolo della derivata calcolare il limite del rapporto incremetale \(\dfrac{f(z+h)- f(z)}{h}\) utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor della funzione \(e^{z}\).

7.5) Continuazione analitica della funzione logaritmo

Un modo naturale per definire il logaritmo di un numero complesso è quello di pensare il logaritmo come funzione inversa della funzione esponenziale. In termini matematici

\[ \begin{array}{l} w = \ln z \iff e^{w}= z, \quad z = x+iy,\ w = u+iv \end{array} \]

Se \(z=|z|e^{i\theta}\) allora deve essere \(|z|e^{i\theta}=e^{u}e^{iv}\) e quindi

\[ \begin{cases} |z| = e^{u} \\ v = \theta + 2k\pi \ ,\quad k =0,\pm 1, \pm 2,\cdots \end{cases} \]

Possiamo quindi enunciare questo teorema:

Teorema 7.2
Il numero \(0\) non ha il logaritmo. Ogni numero reale positivo \(x\) ha un unico logaritmo uguale a \(\ln x\). Ogni numero complesso non nullo \(z=|z|e^{i(\theta+2k\pi)}\) ha infiniti valori del logaritmo

\[ \begin{array}{l} w = \ln z = \ln |z| + i \theta + 2k\pi i, \quad k=0,\pm 1, \pm 2,\cdots \end{array} \]

Notiamo che si tratta di una funzione che può assumere infiniti valori in ogni punto del piano complesso \(z \neq 0\). La parte reale della funzione è univoca e coincide con il logaritmo reale che abbiamo definito in precedenza, in quanto il modulo \(|z|\) è un numero reale.
Per avere una funzione ad un solo valore bisogna fissare un intervallo dell’argomento non superiore a \(2 \pi\). Il valore o determinazione principale del logaritmo è definito come \(\ln z= \ln |z| + i \theta\) dove in genere \(0 \le \theta \lt 2 \pi\) oppure \(- \pi \le \theta \lt \pi\).

Definizione tramite serie di potenze
La funzione logaritmica può anche essere prolungata tramite le serie di Taylor. Nel caso reale abbiamo

\[ \ln x = \ln [1+(x-1)]= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n} (x-1)^{n} \]

Questa serie converge nell’intervallo \( 0 \lt x \lt 2\).
Nel caso complesso abbiamo

\[ \ln z = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n} (z-1)^{n} \]

In modo equivalente la funzione logaritmo \(w=\ln z\) è una funzione olomorfa caratterizzata dall’equazione

\[ \dfrac{d \ln z}{dz}= \dfrac{1}{z} \]

8) Le funzioni trigonometriche e iperboliche complesse

8.1) Funzioni trigonometriche complesse

Per un ripasso delle funzioni trigonometriche vedere l’articolo su questo sito. Le funzioni trigonometriche, definite sull’insieme dei numeri reali, possono essere estese in modo univoco anche nel campo complesso, mediante la formula di Eulero. Ad esempio:

\[ \begin{array}{l} \sin z =\dfrac{e^{iz}- e^{-iz}}{2i} \\ \cos z =\dfrac{e^{iz}+ e^{-iz}}{2} \end{array} \]

Chiaramente si ha \(\sin (-z) = -\sin z\) e \(\cos(-z)=\cos z\).

Esercizio 8.1
A partire dallo sviluppo in serie di Taylor della funzione \(e^{z}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^{n}}{n!} \), ricavare le seguenti serie del seno e coseno complessi:

\[ \begin{array}{l} \sin z =\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ \cos z =\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{z^{2n}}{(2n)!} \\ \end{array} \]

Esercizio 8.2
Dimostrare le seguenti formule trigonometriche di addizione:

\[ \begin{array}{l} \cos(z+w) = \cos z \cos w – \sin z \sin w \\ \sin(z+w) = \sin z \cos w + \cos z \sin w \\ \end{array} \]

Esercizio 8.3
Dimostrare la classica formula

\[ \sin^{2} z + \cos^{2} z = 1 \]

Esercizio 8.4
Dimostrare la seguente identità:

\[ \cos^{3}\theta = \dfrac{1}{4}(\cos 3\theta + 3\cos \theta) \]

Suggerimento
Espandere la formula \(\cos \theta = \dfrac{e^{i\theta}+ e^{-i\theta}}{2}\) e semplificare.

Esercizio 8.5
Dimostrare le seguenti identità:

\[ \begin{array}{l} \sin 3\theta = 3\sin \theta – 4\sin^{3} \theta \\ \tan 3\theta = \dfrac{3\tan \theta – \tan^{3}\theta}{1-3\tan^{2} \theta}\\ \end{array} \]

8.2) Funzioni iperboliche complesse

Mediante la funzione esponenziale di Eulero è possibile definire le funzioni iperboliche anche nel campo complesso. Ad esempio:

\[ \begin{array}{l} \sinh z =\dfrac{e^{z}- e^{-z}}{2} \\ \cosh z =\dfrac{e^{z}+ e^{-z}}{2} \end{array} \]

Esercizio 8.6
Dimostrare le seguenti identità:

\[ \begin{array}{l} \sinh(z+w) = \sinh z \cosh w + \cosh z \sinh w \\ \cosh(z+w) = \cosh z \cosh w + \sinh z \sinh w \end{array} \]

Esercizio 8.7
Dimostrare le seguenti identità:

\[ \sinh (-z) = – \sinh z \\ \cosh^{2}z – \sinh^{2}z = 1 \\ \sin iz = i \sinh z \\ \cos iz = \cosh z \\ \]

9) Esercizi proposti

Proponiamo alcuni esercizi per coloro che vogliono migliorare la comprensione degli argomenti e la capacità di risolvere problemi.

Esercizio 9.1

\[ \begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln (1+x)}{x}=1 \\ \end{array} \]

Suggerimento
Utilizzare la seguente proprietà: \(\lim\limits_{x \to x_{0}}(\ln f(x))= \ln (\lim\limits_{x \to x_{0}} f(x))\).

Esercizio 9.2
Utilizzando l’esercizio precedente calcolare il seguente limite:

\[ \begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1 \end{array} \]

Porre \(y=e^{x}-1\), con \(y \to 0\).

Esercizio 9.3
Dimostrare che

\[ \begin{array}{l} e^{z + w}= e^{z} \quad \text{per ogni z} \implies w=2\pi k i, \quad k=0,\pm 1, \pm2, \cdots \end{array} \]

Esercizio 9.4
Trovare l’errore nella seguente ‘dimostrazione’:

\[ e =\exp(1+2\pi i) = (\exp(1+2\pi i))^{1+ 2\pi i}= \exp(1+2\pi i)^{2}=\\ \exp(1+4\pi i – 4 \pi^{2})) = \exp(1- 4 \pi^{2}) \]

Ricordiamo che \(\exp (z) = e^{z}\).

Esercizio 9.5
Risolvere la seguente equazione logaritmica:

\[ \displaystyle \log_{x}2 \log_{\frac{x}{16}} 2 = \log_{\frac{x}{64}} 2 \]

Suggerimento
Utilizzare la formula del cambiamento di base, portando tutto in base \(2\).
Soluzione: \([x=4; x=8] \)

Esercizio 9.6
Dimostrare la seguente relazione:

\[ \frac{\log_{a}x}{\log_{ab} x} = 1+ \log_{a}b \]

Esercizio 9.7
Calcolare il seguente limite utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale:

\[ \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{ax}-e^{bx}}{x} = a-b \]

Esercizio 9.8

\[ \lim\limits_{x \to 1} \left(\frac{1}{\ln x} – \frac{x}{\ln x}\right) = -1 \]

Suggerimento
Utilizzare lo sviluppo in serie di Taylor \(\ln(1+x) = x – \dfrac{x^{2}}{2}+ \cdots\).

Esercizio 9.9 – La curva gaussiana
Sia data la curva gaussiana \(y=e^{-x^{2}}\) definita in \((-\infty,+\infty)\). Le derivate prime e seconde sono

\[ \begin{array}{l} y’= -2xe^{-x^{2}} \\ y”= 2e^{-x^{2}}(2x^{2}-1) \end{array} \]

Dimostrare che la funzione ha un massimo \(y=1\) nel punto \(x=0\). Inoltre dimostrare che la funzione ha due punti di flesso nei punti \(P=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},e^{-1/2}\right)\) e \(Q=\left(+\frac{1}{\sqrt{2}},e^{-1/2}\right)\). Quindi la funzione gaussiana ha queste proprietà:

\[ \begin{array}{l} \left(-\infty, \dfrac{-1}{\sqrt{2}}\right) : \text{curva concava} \\ \left(\dfrac{-1}{\sqrt{2}}, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) : \text{curva convessa} \\ \left( \dfrac{-1}{\sqrt{2}},+\infty \right) : \text{curva concava} \\ \end{array} \]

Esercizio 9.10
Calcolare i seguenti integrali indefiniti mediante l’integrazione per parti:

\[ \begin{array}{l} \int_{}{}x^{2}e^{x}dx = e^{x}(x^{2}-2x +2) + C \\ \int_{}{}e^{x}\sin x = e^{x}\dfrac{\sin x – \cos x}{2}+ C \\ \end{array} \]

Esercizio 9.11
Risolvere la seguente disuguaglianza:

\[ \begin{array}{l} \log_{3}(x^{2}-5x + 6) \lt 0 \end{array} \]

Soluzione: \(\left(\frac{5-\sqrt{5}}{2} \lt x \lt 2\right); \left(3 \lt x \lt \frac{5+\sqrt{5}}{2}\right)\)

Esercizio 9.12
Calcolare il seguente integrale:

\[ \begin{array}{l} \int\limits_{}{} x^{2}e^{3x}dx = \dfrac{e^{3x}}{27} (9x^{2}-6x+2) \end{array} \]

Suggerimento
Utilizzare il metodo dei coefficienti indeterminati, ponendo

\[ \begin{array}{l} \int\limits_{}{} x^{2}e^{3x}dx = e^{3x} (Ax^{2}+Bx+C) \end{array} \]

Conclusione

L’invenzione del logaritmo da parte di Nepero e le modifiche ed estensioni effettuate dai matematici nel periodo successivo hanno avuto un ruolo fondamentale nello sviluppo della matematica pura e applicata.
Inizialmente hanno dato un contributo importante nell’astronomia, nella navigazione e in generale in tutte le situazioni in cui è necessario effettuare calcoli complessi con una elevata precisione. L’importanza dei logaritmi è tuttora rilevante anche nella moderna società in molti settori, e molti modelli della vita reale utilizzano la funzione logaritmo e la funzione esponenziale. Ad esempio le applicazioni finanziarie, l’analisi dei dati, le simulazioni statistiche, l’acustica (decibel per misure l’intensità dei suoni), la geologia (scala Richter per i terremoti), e molti altri.
Non si deve comunque dimenticare il contributo enorme dato allo sviluppo della matematica pura, come il calcolo differenziale, la teoria dei numeri, l’analisi complessa. Concludiamo con una frase di Gauss, che preparò tabelle di logaritmi utili per esplorare la distribuzione dei numeri primi:

“Non avete idea di quanta poesia ci sia in una tavola di logaritmi”.

Gauss

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Bibliografia

^[1]Enrique González-Velasco – Journey through Mathematics: Creative Episodes in Its History (Springer)

^[2]Howard Resnikoff, Raymond Wells – Mathematics in Civilization (Dover)

^[3]Eli Maor – E: The Story of a Number (Princeton Science Library)