Il Calcolo delle Differenze Finite (II) – L’integrazione Finita e le sue Applicazioni

Il calcolo delle differenze finite si occupa dello studio del rapporto di incrementi finiti di variabili dipendenti fra loro, mentre il calcolo differenziale classico studia il limite di questi rapporti quando gli incrementi tendono a zero.
In molti settori della scienza e della tecnologia, come economia, ingegneria, informatica, si devono studiare dati che sono raggruppati in intervalli discreti. In questi settori il calcolo delle differenze finite è molto utile, in quanto permette di approssimare derivate e integrali, fornendo informazioni utili per comprendere l’andamento delle funzioni e fare previsioni.
In un articolo precedente abbiamo introdotto il calcolo delle differenze finite, studiando le proprietà dell’operatore differenza finita. Nel calcolo differenziale classico accanto all’operazione di derivazione esiste l’operazione inversa chiamata integrale indefinito. In questo articolo studieremo l’operazione analoga, inversa dell’operatore differenza finita, chiamata somma indefinita. Quindi studieremo il calcolo delle somme definite, che ha importanti analogie con il calcolo integrale definito classico.

1) Il calcolo integrale classico

Nei paragrafi successivi studieremo l’operatore di somma indefinita e quindi l’integrazione finita o discreta, che consiste in somme calcolate su un insieme discreto di argomenti.
L’operatore antidifferenza finita e l’integrazione finita hanno molte analogie con il calcolo integrale classico. Per questo è utile ricordare le definizioni e proprietà principali dell’integrale indefinito e dell’integrale definito.

1.1) L’integrale indefinito classico (antiderivata)

L’integrale indefinito classico di una funzione è l’operatore inverso della derivata. Una funzione reale di variabile reale \(F(x)\) si dice antiderivata, primitiva o integrale indefinito di una funzione \(f(x)\), se la sua derivata coincide con la funzione \(f(x)\) in un certo intervallo dell’asse reale. Quindi l’operatore derivata e l’operatore integrale indefinito sono uno l’inverso dell’altro. Ricordiamo che dato un operatore \(A\), l’operatore inverso \(A^{-1}\) è così definito

\[ \begin{array}{l} Af = g \iff A^{-1}g = f \\ AA^{-1}= 1 \end{array} \]

dove \(1\) è l’operatore identità.
Indichiamo con \( D =\dfrac{d}{dx}\) l’operatore derivata e con \(\displaystyle\int\limits_{}{}\) l’operatore integrale indefinito. Abbiamo quindi

\[ \begin{array}{l} D F(x) = f(x) \\ \displaystyle F(x) = D^{-1}f(x)= \int\limits_{}{}f(x)dx + c \end{array} \]

La funzione \(f(x)\) si chiama funzione integranda.
L’integrale indefinito non è unico, ma è definito a meno di una costante arbitraria. Quindi in realtà di tratta di una classe infinita di funzioni la cui derivata è uguale a \(f(x)\).
Come è noto se due funzioni hanno la stessa derivata allora differiscono per una costante. Dal punto di vista geometrico, due funzioni differiscono per una costante in un intervallo se il grafico di una delle funzione può essere ottenuto mediante una traslazione verticale del grafico dell’altra funzione.

Proprietà fondamentali dell’integrale indefinito
Dalla definizione seguono facilmente le seguenti proprietà dell’integrale indefinito:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{}{} [f(x)+g(x)] dx = \int\limits_{}{} f(x) dx + \int\limits_{}{} g(x) dx \\ \displaystyle \int\limits_{}{} af(x) dx = a \int\limits_{}{} f(x) dx \\ \displaystyle \int\limits_{}{} f(x) dx = F(x) + c \implies \int\limits_{}{} f(ax) dx = \dfrac{1}{a}F(ax) + c \\ \displaystyle \int\limits_{}{} f(x) dx = F(x) + c \implies \int\limits_{}{} f(x+a) dx = F(x+a) + c \\ \end{array} \]

Vediamo ora alcuni metodi per il calcolo degli integrali indefiniti.

Metodo immediato mediante ispezione
Il caso più semplice è quando si riconosce a vista che la funzione integranda è le derivata di un’altra funzione nota. Questi casi vengono chiamati integrali immediati.

Esempio 1.1

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{}{}x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c \quad \text{ se } n \neq -1 \\ \displaystyle \int\limits_{}{}\dfrac{1}{x}\,dx = ln |x| + c \\ \displaystyle \int\limits_{}{}\sin x \,dx = -\cos x + c \\ \displaystyle \int\limits_{}{}\cos x \,dx = \sin x + c \\ \displaystyle \int\limits_{}{}\dfrac{\,dx}{\sin^{2}x} = – \cot x + c \\ \displaystyle \int\limits_{}{}\dfrac{\,dx}{\cos^{2}x} = \tan x + c \\ \end{array} \]

Esercizio 1.1
Verificare i seguenti integrali indefiniti:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{}{}a^{x}\,dx = \dfrac{a^{x}}{\ln a} + c \ ,\quad a \gt 0, a \neq 1 \\ \displaystyle \int\limits_{}{}\dfrac{\,dx}{a^{2}+x^{2}}\,dx = \dfrac{1}{a}\arctan \dfrac{x}{a} + c\\ \displaystyle \int\limits_{}{}\dfrac{\,dx}{a^{2}-x^{2}}\,dx = \dfrac{1}{2a} \ln \dfrac{|a+x|}{|a-x|} + c\\ \displaystyle \int\limits_{}{}\dfrac{\,dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\,dx = \arcsin \dfrac{x}{a} + c \\ \end{array} \]

Il metodo di sostituzione
Per calcolare l’integrale \(\displaystyle\int\limits_{}{}f(x)dx\) spesso è utile sostituire \(x\) con una nuova variabile \(t\) mediante una funzione \(x=g(t)\). Vale il seguente teorema:

Teorema 1.1
Sia \(f(x)\) una funzione continua. Poniamo \(x=g(t)\) dove \(g(t)\) è una funzione continua invertibile con derivata continua. Allora \(dx= g'(t)dt\) e vale la seguente relazione:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{}{}f(x) \,dx = \int\limits_{}{}f(g(t)) g'(t)dt \end{array} \]

In molti casi è più semplice calcolare l’integrale sulla destra. Dopo l’integrazione si sostituisce la variabile \(t\) con la variable \(x\), mediante la funzione inversa \(t=g^{-1}(x)\).
Il metodo di integrazione per sostituzione si ottiene dalla regola di derivazione della funzione composta. Infatti posto \(F(x)= \int\limits_{}{}f(x)dx\), allora si ha

\[ \begin{array}{l} \dfrac{dF(x)}{dt} = \dfrac{dF(x)}{dx}\dfrac{dx}{dt} = f(x) \dfrac{dx}{dt}=f(g(t)) \dfrac{dg(t)}{dt} \end{array} \]

Nota
Per applicare questo metodo spesso è preferibile scegliere un cambiamento di variabile del tipo \(t=h(x)\), piuttosto che \(x=g(t)\).

Esercizio 1.2

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{}{}\sqrt{\sin x} \cos x \,dx = \dfrac{2}{3} \sin^{3/2}x + c \end{array} \]

Suggerimento
Effettuare la sostituzione \(t = \sin x\).

Esercizio 1.3

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{}{} \dfrac{x \,dx}{1+x^{4}} = \dfrac{1}{2} \arctan x^{2}+ c \end{array} \]

Effettuare la sostituzione \(t = x^{2}\), e quindi \(dt=2xdx\).

Integrazione per parti
Il metodo di integrazione per parti si ottiene dalla regola di Leibniz di derivazione del prodotto di due funzioni:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{d[f(x)g(x)]}{dx}= g(x) \dfrac{df(x)}{dx} + f(x) \dfrac{dg(x)}{dx} \end{array} \]

Teorema 1.2
Se \(f(x),g(x)\) sono funzioni derivabili in un intervallo con derivate continue, allora si ha:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{}{}f(x) g'(x) dx = f(x)g(x) – \int\limits_{}{}g(x) f'(x)dx \end{array} \]

L’integrazione per parti viene usata in genere quando la funzione integranda può essere rappresentata come prodotto di due fattori \(f(x)\) e \(g'(x)dx\).

Esercizio 1.4

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{}{} x \sin x \,dx = – x \cos x + \sin x \\ \displaystyle \int\limits_{}{} xe^{x} dx = x e^{x}- e^{x} \\ \displaystyle \int\limits_{}{} x^{3}e^{x^{2}} dx = \dfrac{1}{2}x^{2}e^{x^{2}} – \dfrac{1}{2}e^{x^{2}} \end{array} \]

Suggerimento
Nel primo caso porre \(f(x) = x,\ g'(x)dx=\sin x dx\).
Nel secondo caso porre \(f(x) = x,\ g'(x)dx=e^{x} dx\).
Nel terzo caso porre \(f(x) = x^{2},\ g'(x)dx=xe^{x^{2}} dx\).

Esercizio 1.5

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{}{} \sin^{2} x \,dx = – \dfrac{1}{2} \sin 2x + x – \int\limits_{}{} \sin^{2}x \,dx \\ \text{ da cui segue} \\ \displaystyle \int\limits_{}{} \sin^{2} x \,dx = \dfrac{1}{2}x – \dfrac{1}{4} \sin 2x \end{array} \]

Esistono diversi altri metodi utilizzabili per il calcolo degli integrali indefiniti. Per uno studio approfondito dei metodi di integrazione indefinita vedere ad esempio il testo della collana Schaum^[4].

1.2) L’integrale definito classico (Cauchy-Riemann)

In questo paragrafo richiamiamo la definizione dell’integrale definito di una funzione reale di variabile reale \(y=f(x)\), definita su un intervallo dell’asse reale. In particolare studieremo il teorema fondamentale del calcolo integrale. Per semplicità ci limiteremo a studiare l’integrale definito nel caso semplice di funzioni continue.
Il problema fondamentale che ha motivato lo sviluppo del calcolo integrale è stata la necessità di calcolare lunghezze di curve, aree di figure piane e volumi di figure solide. I primi concetti che costituiscono le basi del calcolo integrale vennero sviluppati già nell’antica Grecia, in particolare dai matematici Eudosso (400 a.C.) e Archimede (250 a.C.) (vedi articolo su questo sito).
Il problema venne ripreso nei secoli successivi dai grandi matematici del secolo XVII, come Fermat, Barrow, Isaac Newton, and Gottfried Wilhelm Leibniz. Mentre inizialmente si trattava di risolvere problemi geometrici, le scoperte di questi matematici stabilirono una connessione stretta tra il calcolo differenziale e il calcolo integrale.
Ricordiamo la definizione dell’integrale definito nel caso semplice di una funzione continua in un intervallo \([a,b]\) dell’asse reale. Suddividiamo l’intervallo \([a,b]\) in \(n\) sotto-intervalli scegliendo dei punti arbitrari \(x_{1},x_{2}, \cdots,x_{n-1}\), scelti all’interno dell’intervallo.

Poniamo \(x_{0}=a,\ x_{n}=b\) e \(\Delta x_{k}=x_{k}- x_{k-1},\ k=1,2,\cdots,n\). In ognuno degli \(n\) sotto-intervalli \([x_{0},x_{1}], [x_{1},x_{2}],\cdots,[x_{n-1},x_{n}]\), scegliamo dei punti arbitrari \(\xi_{1},\xi_{2}\cdots,\xi_{n}\). Definiamo la somma parziale \(S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}f(\xi_{k})\Delta x_{k}\) .
L’integrale definito della funzione \(f(x)\) nell’intervallo \([a,b]\) può esser definito nel seguente modo:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{a}^{b}f(x)dx = \lim\limits_{n \to \infty}S_{n} = \lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{k=1}^{n}f(\xi_{k})\Delta x_{k} \quad (\max \Delta x_{k} \to 0) \end{array} \]

In altre parole l’integrale definito è un numero reale \(I\) tale che, per ogni \(\epsilon \gt 0\), esiste un \(\delta \gt 0\) tale che \(|S_{n}-I| \lt \epsilon\), per tutte le possibili partizioni dell’intervallo \([a,b]\) per le quali \( \max |\Delta x_{k}| \lt \delta\). Il limite non dipende dalla scelta dei punti \(\xi_{k}\) all’interno dei singolo intervalli della partizione.
Questa definizione di integrale definito come limite di una somma venne inizialmente proprosta da Cauchy nel \(1825\).
Se il limite esiste, allora la funzione \(f(x)\) si dice integrabile nell’intervallo \([a,b]\). Si può dimostrare che se la funzione è continua allora è integrabile.
Dal punto di vista geometrico, se risulta \(y=f(x) \ge 0\) su tutto l’intervallo \([a,b]\), allora l’integrale definito rappresenta l’area della regione piana limitata dalla curva della funzione \(y=f(x)\), l’asse delle ascisse e le semirette verticali \(x=a\) e \(x=b\). Se invece la funzione assume valori positivi e negativi allora l’integrale definito è uguale alla somma algebrica delle aree dove il segno è costante, considerando positive le aree dove \(f(x) \ge 0\) e negative quelle dove \(f(x) \le 0\).

Esercizio 1.6
Dimostrare che l’integrale definito di una funzione continua può essere calcolato mediante la formula seguente:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{a}^{b}f(x)dx = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{b-a}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}f\left(a + \dfrac{k(b-a)}{n}\right) \end{array} \]

Esercizio 1.7
Calcolare il seguente integrale, applicando la definizione:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{0}^{1}x^{2}dx = \dfrac{1}{3} \end{array} \]

Suggerimento
Si deve calcolare il limite

\[ \begin{array}{l} \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{k^{2}}{n^{2}}= \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1^{2}+2^{2} + \cdots + n^{2}}{n^{3}} \end{array} \]

Ricordare che \((1^{2}+2^{2}+ \cdots + n^{2}) = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).

Esercizio 1.8

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{a}^{b}kx \,dx = \dfrac{k(b^{2}-a^{2})}{2} \end{array} \]

Suggerimento
Poniamo \(\Delta x = \dfrac{b-a}{n}\). Si deve calcolare il limite seguente:

\[ \begin{array}{l} \lim\limits_{n \to \infty} k \big\{na +\left[ (1+2 + \cdots + n-1)\right]\Delta x \big\}\Delta x \end{array} \]

Ricordare che \([1+2+ \cdots + (n-1)] = \dfrac{n(n-1)}{2}\).

Proprietà generali dell’integrale definito
Ricordiamo alcune proprietà dell’integrale definito. Siano \(f(x),g(x)\) due funzioni integrabili in un intervallo \([a,b]\). Allora

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] dx = \int\limits_{a}^{b}f(x)dx \pm \int\limits_{a}^{b}g(x)dx \\ \displaystyle \int\limits_{a}^{b}f(x) dx = – \int\limits_{b}^{a}f(x)dx \\ \displaystyle \int\limits_{a}^{b}f(x) dx = \int\limits_{a}^{c}f(x)dx + \int\limits_{c}^{b}g(x)dx \ ,\quad a \lt c \lt b \\ \end{array} \]

Teorema 1.3
Se \( f(x) \le g(x)\) per ogni \(a \le x \le b\), allora

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{a}^{b}f(x) dx \le \int\limits_{a}^{b}g(x) dx \end{array} \]

Teorema 1.4 – Teorema della media
Se \(m \le f(x) \le M\) per ogni \(a \le x \le b\), dove \(n,M\) sono due costanti, allora

\[ \begin{array}{l} \displaystyle m(b-a) \le \int\limits_{a}^{b}f(x) dx \le M(b-a) \end{array} \]

Se \(y=f(x)\) è una funzione continua nell’intervallo \([a,b]\), allora per il teorema di Weierstrass (1815-1897) la funzione assume tutti I valori compresi nell’intervallo \([m,M]\). Quindi esiste un punto \(\xi \in [a,b]\) con \(m \le \xi \le M\) tale che

\[ \begin{array}{l} \displaystyle f(\xi) = \dfrac{1}{b-a} \int\limits_{a}^{b}f(x) dx \end{array} \]

1.3) Il teorema fondamentale del calcolo integrale

Teorema 1.5
Se \(f(x)\) è una funzione continua nell’intervallo \([a,b]\) e \(F(x)\) è così definita:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle F(x) = \int\limits_{x_{0}}^{x}f(t) dt \end{array} \]

con \(x_{0},x \in [a,b]\), allora vale l’equazione

\[ \begin{array}{l} F'(x) = f(x) \end{array} \]

Dimostrazione

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \dfrac{F(x+h)-F(x)}{h} = \dfrac{1}{h} \int\limits_{x}^{x+h}f(t) dt=f(\xi) \ ,\quad x \le \xi \le x+h \end{array} \]

dove abbiamo applicato il teorema della media. Facendo il limite per \(h \to 0\) abbiamo

\[ \begin{array}{l} F'(x)= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{F(x+h)-F(x)}{h} =\lim\limits_{h \to 0}f(\xi)=f(x) \end{array} \]

Grazie al teorema precedente, abbiamo il seguente importante teorema:

Teorema 1.6 – Teorema fondamentale del calcolo integrale
Sia \(f(x)\) è una funzione continua nell’intervallo \([a,b]\) e sia \(F(x)\) una sua antiderivata, cioè risulti \(F'(x)=f(x)\). Allora vale la seguente formula:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{a}^{b}f(x)dx = F(b) – F(a) \end{array} \]

Dimostrazione
Per il teorema precedente sappiamo che la funzione

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{a}^{x}f(t) dt \end{array} \]

è una antiderivata. Poiché due antiderivate differiscono solo per una costante possiamo scrivere le seguenti formule:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle F(x) = \int\limits_{a}^{x}f(t) dt + c \\ F(a)= c \\ \displaystyle \int\limits_{a}^{b}f(t) dt =F(x)\Big|_a^{b}= F(b) -F(a) \end{array} \]

Osserviamo che possiamo scrivere il teorema utilizzando il simbolo di integrale indefinito:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{a}^{b}f(x) dx =\int\limits_{}^{}f(x) dx \Big|_a^{b}= F(b) -F(a) \end{array} \]

Notiamo che il simbolo \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\) rappresenta l’integrale definito, ed è un numero reale, mentre il simbolo \( \displaystyle\int\limits_{}{}f(x)dx\) rappresenta l’integrale indefinito, cioè la classe delle funzioni la cui derivata è uguale a \(f(x)\).

Connessione fra calcolo integrale e calcolo differenziale
I due teoremi precedenti stabiliscono un legame profondo, forse inaspettato, fra il calcolo differenziale e il calcolo integrale. L’integrale indefinito (antiderivata) può essere rappresentato mediante un integrale definito nel seguente modo:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{}{}f(x) dx = \int\limits_{a}^{x}f(t) dt + c \end{array} \]

Infatti la derivata di entrambi i fattori dell’equazione è uguale alla funzione integranda \(f(x)\). Questa connessione importante venne scoperta da Newton e Leibniz.

Esempi di calcolo degli integrali definiti

Esercizio 1.9
Verificare i seguenti calcoli di integrali definiti:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{a}^{b} x^{n}dx = \dfrac{b^{n+1}- a^{n+1}}{n+1} \quad (n \neq -1) \\ \displaystyle \int\limits_{a}^{b} x^{-1}dx = \ln b – \ln a \\ \displaystyle \int\limits_{0}^{1} \dfrac{xdx}{\sqrt{1+x^{2}}} = \sqrt{2} -1 \\ \end{array} \]

Naturalmente anche per il calcolo degli integrali definiti possono essere applicati il metodo di sostituzione e il metodo di integrazione per parti.

Esercizio 1.10
Calcolare il seguente integrale:

\[ \begin{array}{l}\displaystyle \displaystyle I = \int\limits_{0}^{R} \sqrt{R^{2}- x^{2}} dx \end{array} \]

Suggerimento
Effettuare il cambiamento di variabile \(x = R \sin t\) e quindi \(dx=R \cos t dt\).
Soluzione: \(\left[I = \dfrac{\pi R^{2}}{4}\right]\).
Notiamo che in questo esercizio il valore dell’integrale è uguale ad \(\dfrac{1}{4}\) dell’area del cerchio di centro l’origine e raggio \(R\).

La formula di integrazione per parti degli integrali definiti è la seguente:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{a}^{b}f(x) g'(x) dx = f(x)g(x)\Big|_a^{b}- \int\limits_{a}^{b}g(x) f'(x)dx \end{array} \]

Esercizio 1.11
Calcolare il seguente integrale:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle I = \int\limits_{0}^{\pi} \sin^{2}x \,dx \end{array} \]

Suggerimento
Porre \(f(x)= \sin x\),\ \(g'(x)dx = \sin x dx\). Quindi applicare la formula di integrazione per parti. Osserviamo che questo integrale si può calcolare facilmente senza utilizzare l’integrazione per parti. Basta ricordare la formula trigonometrica \( \sin^{2} x = \dfrac{1-\cos 2x}{2}\).
Soluzione: \(\left[I= \dfrac{\pi}{2}\right]\).

Nota 1
La definizione di integrale definito di Cauchy, limitata alle funzioni continue, è stata estesa a funzioni più generali da parte di Riemann (1826-1866). In seguito Lebesgue (1875-1941) ha sviluppato una teoria dell’integrazione con un approccio diverso, che è una estensione della teoria di Riemann. Per approfondire vedere ad esempio il testo ^[5].

Nota 2
Un problema da chiarire è il seguente: l’antiderivata esiste per ogni funzione \(y=f(x)\)? La risposta a questo quesito è negativa. Tuttavia vale il seguente teorema:

Teorema 1.7
Ogni funzione \(y=f(x)\) continua in un intervallo \([a,b]\) ha una antiderivata, cioè esiste l’integrale indefinito.

Nonostante il teorema precedente, è importante sottolineare questo punto: mentre la derivata di una funzione elementare è sempre una funzione elementare, la funzione antiderivata di una funzione elementare può non essere rappresentata mediante combinazione di un numero finito di funzioni elementari.
Come esempio classico ricordiamo la funzione di Gauss \(f(x)=e^{-x^{2}}\), il cui integrale indefinito esiste ma non è rappresentabile mediante un numero finito di funzioni elementari.

Esercizio 1.12
Dimostrare che la primitiva della funzione di Gauss è la seguente:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{}{} e^{-x^{2}} dx = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \text{erf}(x) + c \end{array} \]

dove \(\displaystyle\text{erf}(x) = \int\limits_{0}^{x}\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-t^{2}}dt \) è la funzione degli errori.

2) L’operatore antidifferenza finita e le somme indefinite

In un articolo precedente abbiamo definito l’operatore differenza finita \(\Delta F(x) = F(x+h) – F(x)\), dove \(h\) è un intervallo fissato costante, che possiamo anche indicare con \(\Delta x\). Abbiamo visto che c’è una stretta analogia fra l’operatore derivata \(D\) e l’operatore \(\dfrac{\Delta}{h}\):

\[ \begin{array}{l} \dfrac{\Delta}{h}F(x) =\dfrac{\Delta}{\Delta x}F(x) = \dfrac{F(x+h) – F(x)}{h} \\ D = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\Delta}{h} = \dfrac{d}{dx} \end{array} \]

Si può definire, a meno di una costante, l’operatore antidifferenza finita, che si comporta in modo analogo all’integrale indefinito. 

Definizione 2.1
Una funzione \(F(x)\) si chiama antiderivata discreta di \(f(x)\) se risulta

\[ \begin{array}{l} \Delta F(x) = h f(x) \\ \end{array} \]

Quindi si tratta dell’operazione inversa delle differenza finita. In simboli scriviamo

\[ \begin{array}{l} F(x) = \Delta^{-1} [hf(x)] \end{array} \]

L’operatore \(\Delta^{-1}\) viene chiamato anche antidifferenza finita.

Esercizio 2.1
Dimostrare che l’operatore inverso \(\Delta^{-1}\) è lineare, cioè:

\[ \begin{array}{l} \Delta^{-1}[f_{1}(x) + f_{2}(x)] = \Delta^{-1} f_{1}(x)+ \Delta^{-1} f_{2}(x) \\ \Delta^{-1}[kf_{1}(x)] = k\Delta^{-1} f_{1}(x) \end{array} \]

Esercizio 2.2
Dimostrare che

\[ \begin{array}{l} \Delta F_{1}(x) = \Delta F_{2}(x) \implies F_{1}(x) = F_{2}(x) + C(x) \end{array} \]

dove \(C(x+h)=C(x)\), cioè \(C(x)\) è una funzione arbitraria periodica, con periodo uguale ad \(h\).
Questo risultato è simile al teorema del calcolo differenziale classico, secondo il quale se due funzioni hanno la stressa derivata, allora differiscono per una costante.
L’operatore \(\Delta^{-1}\) è analogo all’operazione inversa della derivazione classica, cioè all’operatore integrale indefinito. Nel caso classico l’operazione \(\displaystyle\int\limits_{}{}f(x)dx\) è chiamata integrale indefinito della funzione \(f(x)\). Nel caso discreto l’operazione \(\Delta^{-1}f(x)\) è chiamata somma indefinita della funzione \(f(x)\).
Al posto del simbolo \(\Delta^{-1}f(x)\) viene in genere usato il simbolo equivalente \(\sum\limits_{}{}f(x)\).
Come l’integrale indefinito, anche l’antiderivata discreta non è unica, ma è definita a meno di una funzione periodica arbitraria di periodo \(h\). Quindi in realtà il simbolo di somma indefinita rappresenta una classe infinita di funzioni, che differiscono per una funzione periodica di periodo \(h\). Quindi abbiamo

\[ \begin{array}{l} F(x) = \Delta^{-1}[hf(x)]= \sum\limits_{}{}f(x)h + C(x) \end{array} \]

dove \(C(x+h)=C(x)\). Notare la similitudine con l’integrale indefinito di una funzione.
Dividendo per \(h\) l’espressione precedente può essere anche scritta in questa forma:

\[ \begin{array}{l} G(x)= \dfrac{F(x)}{h} = \Delta^{-1}f(x)= \sum\limits_{}{}f(x) + C_{2}(x) \\ \Delta G(x) = f(x) \end{array} \]

Esercizio 2.3
Dimostrare che gli operatori \(\Delta\)e \(\Delta^{-1}\) non sono commutativi, cioè

\[ \begin{array}{l} \Delta \Delta^{-1}=1 \quad \text{e } \quad \Delta^{-1}\Delta \neq 1 \end{array} \]

Esercizio 2.4
Sia \(a\) una costante reale. Dimostrare che

\[ \begin{array}{l} \Delta^{-1}a = \sum\limits_{}{} a = \dfrac{ax}{h} \\ \end{array} \]

Soluzione
Si deve determinare una funzione \(G(x)=\dfrac{F(x)}{h}\) tale che \(\Delta G(x)=a\). E’ facile fare una verifica diretta, conoscendo il risultato:

\[ \begin{array}{l} \Delta \dfrac{ax}{h}= \dfrac{a(x+h) – ax}{h}= a \end{array} \]

In alternativa supponiamo che in un punto arbitrario \(x_{0}\) si abbia \(G(x_{0})=C\), con \(C\) numero reale. Quindi abbiamo

\[ \begin{array}{l} G(x_{0})= C \\ G(x_{0}+ h) = a + C \\ \vdots \\ G(x_{0}+nh) = na + C \end{array} \]

Poiché nel punto \(x=x_{0}+ nh\) si ha \(G(x) = na + C\), ne deriva che

\[ \begin{array}{l} G(x) = \dfrac{a(x-x_{0})}{h} + C = \dfrac{ax}{h} + C_{2} \end{array} \]

dove \(C_{2}\) è una costante. Quindi la somma indefinita è \(G(x)=\sum\limits_{}{}a = \dfrac{ax}{h}\).
Possiamo anche scrivere nella forma \(F(x)= \sum\limits_{}{}ah = ax + C(x) \). Notare la somiglianza con l’integrale indefinito \(\int\limits_{}{}a \,dx = ax + c\).

Esercizio 2.5
Dimostrare che

\[ \begin{array}{l} \Delta^{-1} a^{x}=\sum\limits_{}{}a^{x} = \dfrac{a^{x}}{a^{h}-1} \end{array} \]

Esercizio 2.6

\[ \begin{array}{l} \Delta^{-1} x ^{(m)} =\sum\limits_{}{} x^{(m)}= \dfrac{x^{(m+1)}}{(m+1)h} \ ,\quad m \neq -1 \end{array} \]

Esercizio 2.7 – Numeri armonici
Sia \(x\) un intero positivo. Ricordiamo che un numero armonico \(H_{x}\) è così definito

\[ \begin{array}{l} H_{x} = 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{x} \end{array} \]

Supponiamo \(h=1\). Dimostrare la seguente formula:

\[ \begin{array}{l} \Delta^{-1} x ^{(-1)} =\sum\limits_{}{} x^{(-1)} = H_{x} \end{array} \]

Ricordiamo che \(x^{(-1)}= \dfrac{1}{x+1}\).

Il legame fra la somma indefinita e l’integrale indefinito è contenuto nel seguente teorema:

Teorema 2.1

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{}{} f(x)dx + c = \lim\limits_{h \to 0} \left[ \sum\limits_{}{}f(x)h + C(x) \right] \end{array} \]

Notiamo che la funzione costante periodica \(C(x)\) tende alla costante \(c\), che è un numero reale.

Dimostrazione
Poniamo \(F(x)= \sum\limits_{}{}f(x)h + C(x)\). In base alla definizione la \(F(x)\) è una funzione tale che \(\Delta F(x)=hf(x)\). Quindi basta dimostrare che

\[ \begin{array}{l} \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{F(x+h)- F(x)}{h} = f(x) \end{array} \]

3) Esempi di calcolo delle somme indefinite

Esaminano ora alcuni metodi utilizzati per calcolare le somme indefinite. Per semplicità in genere omettiamo la costante \(C(x)\).

3.1) Metodo di inversione

Questo metodo consiste nell’invertire la formula utilizzata per il calcolo delle differenze finite. Vale infatti il seguente teorema:

Teorema 3.1

\[ \begin{array}{l} \Delta F(x) = b f(x-a) \implies \sum\limits_{}{}f(x) = \dfrac{F(x+a)}{b} + C(x) \\ \end{array} \]

Dimostrazione
Basta applicare le definizioni degli operatori \(\Delta\) e \(\sum\limits_{}{}\). Infatti abbiamo

\[ \begin{array}{l} \Delta \dfrac{F(x+a)}{b} = \dfrac{F(x+a+h)-F(x+a)}{b}=f(x) \end{array} \]

Esercizio 3.1
Sopponiamo \(h=1\). Dimostrare che

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \Delta^{-1}x = \sum\limits_{}{} x = \binom{x}{2} \end{array} \]

Esercizio 3.2
Sia \(x\) un numero intero e supponiamo \(h=1\). Dimostrare la seguente formula:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \sum\limits_{}{} \binom{x}{n} = \binom{x}{n+1} \end{array} \]

Esercizio 3.3
Supponiamo \(h=1\). Dimostrare

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{}{} \dfrac{1}{x} = H_{x-1} \\ \sum\limits_{}{} \dfrac{1}{x^{2}} = -H_{x-1} \end{array} \]

Definizione 3.3 – Coefficiente binomiale generalizzato
Il coefficiente bonomia generalizzato è così definito:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \binom{x}{n}_{h} = \dfrac{x(x-h)(x-2h)\cdots (x-(n-1)h)}{n!} = \dfrac{x^{(n)}}{n!} \end{array} \]

Esercizio 3.4
Dimostrare

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \Delta \binom{x}{n}_{h} = h \binom{x}{n-1}_{h} \\ \displaystyle \sum\limits_{}{} \binom{x}{n}_{h} = \dfrac{1}{h} \binom{x}{n+1}_{h} \\ \end{array} \]

Esercizio 3.5
Calcolare la seguente somma indefinita:

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{}{} \sin x = – \dfrac{\cos(x – h/2)}{2 \sin h/2} \end{array} \]

Dalla formula precedente otteniamo il seguente risultato:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \lim\limits_{h \to 0} \sum\limits_{}{} h \sin x = – \cos x = \int\limits_{}{} \sin x \,dx \end{array} \]

3.2) Metodo di sommazione per parti

Questo metodo è basato sul seguente teorema:

Teorema 3.2 – Formula di sommazione per parti

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \sum\limits_{}{} f(x) \Delta g(x)= f(x)g(x) – \sum\limits_{}{} g(x+h) \Delta f(x) \end{array} \]

Dimostrazione
La dimostrazione si ottiene subito ricordando la formula della differenza finita del prodotto di due funzioni:

\[ \begin{array}{l} \Delta [f(x)g(x)] = f(x) \Delta g(x) + g(x+h) \Delta f(x) \end{array} \]

Quindi applicare l’operatore lineare \(\Delta^{-1}= \sum\limits_{}{}\).

Esercizio 3.6
Applichiamo il metodo alla funzione \(f(x)=xa^{x}\). Abbiamo

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{}{} xa^{x}=\dfrac{xa^{x}}{a^{h}-1} – \sum\limits_{}{} \dfrac{ha^{x+h}}{a^{h}-1} = \dfrac{xa^{x}}{a^{h}-1} – \dfrac{ha^{x+h}}{(a^{h}-1)^{2}} \end{array} \]

Esercizio 3.7
Supponiamo \(h=1\). Dimostrare la seguente formula:

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{}{} \dfrac{x}{2^{x}} = – \dfrac{x+1}{2^{x-1}} \end{array} \]

Esercizio 3.8
Supponiamo \(h=1\). Dimostrare la seguente formula

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \sum\limits_{}{} \binom{x}{3}\binom{x}{2}= \binom{x}{4}\binom{x}{2} – \binom{x+1}{5}\binom{x}{1} + \binom{x+2}{6} \end{array} \]

Suggerimento
Ricordare che se \(h=1\) allora \(\displaystyle\Delta \binom{x}{n}= \binom{x}{n-1}\). Quindi applicare due volte la formula di sommazione per parti.

Esercizio 3.9
Supponiamo \(h=1\). Dimostrare

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{}{} \ln x = \ln \Gamma(x) \end{array} \]

dove \(\Gamma(x)\) è la funzione gamma. Ricordare che \(\Gamma(x+1)=x \Gamma(x)\).

4) L’integrazione finita (o discreta)

Definizione 4.1 – Somma definita di una funzione
Sia data una funzione reale di variabile reale \(f(x)\) definita in un intervallo \([a,b]\) dell’asse reale. Consideriamo l’insieme degli \(n\) punti contenuti nell’intervallo

\[ \begin{array}{l} x_{0}=a,\ x_{1}=a+h, \cdots,\ x_{n-1}=a+(n-1)h \end{array} \]

La somma definita in questi \(n\) punti è la somma ordinaria calcolata ad intervalli di \(h\), a partire da punto \(x_{0}=a\):

\[ \begin{array}{l} S_{n}= \sum\limits_{x=a}^{a+(n-1)h}f(x) = f(a) + f(a+h) + \cdots + f(a+(n-1)h) \end{array} \]

La stessa somma può essere rappresentata nella seguente forma:

\[ \begin{array}{l} S_{n}= \sum\limits_{x=0}^{n-1}f(a+ hx) = f(a) + f(a+h) + \cdots + f(a+(n-1)h) \end{array} \]

In genere è chiaro dal contesto se l’indice della somma assume tutti i valori interi compresi nei due estremi, essendo \(h=1\), come nel secondo caso, oppure assume solo valori distanziati da un intervallo fisso \(h\), come nel primo caso. Per evitare equivoci comunque quando \(h \gt 1\) si può utilizzare il simbolo \(\left(\sum\limits_{a}^{a+ (n-1)h}\right)_{h} f(x)\) per indicare il primo tipo di somma.
E’ bene non confondere il significato dei simboli utilizzati. Il simbolo \(\sum\limits_{x=a}^{a+(n-1)h}f(x)\) è la somma ordinaria di numeri reali e quindi è un numero reale, mentre il simbolo \(\sum\limits_{}^{}f(x)\) rappresenta la somma indefinita della \(f(x)\), cioè una funzione \(F(x)\) tale che \(\Delta F(x) = hf(x)\).
Nel calcolo integrale classico molti integrali definiti possono essere calcolati conoscendo l’integrale indefinito e quindi applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale. In modo analogo nel calcolo delle differenze finite possiamo calcolare delle somme definite a partire dalla conoscenza delle somme indefinite.
Sia \(F(x)\) una funzione definita nello stesso intervallo della \(f(x)\) e tale che \(\Delta F(x)= hf(x)\). Possiamo scrivere le seguenti formule:

\[ \begin{array}{l} F(a+h) – F(a) = hf(a) \\ F(a+2h) – F(a+h) = hf(a+h) \\ \vdots \\ F(a+ nh) – F(a+(n-1)h) = hf(a+(n-1)h) \end{array} \]

Sommando otteniamo il seguente teorema, analogo al teorema fondamentale del calcolo integrale classico:

Teorema 4.1 – Teorema fondamentale del calcolo integrale finito
Supponiamo \(\Delta F(x) = hf(x)\) e quindi \(\Delta^{-1}f(x) = \dfrac{F(x)}{h}\). Allora

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{x=a}^{a+(n-1)h}f(x) = \Delta^{-1}f(x)\Big|_a^{a+nh} = \sum\limits_{}{}f(x)\Big|_a^{a+nh} =\dfrac{F(a+nh) – F(a)}{h} \end{array} \]

Osserviamo nuovamente che il simbolo a sinistra rappresenta la sommatoria ordinaria di \(n\) numeri reali, e quindi è un numero reale, mentre il simbolo di somma a destra rappresenta la somma indefinita, cioè una funzione \(F(x)\) tale che \(\Delta F(x)=hf(x)\), calcolata negli estremi \(a\) e \(a+nh\). Notiamo anche il diverso valore dell’estremo superiore nei due simboli di somma: \(a+ (n-1)h\) e \(a + nh\).

Nota
Alcuni testi utilizzano la notazione seguente per indicare la somma a sinistra dell’espressione precedente:

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{x=a}^{a+nh}f(x) \delta x := \sum\limits_{x=a}^{a+(n-1)h}f(x) \end{array} \]

In questo modo c’è una maggiore corrispondenza con la formula del teorema fondamentale del calcolo integrale classico. Tuttavia questa convenzione può essere fonte di equivoci, in quanto porta a supporre che anche il valore \(f(a+nh)\) debba essere sommato.

Esercizio 4.1
Supponiamo di voler calcolare la somma \(S=\sum\limits_{k=1}^{n}k\) utilizzando il teorema precedente, assumendo \(h=1\).

Soluzione
In questo caso \(f(x)=x\) e dal paragrafo precedente sappiamo che \(\displaystyle\sum\limits_{}{}x=\binom{x}{2}\) se \(h=1\). Quindi applichiamo il teorema fondamentale:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \sum\limits_{x=1}^{n}x = \sum\limits_{}{}x \Big|_1^{n+1} =\binom{n+1}{2} – \binom{1}{2} =\dfrac{n(n+1)}{2} \end{array} \]

Abbiamo quindi ritrovato il risultato \(S= \dfrac{n(n+1)}{2}\). Naturalmente questo risultato può essere ottenuto con metodi elementari.

Esercizio 4.2 – Progressione geometrica
Calcolare la somma della seguente progressione geometrica:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle S_{n} = a + ar + ar^{2}+ \cdots + ar^{n} \ ,\quad r \neq 1 \end{array} \]

Soluzione
In questo caso \(f(x)=ar^{x}\). Sappiamo che l’antidifferenza di \(f(x)\) è \(\displaystyle\sum\limits_{}{}ar^{x}=\dfrac{ar^{x}}{r-1}\) se \(h=1\). Quindi applichiamo la formula fondamentale:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n}ar^{x} = \sum\limits_{}{}ar^{x} \Big|_0^{n+1} =\dfrac{ar^{n+1}}{r-1} – \dfrac{a}{r-1} = \dfrac{a(r^{n+1}-1)}{r-1} \end{array} \]

5) Esempi di calcolo di somme tramite l’integrazione finita

5.1) Somme con fattoriali generalizzati \(x^{(n)}\)

Per i prossimi esercizi ricordiamo le seguenti formule

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{}{} x^{(n)} = \dfrac{x^{(n+1)}}{h(n+1)} \ ,\quad n \neq -1 \\ \sum\limits_{}{} (ax+b)^{(n)} = \dfrac{(ax+b)^{(n+1)}}{ha(n+1)} \ ,\quad n \neq -1 \\ \end{array} \]

Esercizio 5.1
Dimostrare la formula

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \sum\limits_{x=1}^{n}x^{2} = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{array} \]

Suggerimento
Applicare la formula \(x^{2}= x^{(2)}+hx^{(1)}\), ponendo \(h=1\). Quindi

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \sum\limits_{x=1}^{n}x^{2} = \sum\limits_{}{} x^{(2)} + x^{(1)} \Big|_1^{n+1} =\dfrac{x^{(3)}}{3} + \dfrac{x^{(2)}}{2} \Big|_1^{n+1} = \\ =\dfrac{(n+1)n(n-1)}{3} + \dfrac{(n+1)n}{2} – 0 – 0 =\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{array} \]

Esercizio 5.2
Supponiamo di voler calcolare la somma \(S=\sum\limits_{k=1}^{n}k^{3}\) utilizzando il teorema fondamentale. In questo caso \(f(x)=x^{3}\). Dimostrare la seguente formula:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}k^{3} = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^{2} \end{array} \]

Suggerimento
Ricordare che \(x^{3}= x^{(3)} + 3x^{(2)} h + x^{(1)}h^{2}\) e \(\Delta x^{(n)}=nx^{(n-1)}h\). In questo caso porre \(h=1\).

Esercizio 5.3
Dimostrare la formula

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \sum\limits_{x=1}^{n}x^{4} = \dfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30} \end{array} \]

Esercizio 5.4
Dimostrare la formula

\[ \begin{array}{l} \displaystyle S_{n}=1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \cdots n(n+1)(n+2) = \dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} \end{array} \]

Suggerimento
Il termine generico della sequenza è \((x-2)(x-1)x=x^{(3)}\), con \(h=1\). Quindi poniamo \(f(x)=x^{(3)}\) e applichiamo il teorema fondamentale. La somma dei primi \(n\) termini è uguale a

\[ \begin{array}{l} \displaystyle S_{n}= \sum\limits_{x=3}^{n+2}x^{(3)} = \sum\limits_{}{} x^{(3)} \Big|_3^{n+3}= \dfrac{x^{(4)}}{4} \Big|_3^{n+3}= \\ = \dfrac{(n+3)^{(4)}}{4} – \dfrac{(3)^{(4)}}{4} = \dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} \end{array} \]

Esercizio 5.5
Dimostrare la formula seguente:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle S_{n}= 3 \cdot 5 \cdot 7 + 5 \cdot 7 \cdot 9 + \cdots + (2n+1)(2n+3)(2n+5) = \\ = \dfrac{(2n+7)(2n+5)(2n+3)(2n+1)}{8} – \dfrac{105}{8} \end{array} \]

Suggerimento
Il termine generico della sequenza è \((2x+5)(2x+3)(2x+1)=(2x+5)^{(3)}\), con \(x=1,2,\cdots,n\). Quindi poniamo \(f(x)=(2x+5)^{(3)}\), con \(h=1\), e applichiamo il teorema fondamentale:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle S_{n}= \sum\limits_{x=1}^{n}(2x+5)^{(3)} = \sum\limits_{}{}(2x+5)^{(3)} \Big|_1^{n+1}= \\ = \dfrac{(2x+5)^{(4)}}{4\cdot 2} \Big|_1^{n+1}= \dfrac{(2n+7)^{(4)}}{8} – \dfrac{(7)^{(4)}}{8}= \\ = \dfrac{1}{8}\cdot \big[(2n+7)(2n+5)(2n+3)(2n+1)-7\cdot 5 \cdot 3 \cdot 1\big] \end{array} \]

Un modo equivalente di calcolo è porre \(f(x)=x^{3}\) e \(h=2\):

\[ \begin{array}{l} \displaystyle S_{n}= \sum\limits_{x=7}^{2n+5}x^{(3)} = \sum\limits_{}{}x^{(3)} \Big|_7^{2n+7}= \\ = \dfrac{x^{(4)}}{4\cdot 2} \Big|_7^{2n+7}= \dfrac{(2n+7)^{(4)}}{8} – \dfrac{(7)^{(4)}}{8}= \\ = \dfrac{1}{8} \cdot \big[(2n+7)(2n+5)(2n+3)(2n+1)-7\cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 \big] \end{array} \]

5.2) Somma con fattoriali \(x^{(-n)}\)

Esercizio 5.6
Calcolare la seguente somma:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle S_{n}=\sum\limits_{x=0}^{n-1} \dfrac{1}{(x+1)(x+2)}= \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \dfrac{1}{n \cdot (n+1)} \end{array} \]

Notiamo che si tratta di una somma telescopica. Infatti

\[ \begin{array}{l} \dfrac{1}{n(n+1)}= \dfrac{1}{n}- \dfrac{1}{n+1} \end{array} \]

e quindi è facile calcolare la somma:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle S_{n}= 1 – \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{4} + \cdots + \dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{n+1} = 1 – \dfrac{1}{n+1} \end{array} \]

Per calcolarla con il metodo dell’integrazione finita osserviamo che

\[ \begin{array}{l} \dfrac{1}{(x+1)(x+2)} = x^{(-2)} \quad (h = 1) \end{array} \]

Quindi applichiamo il teorema fondamentale del calcolo finito (ricordare che \(0^{-1}=1\)):

\[ \begin{array}{l} \displaystyle S_{n}= \sum\limits_{x=0}^{n-1}x^{(-2)} = \sum\limits_{}^{} \dfrac{x^{(-1)}}{-1} \Big|_0^{n} = 1 – \dfrac{1}{n+1} \end{array} \]

5.3) Somma di coefficienti binomiali

Esercizio 5.7
Supponiamo \(h=1\) e sia \(a\) un intero. In precedenza abbiamo calcolato questa somma indefinita:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \sum\limits_{}{} \binom{x+a}{k} = \binom{x+a}{k+1} + C(x) \end{array} \]

A partire dalla formula precedente dimostrare la seguente formula:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n} \binom{x+a}{k} = \binom{n+1+a}{k+1} – \binom{a}{k+1} \end{array} \]

Nel caso particolare \(a=k\) abbiamo la nota formula del calcolo combinatorio:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n} \binom{x+k}{k} = \binom{n+k+1}{k+1} \end{array} \]

Dimostrare questa seconda formula mediante il metodo di induzione.

Esercizio 5.8
Dimostrare la seguente formula:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n} \binom{-x}{k} = -\binom{-n}{k+1} \end{array} \]

5.4) Somma di progressioni aritmetiche

Sia data la seguente progressione aritmetica \(f(x)=a+bx,\ x=0,1,2,\cdots\).
Consideriamo la somma dei primi \(n\) termini:

\[ \begin{array}{l} S_{n}= a + a+b + a+2b + \cdots + a+(n-1)b = \sum\limits_{x=0}^{n-1}(a+bx) \end{array} \]

Calcoliamo prima la somma indefinita. In questo caso \(h=1\). Dobbiamo trovare una funzione \(F(x)\) tale che \(\Delta F(x)=hf(x)=f(x)\). Quindi

\[ \begin{array}{l} \displaystyle F(x)= \Delta^{-1}(a+bx) =\sum\limits_{}{}(a + bx) = \binom{x}{1}a + \binom{x}{2}b + C(x) \\ \end{array} \]

Quindi applichiamo il teorema fondamentale dell’integrazione finita:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle S_{n}=\sum\limits_{x=0}^{n-1}(a+bx) =\sum\limits_{}{}(a + bx)\Big|_0^{n} = \\ \displaystyle = \binom{n}{1}a + \binom{n}{2}b – \binom{0}{1}a – \binom{0}{2}b= na + \dfrac{n(n-1)}{2}b \end{array} \]

5.5) Somma di funzioni trigonometriche ed esponenziali

Esercizio 5.9
Dimostrare la seguente formula:

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{x=0}^{n} \sin ax = \dfrac{\cos a/2 – \cos(an + a/2)}{2 \sin a/2} \end{array} \]

Suggerimento
Ricordare la formula:

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{}^{} \sin ax = – \dfrac{\cos (ax – a/2)}{2 \sin a/2} \quad (h=1) \end{array} \]

Quindi applichiamo il teorema fondamentale dell’integrazione finita:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n} \sin ax = \sum\limits_{}{} \sin ax\Big|_0^{n+1} = – \dfrac{\cos (ax – a/2)}{2 \sin a/2} \Big|_0^{n+1} = \\ = -\dfrac{\cos(an + a/2)}{2\sin a/2} + \dfrac{\cos a/2}{2 \sin a/2} \end{array} \]

Esercizio 5.10

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{x=0}^{n} \cos ax = \dfrac{\sin(an + a/2)}{2 \sin a/2} + \dfrac{1}{2} \end{array} \]

Le formule dei due esercizi precedenti possono essere ottenute mediante la formula di Eulero:

\[ \begin{array}{l} e^{i x} = \cos x + i \sin x \end{array} \]

Esercizio 5.11
Dimostrare la seguente formula, supponendo \(\theta \neq 2k\pi\) con \(k\) intero:

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{x=0}^{n} e^{i \theta x } = \left( \cos \dfrac{n \theta}{2} +i \sin \dfrac{n \theta}{2}\right) \dfrac{\sin \dfrac{(n+1)\theta}{2}}{\sin \dfrac{\theta}{2}} \end{array} \]

Soluzione
In primo luogo abbiamo la seguente somma indefinita:

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{}^{} e^{i \theta x } = \dfrac{e^{i \theta x}}{e^{i\theta} – 1} + C(x) \quad (h=1) \end{array} \]

Applichiamo il teorema fondamentale dell’integrazione finita:

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{x=0}^{n} e^{i \theta x } =\sum\limits_{}^{} e^{i \theta x }\Big|_0^{n+1}= \dfrac{e^{i \theta x}}{e^{i\theta} – 1}\Big|_0^{n+1} = \\ = \dfrac{e^{i \theta (n+1)}}{e^{i\theta} – 1} – \dfrac{1}{e^{i\theta} – 1}= \left( \cos \dfrac{n \theta}{2} +i \sin \dfrac{n \theta}{2} \right) \dfrac{\sin \dfrac{(n+1)\theta}{2}}{\sin \dfrac{\theta}{2}} \end{array} \]

Separando la parte reale e la parte immaginaria dell’espressione ottenuta, ritroviamo le formule dei due esercizi precedenti. Per dimostrare questo utilizzare le formule di prostaferesi (vedi articolo su questo sito).

6) Somma di serie infinite

Nel paragrafo precedente abbiamo visto alcuni esempi di calcolo di somme finite, utilizzando il teorema fondamentale dell’integrazione finita. Possiamo utilizzare questi metodi anche per calcolare la somma di serie infinite.
Ricordiamo alcune definizioni relative alle serie. Sia \(\{x_{n}, n=1,2,3,\cdots\}\) una successione di numeri reali. Una serie infinita è un’espressione del seguente tipo:

\[ \sum\limits_{k=1}^{\infty}x_{k}=x_{1}+x_{2}+ \cdots + x_{n} + \cdots \]

Per calcolare la somma di una serie si studia la successione delle somme parziali \(S_{n}\) così definite:

\[ \begin{array}{l} S_{1}= x_{1} \\ S_{2}= x_{1} + x_{2} \\ \cdots \\ S_{n}=x_{1}+x_{2}+ \cdots + x_{n} \\ \cdots \end{array} \]

La serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) si dice convergente al valore \(S\) se esiste il limite finito della successione delle somme parziali:

\[ \lim_{n \to \infty}S_{n}=S \]

In generale si dice divergente ogni serie che non è convergente. Per uno studio approfondito delle serie vedere articolo su questo sito.
Vediamo alcuni esempi di calcolo della somma di serie infinite.

Esercizio 6.1
Consideriamo il caso \(f(x) = x^{(-m)}= \dfrac{1}{(x+mh)^{(m)}}\). In questo caso abbiamo la seguente somma indefinita:

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{}{}x^{(-m)} = -\dfrac{1}{h(m-1)} x^{(-m+1)} = -\dfrac{1}{h(m-1)[x+(m-1)h]^{(m-1)}} + C(x) \end{array} \]

Quindi calcoliamo i primi \(n\) termini della somma definita:

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{x=a}^{a + (n-1)h}x^{(-m)} = -\dfrac{1}{h(m-1)[x+(m-1)h]^{(m-1)}} \Big|_a^{a+nh} = \\ = -\dfrac{1}{h(m-1)} \left[ \dfrac{1}{[a+nh+(m-1)h]^{(m-1)}} -\dfrac{1}{[a + (m-1)h]^{(m-1)}}\right] \end{array} \]

Facendo tendere \(n \to \infty\), possiamo calcolare la somma della serie infinita, con la variabile indice \(x\) che assume gli infiniti valori \(\{a,a+h, a+ 2h, \cdots\}\):

\[ \begin{array}{l} \left(\sum\limits_{x=a}^{\infty}\right)_{h}x^{(-m)} = \dfrac{1}{h(m-1)[a + (m-1)h]^{(m-1)}} \end{array} \]

La formula precedente si applica facilmente nei casi in cui \(h=m\). Vediamo un esempio.

Esercizio 6.2
Supponiamo \(m=2, h=2, a=1\). La somma parziale dei primi \(n\) termini è la seguente:

\[ \begin{array}{l} S_{n} = \sum\limits_{x=1}^{1 + (n-1)h}\dfrac{1}{(x+2)(x+4)} =\sum\limits_{x=1}^{1 + (n-1)h}x ^{(-2)} = \\ = \dfrac{1}{3 \cdot 5} + \dfrac{1}{5 \cdot 7} + \dfrac{1}{7 \cdot 9} + \cdots + \dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)} \end{array} \]

La somma della serie infinita può essere ottenuta applicando la formula del paragrafo precedente:

\[ \begin{array}{l} S = \lim\limits_{n \to \infty} S_{n} = \dfrac{1}{2 \cdot 1} \dfrac{1}{(1+4-2)} = \dfrac{1}{6} \end{array} \]

Un metodo alternativo per calcolare la somma della serie è il seguente. In primo luogo osserviamo che

\[ \begin{array}{l} (2x-1)^{(-2)}= \dfrac{1}{(2x+1)(2x+3)} \quad (h=1) \end{array} \]

Definiamo quindi la somma parziale dei primi \(n\) termini nella seguente forma equivalente:

\[ \begin{array}{l} S_{n} = \sum\limits_{x=1}^{n}(2x-1)^{(-2)} = \dfrac{1}{3 \cdot 5} + \dfrac{1}{5 \cdot 7} + \dfrac{1}{7 \cdot 9} + \cdots + \dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)} \end{array} \]

In questo caso poniamo \(h=1\) e abbiamo la seguente somma indefinita:

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{}{}(2x-1)^{(-2)} = \dfrac{(2x-1)^{(-1)}}{-2} = \dfrac{-1}{2[2(x+1)-1]}=\dfrac{-1}{2(2x+1)} \end{array} \]

Applichiamo il teorema fondamentale dell’integrazione finita:

\[ \begin{array}{l} S_{n}= \sum\limits_{x=1}^{n}(2x-1)^{(-2)}= \sum\limits_{}^{}(2x-1)^{(-2)} \Big|_1^{n+1} = \dfrac{-1}{2(2x+1)} \Big|_1^{n+1} = \\ = – \dfrac{1}{2(2n+3)} + \dfrac{1}{6} \\ \text{e quindi} \\ S = \lim\limits_{n \to \infty} S_{n}= \dfrac{1}{6} \end{array} \]

Nel caso in cui \(h \neq n\) si può utilizzare un altro metodo per calcolare la somma. Vediamo un esempio.

Esercizio 6.3 – Stirling
Calcolare la somma della seguente serie, supponendo \(h=1\):

\[ \begin{array}{l} S =\sum\limits_{x=1}^{\infty} \dfrac{1}{x(x+3)} =\dfrac{1}{1 \cdot 4} + \dfrac{1}{2 \cdot 5} + \dfrac{1}{3 \cdot 6} + \cdots \end{array} \]

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per \((x+1)(x+2)\), in modo che il denominatore diventa uguale \((x+3)^{(4)}\). Abbiamo  

\[ \begin{array}{l} \dfrac{1}{x(x+3)} = \dfrac{(x+1)(x+2)}{x(x+1)(x+2)(x+3)}= \dfrac{(x+1)(x+2)}{(x+3)^{(4)}} \quad (h = 1) \end{array} \]

Quindi determiniamo delle costanti \(A_{0},A_{1},A_{2}\) tali che risulti

\[ \begin{array}{l} (x+1)(x+2) = A_{0} + A_{1}(x+3)^{(1)} + A_{2}(x+3)^{(2)} \end{array} \]

Uguagliando i due membri della espressione si trovano i seguenti valori dei coefficienti:

\[ \begin{array}{l} A_{0}= 2 \ ,\quad A_{1}= -2 \ ,\quad A_{2}=1 \end{array} \]

Sostituendo nell’equazione iniziale e semplificando abbiamo la seguente identità:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{1}{x(x+3)} = 2 (x-1)^{(-4)} – 2 (x-1)^{(-3)} + (x-1)^{(-2)} \end{array} \]

A questo punto applichiamo il teorema fondamentale per calcolare la somma parziale \(S_{n}\):

\[ \begin{array}{l} S_{n}= \sum\limits_{x=1}^{n}\dfrac{1}{x(x+3)} = \sum\limits_{}{}\dfrac{1}{x(x+3)}\Big|_1^{n+1}= \\ = \left[ \dfrac{2 (x-1)^{(-3)}}{-3}- \dfrac{2 (x-1)^{(-2)}}{-2} + \dfrac{(x-1)^{-1}}{-1}\right]\Big|_1^{n+1} \end{array} \]

Facendo i calcoli si trova infine che

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{x=1}^{\infty} \dfrac{1}{x(x+3)} = \lim\limits_{n \to \infty}S_{n} = \dfrac{11}{18} \end{array} \]

Esercizio 6.4
Calcolare la somma della seguente serie:

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{x=1}^{\infty} \dfrac{x}{2^{x}}=2 \end{array} \]

Suggerimento
Utilizzare la seguente somma indefinita, ponendo \(h=1\):

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{}{}x a^{x} = \dfrac{a^{x}(ax- x -a)}{(a-1)^{2}} + C(x) \end{array} \]

Per questo esercizio porre \(a= \dfrac{1}{2}\). Quindi applicare il teorema fondamentale dell’integrazione finita.

Esercizio 6.5
Calcolare la seguente serie:

\[ \begin{array}{l} S =\left(\sum\limits_{x=1}^{\infty}\right)_{2} \dfrac{1}{x(x+2)(x+4)}= \dfrac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5} + \dfrac{1}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \dfrac{1}{5 \cdot 7 \cdot 9} + \dfrac{1}{7 \cdot 9 \cdot 11} + \cdots \end{array} \]

Soluzione
In questo caso poniamo \(h=2\). Abbiamo infatti

\[ \begin{array}{l} \dfrac{1}{x \cdot (x+2) \cdot (x+4)} = (x-2)^{(-3)} \end{array} \]

Quindi possiamo applicare il teorema fondamentale per calcolare la somma parziale \(S_{n}\):

\[ \begin{array}{l} S_{n}= \sum\limits_{x=1}^{2n-1}\dfrac{1}{x(x+2)(x+4)} = \sum\limits_{x=1}^{2n-1} (x-2)^{(-3)} = \\ = \sum\limits_{}^{} (x-2)^{(-3)} \Big|_1^{2n+1} = \dfrac{ (x-2)^{(-2)}}{(-2)2}\Big|_1^{2n+1} \end{array} \]

Completando i calcoli si trova la seguente soluzione :

\[ \begin{array}{l} S_{n}= \dfrac{1}{12} – \dfrac{1}{4(2n+1)(2n+3)} \\ \text{e quindi} \\ S = \lim\limits_{n \to \infty}S_{n}= \dfrac{1}{12} \end{array} \]

Conclusione

In questo articolo e nel precedente abbiamo introdotto alcuni concetti fondamentali del calcolo delle differenze finite. Tuttavia il campo di applicazione di questa branca della matematica è molto vasto e ha importanti applicazioni pratiche e teoriche. Alcuni approfondimenti più avanzati per gli studenti interessati sono elencati di seguito.

• Numeri e polinomi di Bernoulli
• Numeri e polinomi di Eulero
• Calcolo approssimato di integrali definiti
• La formula di Eulero-Maclaurin

In un prossimo articolo studieremo le equazioni alle differenze finite, chiamate anche equazioni ricorsive, che sono la versione discreta delle equazioni differenziali. Entrambi questi tipi di equazioni sono utilizzate per risolvere problemi in molti settori: fisica, chimica, biologia, economia, ingegneria, ecc.
Le equazioni differenziali sono utilizzate per modellizzare e descrivere molti tipi di sistemi dinamici che variano in modo continuo, e permettono di prevedere il comportamento futuro dei sistemi sulla base dello stato corrente. Le equazioni alle differenze finite sono utilizzate per descrivere l’evoluzione di processi e fenomeni discreti nel corso del tempo. Inoltre sono utilizzate anche per approssimare le soluzioni di equazioni differenziali.

Bibliografia

^[1]G. Boole – A Treatise on the Calculus of Finite Differences (Dover)

^[2]M. Spiegel – Schaum’s Outline of Calculus of Finite Differences and Difference Equations (McGraw Hill)

^[3]S. Goldberg – Introduction to Difference Equations (Dover)

^[4]Mendelson, Ayres – Schaum’s Outline of Calculus (McGraw-Hill)

^[5]Spiegel – Schaum’s Outline of Theory and Problems of Real Variables (McGraw-Hill)