Il Calcolo delle Differenze Finite (I) – L’operatore Differenza Finita e le sue Applicazioni

In questo articolo inizieremo a studiare i fondamenti del calcolo delle differenze finite, una branca della matematica forse un po’ trascurata. In primo luogo ha un grande interesse teorico, in quanto ha molte similitudini con il calcolo differenziale e integrale classico e con la teoria delle equazioni differenziali. Inoltre, grazie anche alla disponibilità di computers sempre più veloci, il calcolo delle differenze finite sta acquistando grande importanza in molti settori della scienza e della tecnologia: statistica, fisica, ingegneria, biologia, economia, ecc.
Suddivideremo l’esposizione del calcolo delle differenze finite in tre articoli separati.

• L’operatore differenza finita e le sue applicazioni (questo articolo).
• La sommazione indefinita e l’integrazione discreta.
• Le teoria delle equazioni alle differenze finite.

1) Grandezze continue e grandezze discrete

Un concetto fondamentale della matematica è quello di funzione. Nel caso più semplice si tratta di una relazione, indicata con \(y=f(x)\), che lega due variabili reali \(x,y\). Ad ogni valore della variabile \(x\) corrisponde un valore della variabile \(y\). Il concetto di funzione è molto generale, tuttavia possiamo distinguere due tipologie fondamentali.

• Funzioni nella quale la variabile \(x\) è continua, cioè può assumere qualunque valore compreso in un intervallo dell’asse reale.
• Funzioni nella quali la variabile \(x\) assume solo un insieme di valori discreti \(\{x_{1},x_{2}, \cdots\}\), cioè finito o numerabile.

Le funzioni del primo tipo sono studiate mediante il calcolo differenziale e integrale classico. Le funzioni del secondo tipo sono studiate mediante il calcolo delle differenze finite. Naturalmente anche le funzioni del primo tipo possono essere studiate mediante il calcolo delle differenze finite: basta considerare solo dei valori discreti della variabile \(x\).
ll calcolo differenziale e integrale classico è basato sostanzialmente sul concetto di limite. Ad esempio la derivata di una funzione di variabile reale \(y=f(x)\) nel punto \(x_{0}\) è così definita:

\[ \dfrac{df}{dx}\bigg|_{x=x_{0}} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac {f(x_{0} + \Delta x)- f(x_{0})}{\Delta x} \]

Nella definizione di limite l’argomento, in questo caso il \(\Delta x\), si avvicina a zero in modo continuo potendo assumere tutti i valori reali sempre più piccoli nell’intorno dello zero. Nel calcolo delle differenze finite invece le variabili indipendenti possono assumere solo valori discreti, e quindi non si applica il concetto di limite.
I metodi del calcolo delle differenze finite sono utili in molti problemi: ad esempio per approssimare le soluzioni di equazioni differenziali o per descrivere processi che per la loro natura sono meglio descritti da equazioni alle differenze finite, piuttosto che da equazioni differenziali.
La seguente tabella illustra la corrispondenza fra il calcolo differenziale e integrale classico e il calcolo delle differenze finite.

\[ \begin{array}{|l|l|} \hline \textbf{Calcolo differenziale e integrale} & \textbf{Calcolo differenze finite} \\ \hline \text{Funzioni} & \text{Successioni} \\ \hline \text{Derivata} & \text{Differenza finita} \\ \hline \text{Integrale indefinito} & \text{Somma indefinita} \\ \hline \text{Integrale definito} & \text{Integrale discreto (Somma definita)} \\ \hline \text{Teorema fondamentale del } & \text{Teorema fondamentale del} \\ \text{calcolo integrale} & \text{calcolo discreto} \\ \hline \text{Equazioni differenziali} & \text{Equazioni alle differenze finite} \\ \hline\end{array} \]

L’origine del calcolo delle differenze finite può essere fatta risalire al matematico inglese Brook Taylor, che nel \(1717\) ha pubblicato il testo ‘Methodus Incrementorum’. Un matematico che ha dato importanti contributi a questa branca della matematica è James Stirling (1692, 1770), nel suo testo ‘Methodus Differentialis: sive Tractatus de Summatione et Interpolatione Serierum Infinitarum’.
In seguito anche Eulero ha dato importanti contributi e ha introdotto per primo il simbolo \(\Delta\) per indicare l’operatore differenza finita.

2) Il calcolo delle differenze finite – L’operatore delta \((\Delta)\)

2.1) Gli operatori matematici

Il concetto di operatore è fondamentale in matematica. In pratica è un simbolo che indica un’operazione matematica su uno o più operandi e produce un risultato. Un operatore può essere considerato come una trasformazione o una funzione, nel senso che associa elementi di un insieme con elementi di un altro insieme. Naturalmente in genere l’azione di un operatore ha senso solo per una classe ristretta di operandi.
Esempi di operatori sono le quattro operazioni aritmetiche, la radice quadrata di un numero, la derivata di una funzione, l’integrale di una funzione, la trasformata di Fourier, ecc.
In genere si usano le notazioni \(Tf\), \(T(f)\), oppure \(T[f]\) per indicare il risultato dell’operatore \(T\) sull’operando \(f\).

Esempio 2.1 – Operatore derivata e differenziale
Nel calcolo differenziale sono definiti l’operatore derivata (\(D)\) e l’operatore differenziale \((d)\), che si applicano alle funzioni derivabili:

\[ \begin{array}{l} Df(x) =\dfrac{df}{dx} \quad \text{(operatore derivata)} \\ df(x)= \dfrac{df}{dx} dx = D[f(x)] dx \quad \text{(operatore differenziale)} \end{array} \]

Alcune proprietà dell’operatore derivata solo le seguenti:

\[ \begin{array}{l} D [af(x)+ bg(x)] = aDf(x) + bDg(x) \quad \text{(linearità)}\\ D [f(x) \cdot g(x)] = g(x)Df(x) + f(x)Dg(x) \quad \text{(regola Leibniz)} \\ D \left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right] = \dfrac{g(x)Df(x)- f(x)Dg(x)}{[g(x)]^{2}} \end{array} \]

Esempio 2.2

\[ \begin{array}{l} D\sin^{2} x = 2 \sin x \cos x \\ D(\ln x) = \dfrac{1}{x} \\ d(e^{2x}) = 2 e^{2x} dx \\ d(\sin x) = \cos x dx \end{array} \]

Esempio 2.3 – Operatore integrale indefinito
L’integrale indefinito è l’operazione inversa della derivazione. L’applicazione dell’operatore su una funzione \(f(x)\) può essere indicata con il simbolo \(I(f)\) oppure con classico simbolo \(\int\limits_{}{}f(x) \ dx \). Ad esempio

\[ \begin{array}{l} \int\limits_{}{} \sin x \ dx = -\cos x + c \end{array} \]

dove \(c\) è una costante arbitraria.
Come si vede l’integrale indefinito non è unico, ma è definito a meno di una costante arbitraria. Il simbolo \(\int\limits_{}{}f(x)\ dx \) rappresenta la collezione di tutte le funzioni \(F(x)\) tali che \(F'(x)=f(x)\).

Esempio 2.4

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{}{} \ln x \ dx= x \ln x – x + c \\ \displaystyle \int\limits_{}{} x\ln x \ dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x – \frac{x^{2}}{4} + c \end{array} \]

2.2) L’operatore differenza finita

Sia \(f(x)\) una funzione reale di variabile reale definita in un insieme discreto di punti \(\{x_{0},x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}, \cdots\}\). In generale i punti \(x_{k}\) possono essere non equidistanti. Tuttavia nel calcolo delle differenze finite si assume che i punti \(x_{k}\) siano equidistanti, cioè:

\[ x_{k+1}- x_{k}=h, \quad k=0,1,\cdots \]

dove \(h\) è un valore costante.
In questo caso l’operatore differenza finita \(\Delta\) è definito come l’incremento della funzione dal valore \(f(x)\) al valore \(f(x+h)\):

\[ \Delta f(x) =f(x+h) – f(x) \]

L’operatore \(\Delta f(x)\) viene anche chiamato differenza finita in avanti (in inglese forward difference).
Come caso particolare abbiamo \(\Delta x = x+h – x = h\). Nel seguito utilizzeremo indifferentemente i simboli equivalenti \(h\) e \(\Delta x\).
Il calcolo delle differenze finite si applica anche alle funzioni definite in un dominio continuo, ad esempio in un intervallo \([a,b]\) dell’asse reale, una volta specificato l’intervallo \(h\) e i punti equidistanti sui quali calcolare la funzione.

Nota – Legame con il calcolo differenziale
Nel calcolo differenziale la derivata prima di una funzione \(f(x)\) è

\[ \begin{array}{l} \dfrac{df}{dx}= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta f(x) }{\Delta x} \end{array} \]

In notazione simbolica possiamo scrivere la relazione fra gli operatori \(D\) e \(\Delta\) nel seguente modo

\[ \begin{array}{l} D = \dfrac{d}{dx} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta }{\Delta x} \end{array} \]

Come per le derivate, possiamo definire operatori alle differenze finite di ordine superiore. La formula ricorsiva generale è la seguente

\[ \begin{array}{l} \Delta^{n} f(x)=\Delta [\Delta^{n-1} f(x)] = \Delta^{n-1}f(x+h) – \Delta^{n-1}f(x) \end{array} \]

Esercizio 2.1
Dimostrare le seguenti formule:

\[ \begin{array}{l} \Delta^{2} f(x)=\Delta [\Delta f(x)] =f(x+2h) -2f(x+h) + f(x) \\ \Delta^{3} f(x)=f(x+3h) -3f(x+2h) +3f(x+h) – f(x) \\ \Delta^{4} f(x)=f(x+4h) -4f(x+3h) + 6f(x+2h) -4f(x+h) + f(x) \end{array} \]

2.3) Tabella delle differenze finite

Sia \(y=f(x)\) una funzione reale di una variabile reale \(x\). Supponiamo di conoscere i valori della funzione nei punti

\[ \begin{array}{l} x_{0},\ x_{1}=x_{0}+ h,\ x_{2}=x_{0}+ 2h,\ \cdots,\ x_{n}=x_{0}+ nh \end{array} \]

Poniamo \(\{y_{k}=f(x_{k}),\ k=0,1,\cdots,n\}\). Quindi possiamo usare la notazione semplificata seguente per indicare le differenze finite della funzione \(f(x)\):

\[ \begin{array}{l} \Delta y_{0} = y_{1}- y_{0} \\ \Delta y_{1} = y_{2}- y_{1} \\ \vdots \\ \Delta y_{n-1} = y_{n}- y_{n-1} \end{array} \]

In modo simile possono essere definite le differenze di ordine superiore.
Possiamo rappresentare le differenze finite mediante una tabella. Ad esempio nel caso di \(5\) argomenti abbiamo

\[ \begin{array}{|l|l|l|l|l|l|} \hline \text{x} & \text{y=f(x)} & \Delta y & \Delta^{2} y &\Delta^{3} y &\Delta^{4}y \\ \hline x_0 & y_0 \\ & & \Delta y_0 \\ x_1 & y_1 & & \Delta^2 y_0\\ & & \Delta y_1 & & \Delta^3 y_0\\ x_2 & y_2 & & \Delta^2 y_1 & & \Delta^4 y_0\\ & & \Delta y_2 & & \Delta^3 y_1\\ x_3 & y_3 & & \Delta^2 y_2\\ & & \Delta y_3 \\ x_4 & y_4 \\ \hline \end{array} \]

Ogni differenza di ordine superiore può essere espressa mediante i valori della funzione, presenti nella secondo colonna. Ad esempio

\[ \begin{array}{l} \Delta^{2} y_0 = \Delta y_{1} – \Delta y_{0}= y_{2}- 2y_{1} + y_{0} \\ \Delta^{3} y_0 = \Delta^{2} y_{1} – \Delta^{2} y_{0}= y_{3}- 3y_{2} + 3y_{1} – y_{0} \\ \Delta^{4} y_0 = \Delta^{3} y_{1} – \Delta^{3} y_{0}= y_{4}- 4y_{3} + 6y_{2}- 4y_{1} + y_{0} \\ \end{array} \]

Esercizio 2.2
Dimostrare la seguente formula generale:

\[ \Delta^{n} y_0 = \sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}y_{n-i} \]

Se poniamo \(y_{k} =f(x_{0}+ hk)\), allora la formula precedente diventa

\[ \Delta^{n} f(x) = \sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}f(x+(n-i)h)= f(x+nh) – \\ – \binom{n}{1}f(x+(n-1)h) + \binom{n}{2}f(x+(n-2)h) + \cdots + (-1)^{n}f(x) \]

2.4) Proprietà generali dell’operatore differenza finita

L’operatore \(\Delta\) è lineare. Infatti valgono le seguenti proprietà:

\[ \begin{array}{l} \Delta [f_{1}(x) + \cdots + f_{n}(x)] = \Delta f_{1}(x) + \cdots + \Delta f_{n}(x) \\ \Delta [cf(x)] = c \Delta f(x) \ ,\quad \text{c = costante} \end{array} \]

Ad esempio per un polinomio abbiamo

\[ \begin{array}{l} \Delta [a_{0}x^{n}+ a_{1}x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x+ a_{n}] = \\ \quad a_{0} \Delta x^{n}+ a_{1} \Delta x^{n-1}+ \cdots + a_{n-1}\Delta x \end{array} \]

Esercizio 2.3
Dimostrare le seguenti formule:

\[ \begin{array}{l} \Delta [f(x)g(x)] = g(x) \Delta f(x) + f(x) \Delta g(x) + \Delta f(x) \Delta g(x) = \\ \quad = g(x) \Delta f(x) + f(x+h) \Delta g(x) \\ \Delta \left [ \dfrac{f(x)}{ g(x)}\right] = \dfrac{g(x) \Delta f(x) – f(x) \Delta g(x)}{ g(x) g(x+h)} \end{array} \]

Notiamo che se dividiamo per \(h = \Delta x\) e calcoliamo il limite per \(h \to 0\), otteniamo le regole di derivazione classiche. Ad esempio la formula di derivazione di Leibniz si ottiene in questo modo:

\[ \begin{array}{l} \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\Delta [f(x)g(x)] }{h}= \\ = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{g(x) \Delta f(x)}{h} + \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x) \Delta g(x)}{h} + \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\Delta f(x) \Delta g(x)}{h} = \\ = g(x)Df(x) + f(x)Dg(x) + 0 = D [f(x)g(x)] \end{array} \]

2.5) Esempi di calcolo con funzioni classiche

Esercizio 2.4

\[ \begin{array}{l} \Delta \left(\dfrac{x+1}{x^{2}-3x + 2}\right) = – \dfrac{x+4}{x(x-1)(x-2)} \end{array} \]

Suggerimento
Effettuare la scomposizione in frazioni parziali.

Esercizio 2.5
Sia \(p(x)= a_{0}x^{n}+ a_{1}x^{n-1}+ \cdots + a_{n-1}x + a_{n}\) un polinomio di grado \(n\). Dimostrare che

\[ \begin{array}{l} \Delta^{n} p(x) = a_{0} n! h^{n} \\ \Delta^{n+k} p(x) = 0 \ ,\quad k \ge 1 \end{array} \]

Esercizio 2.6
Dimostrare le seguenti formule:

\[ \begin{array}{l} \Delta a^{x} = a^{x}(a^{h}- 1) \\ \Delta^{n} a^{x} = a^{x}(a^{h}- 1)^{n} \\ \Delta \sin kx = 2 \sin \left(\dfrac{kh}{2}\right) \cos k \left(x+ \dfrac{h}{2}\right) \\ \Delta \cos kx = -2 \sin \left(\dfrac{kh}{2}\right) \sin k \left(x+ \dfrac{h}{2}\right) \\ \end{array} \]

Notiamo che per ognuna delle funzioni possiamo calcolare la derivata, dividendo per \(h\) e passando al limite \(h \to 0\). Ad esempio

\[ \begin{array}{l} D[\sin kx] = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ \Delta [\sin kx]}{h} = \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{2 \sin \left(\dfrac{kh}{2}\right)}{h} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \cos k \left(x+ \dfrac{h}{2}\right) = k \cos kx \end{array} \]

Esercizio 2.7
Dimostrare le seguenti formule:

\[ \begin{array}{l} \Delta \ln x = \ln \left(1+\dfrac{h}{x}\right) \\ \Delta \log_{b} x = \log_{b}\left(1+\dfrac{h}{x}\right) \end{array} \]

Esercizio 2.8
Dimostrare le seguenti formule:

\[ \begin{array}{l} \Delta e^{tx} = e^{tx}(e^{th}- 1) \\ \Delta^{n} e^{tx} = e^{tx}(e^{th}- 1)^{n} \ ,\quad n \ge 1 \\\end{array} \]

Esercizio 2.9
Dimostrare le seguenti formule:

\[ \begin{array}{l} \Delta \left[\dfrac{1}{x}\right] = \dfrac{-h}{x(x+h)} \\ \Delta^{2} \left[\dfrac{1}{x}\right] = \dfrac{2h^{2}}{x(x+h)(x+2h)} \\ \vdots \\ \Delta^{n} \left[\dfrac{1}{x}\right] = \dfrac{(-1)^{n}n!h^{n}}{x(x+h)(x+2h) \cdots (x+nh)} \\ \\\end{array} \]

Esercizio 2.10 – Funzioni iperboliche

\[ \begin{array}{l} \Delta \sinh x = 2 \sinh \dfrac{h}{2} \cosh \left(x+ \dfrac{h}{2}\right) \\ \Delta \cosh x = 2 \sinh \dfrac{h}{2} \sinh \left(x+ \dfrac{h}{2}\right) \\ \end{array} \]

Ricordare che \(\sinh x = \dfrac{e^{x}- e^{-x}}{2}, \cosh x = \dfrac{e^{x}+ e^{-x}}{2}\).

Esercizio 2.11

\[ \begin{array}{l} \Delta \sin \left(\dfrac{2 \pi x}{h}+a\right) = 0 \\ \Delta \cos \left(\dfrac{2 \pi x}{h}+a \right) = 0 \end{array} \]

3) Altri operatori di differenze finite

Operatore unitario
Indichiamo con il simbolo \(1\) l’operatore unitario, che produce in output lo stesso valore di input:

\[ \begin{array}{l} 1 [f(x)] = f(x) \end{array} \]

Operatore di traslazione
L’operatore di traslazione, indicato con il simbolo \(E\), è il seguente:

\[ E f(x) = f(x+h) \]

Chiaramente abbiamo

\[ \begin{array}{l} E^{2} f(x) = E(E(f(x)) = f(x+2h) \\ E^{3} f(x) = E(E^{2}(f(x)) = f(x+3h) \\ \vdots \\ E^{n} f(x) = E(E^{n-1}(f(x)) = f(x+nh) \\ \end{array} \]

Si può definire l’operatore anche con esponenti negativi:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{1}{E} f(x) = E^{-1}f(x) = f(x-h ) \\ \dfrac{1}{E^{2}} f(x) = E^{-2}f(x) = f(x-2h ) \\ \vdots \end{array} \]

Vale la seguente relazione con l’operatore differenza finita in avanti:

\[ \begin{array}{l} E = \Delta + 1 \\ Ef(x)= f(x+h) = \Delta f(x) + 1 f(x) \end{array} \]

Esercizio 3.1

\[ \begin{array}{l} \Delta^{m} E^{n}f(x) = E^{n}\Delta^{m}f(x) \end{array} \]

Esercizio 3.2
Dimostrare le seguenti formule generali, utilizzando il teorema binomiale di Newton:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \Delta^{n} = (E-1)^{n}=\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{i}\binom{n}{i}E^{n-i} \\ \displaystyle E^{n} = \sum\limits_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\Delta^{i} \\ \end{array} \]

Esercizio 3.3 – Regola di Leibniz
Dimostrare la regola di Leibniz per la differenza finita di ordine \(n\) del prodotto di due funzioni.

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \Delta^{n}[f(x)g(x)] = f(x)\Delta^{n}g(x) + \binom{n}{1} (\Delta f(x))(\Delta^{n-1}Eg(x)) + \\ \displaystyle \binom{n}{2} (\Delta^{2} f(x))(\Delta^{n-2}E^{2}g(x)) + \binom{n}{3} (\Delta^{3} f(x))(\Delta^{n-3}E^{3}g(x)) + \\ \displaystyle \cdots + \binom{n}{n} (\Delta^{n} f(x))(E^{n}g(x)) \end{array} \]

Esercizio 3.4
Supponiamo \(h=1\). Dimostrare le seguenti formule:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \Delta^{2}[x \cdot 2^{x}] = (x+4)2^{x} \\ \Delta^{2}[x^{2} \cdot 2^{x}] = 2^{x} [x^{2} + 8x + 12] \end{array} \]

Operatore di differenza all’indietro (backward difference operator)
L’operatore differenza all’indietro è così definito:

\[ \nabla f(x) = f(x) – f(x-h) \]

Esercizio 3.5
Verificare le seguenti relazioni:

\[ \begin{array}{l} \nabla E = E \nabla = \Delta \\ E^{-1}= 1 – \nabla \end{array} \]

Esercizio 3.6
Dimostrare che

\[ \begin{array}{l} \nabla f(x+h)= \Delta f(x) \\ \nabla^{2}f(x+2h)= \Delta^{2}f(x) \\ \nabla^{3}f(x+3h)= \Delta^{3}f(x) \\ \vdots \\ \nabla^{n}f(x+nh)= \Delta^{n}f(x) \end{array} \]

Esercizio 3.7
Poniamo \(\{y_{k}=f(x_{k}),\ k=0,-1,-2,\cdots,-n\}\). Quindi possiamo usare la notazione semplificata seguente per indicare le differenze finite della funzione \(f(x)\). Dimostrare che

\[ \begin{array}{l} y_{-1} = y_{0}- \nabla y_{0} \\ y_{-2} = y_{0}- 2\nabla y_{0} + \nabla^{2}y_{0} \\ y_{-3} = y_{0}- 3\nabla y_{0} + 3\nabla^{2}y_{0}- \nabla^{3}y_{0}\\ \vdots \\ \displaystyle y_{n} = \sum\limits_{i=0}^{-n}(-1)^{i} \binom{-n}{i}\nabla^{i}y_{0} \ ,\quad n \lt 0 \end{array} \]

Operatore alle differenze centrali

L’operatore alle differenze centrali, indicato con il simbolo \(\delta\), è così definito:

\[ \delta f(x) = f \left(x + \frac{h}{2}\right) – f\left(x-\frac{h}{2}\right) \]

In forma simbolica abbiamo

\[ \delta = E^{1/2}- E^{-1/2} =\Delta E^{-1/2}= \nabla E^{1/2} \\ \]

Esercizio 3.8
Dimostrare che

\[ \begin{array}{l} \delta^{2}f(x) = \Delta^{2}f(x-h) \\ \delta^{2n}f(x) = \Delta^{2n}f(x-nh) \end{array} \]

Operatore di media

\[ M f(x) = \dfrac{f(x +h) +f(x)}{2} \]

Chiaramente si ha

\[ M = \dfrac{E+1}{2} = \dfrac{\Delta}{2}+ 1 \]

Esercizio 3.9

\[ \begin{array}{l} M^{n}f(x) = M[M^{n-1}f(x)] = \dfrac{1}{2} [M^{n-1}f(x) + M^{n-1}f(x+h)] \end{array} \]

Esercizio 3.10
Dimostrare la seguente relazione fra l’operatore traslazione \(E\) e l’operatore derivata \(D\):

\[ \begin{array}{l} E = e^{hD} = 1 + hD + \dfrac{h^{2}}{2!}D^{2} + \dfrac{h^{3}}{3!}D^{3}+ \cdots\\ E f(x) = f(x+h) = f(x) + hDf(x) + \dfrac{h^{2}}{2!}D^{2}f(x) + \dfrac{h^{3}}{3!}D^{3}f(x) + \cdots \end{array} \]

Suggerimento
Ricordare la formula di Taylor per io sviluppo in serie della funzione esponenziale \(e^{x} = 1 + x + \dfrac{x^{2}}{2!}+ \cdots\).
Dall’esercizio precedente deriva la formula:

\[ \begin{array}{l} \Delta = e^{hD} – 1 \end{array} \]

4) Le funzioni fattoriali

4.1) Il fattoriale generalizzato

Studiamo ora la funzione potenza \(y=x^{n}\). La derivata classica ha l’espressione molto semplice e utile:

\[ Dx^{n} = n x^{n-1} \]

Tuttavia se applichiamo l’operatore differenza finita abbiamo:

\[ \Delta x^{n} = (x+h)^{n}- x^{n}=\binom{n}{1}x^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^{2} + \cdots + \binom{n}{n-1}x^{1}h^{n-1} + h^{n} \]

Questa formula è più complessa dell’analoga forma del calcolo differenziale. Tuttavia possiamo definire nuove funzioni le quali hanno delle proprietà più semplici e utili.

Definizione 4.1 – Il fattoriale generalizzato decrescente

\[ \begin{array}{l} x^{(0)} = 1 \\ x^{(n)} = x(x-h)(x-2h)\cdots (x-(n-1)h) \ ,\quad n=1,2,\cdots \\ x^{(-n)} = \dfrac{1}{ (x+h)(x+2h)\cdots (x+ nh)}= \dfrac{1}{(x+nh)^{(n)}} \ ,\quad n=1,2,\cdots \\ \end{array} \]

L’espressione \(x^{(n)}\) si chiama fattoriale generalizzato decrescente di grado \(n\) e intervallo \(h\). Nel caso \(h=1\) e \(x=n\) si riduce all’ordinario fattoriale. Se \(h=1\) e \(x=0\) abbiamo

\[ \begin{array}{l} 0^{-n} = \dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n} \ ,\quad n=1,2,\cdots \end{array} \]

Notiamo il legame con i coefficienti biniomiali, nel caso \(h=1\):

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \binom{x}{n} = \dfrac{x^{(n)}}{n!} \ ,\quad x \text{ intero positivo} \end{array} \]

Teorema 4.1

\[ \begin{array}{l} \Delta x^{(n)} = nx^{(n-1)} h \ ,\quad n=1,2,3,\cdots \end{array} \]

Dimostrazione

\[ \begin{array}{l} \Delta x^{(n)} = (x+h)^{(n)} – x^{(n)} = \\ (x+h)(x)(x-h)\cdots (x-(n-2)h) – x(x-h) \cdots (x-(n-1)h) = \\ (x)(x-h)\cdots (x-(n-2)h)[(x+h) – (x-(n-1)h)] = \\ (x)(x-h)\cdots (x-(n-2)h)[nh] = n x^{(n-1)}h \end{array} \]

Esercizio 4.1
Dimostrare che il teorema precedente vale anche nel caso di esponente negativo:

\[ \begin{array}{l} \Delta x^{(-n)} =-nx^{(-n-1)} h \ ,\quad n=1,2,3,\cdots \end{array} \]

Dal teorema precedente deriva che se \(h=1\) allora \(\Delta^{n}x^{(n)}=n!\), e tutte le differenze di ordine superiore sono nulle.

Esercizio 4.2

\[ \begin{array}{l} x^{(n)} =x^{(m)} (x-mh)^{(n-m)} \ ,\quad n \gt m \end{array} \]

Nota
Molti autori utilizzano distinte notazioni per le espressioni \(x(x-h)(x-2h)\cdots (x-(n-1)h)\) e \(x(x+h) (x+2h)\cdots (x+(n-1)h)\).
Ad esempio Knuth utilizza i seguenti simboli

\[ \begin{array}{l} x^{\underline{n}} = x(x-h)(x-2h) \cdots (x-nh +h) \\ x^{\overline{n}} = x(x+h)(x+2h) \cdots (x+nh -h) \end{array} \]

Tuttavia questo non è necessario, in quanto è sufficiente una unica notazione per entrambe le espressioni:

\[ \begin{array}{l} x^{\underline{n}} = x^{(n)} = x(x-h)(x-2h) \cdots (x-h(n-1)) \\ x^{\overline{n}} = [x+ (n-1)h]^{(n) } = (x+h(n-1))(x+ h(n-2)) \cdots (x+h)x \end{array} \]

Probabilmente è preferibile evitare di introdurre nuovi simboli matematici, se non è strettamente necessario, in quanto si rischia di rendere la comprensione dei testi e delle formule più ambigua e difficoltosa.

Formula di Vandermonde
Supponiamo \(h=1\) e \(x\) intero positivo. E’ facile dimostrare le seguenti formule

\[ \begin{array}{l} (x+1)^{(n)} = x^{(n)} + nx^{(n-1)} \\ (x+2)^{(n)} = x^{(n)} + 2nx^{(n-1)}+n^{(2)}x^{(n-2)} \end{array} \]

Generalizzare le formule precedenti dimostrando la formula di Vandermonde:

\[ (x+y)^{(n)}= \sum\limits_{i=0}^{n}\binom{n}{i}y^{(i)}x^{(n-i)} \]

Esercizio 4.3
Dimostrare che la formula di Vandermonde può essere scritta nella seguente forma classica equivalente:

\[ \binom{x+y}{n}= \sum\limits_{i=0}^{n}\binom{x}{i}\binom{y}{n-i} \]

Dare una dimostrazione indipendente della formula di Vandermonde, ricordando il significato combinatorio del coefficiente binomiale. Precisamente \(\displaystyle\binom{n}{k}\) è uguale al numero delle combinazioni di \(n\) oggetti presi a gruppi di \(k\).

4.2) Rappresentazioni di polinomi ordinari e polinomi fattoriali

Un polinomio ordinario di grado \(n\) è una espressione del seguente tipo:

\[ P_{n}(x) = a_{0}x^{n}+ a_{1}x^{n-1}+ \cdots + a_{n-1}x^{1}+ a_{n} \]

dove i coefficienti \(a_{k}\) sono numeri reali, con \(a_{0} \neq 0\).
Un polinomio fattoriale di grado \(n\) è una espressione del seguente tipo:

\[ F_{n}(x) = a_{0}x^{(n)}+ a_{1}x^{(n-1)}+ \cdots + a_{n-1}x^{(1)}+ a_{n} \]

dove i coefficienti \(a_{k}\) sono numeri reali, con \(a_{0} \neq 0\).
In questo paragrafo vediamo come esprimere un polinomio ordinario mediante una combinazione di fattoriali generalizzati, e viceversa un polinomio fattoriale mediante una combinazione di potenze ordinarie.

Esercizio 4.4
Dimostrare le seguenti formule:

\[ \begin{array}{l} x^{(1)} = x \\ x^{(2)} = x^{2} – hx \\ x^{(3)} = x^{3} – 3hx^{2} +2h^{2}x \\ x^{(4)} = x^{4} – 6hx^{3} +11h^{2}x^{2} -6h^{3}x \\ \vdots \end{array} \]

Dall’esercizio precedete deriva che ogni polinomio fattoriale di grado \(n\)

\[ \begin{array}{l} a_{0}x^{(n)} + a_{1}x^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}x^{(1)} +a_{n} \end{array} \]

può essere espresso tramite un polinomio ordinario dello stesso grado.

Esercizio 4.5
Dimostrare le seguenti formule:

\[ \begin{array}{l} x = x^{(1)} \\ x^{2} = x^{(2)} + hx^{(1)} \\ x^{3} = x^{(3)} + 3hx^{(2)} +h^{2}x^{(1)} \\ x^{4} = x^{(4)} +7hx^{(3)} +6h^{2}x^{(2)} +h^{3}x^{(1)}\\ \vdots \end{array} \]

Dall’esercizio precedente deriva che ogni polinomio ordinario di grado \(n\)

\[ \begin{array}{l} a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x^{1} +a_{n} \end{array} \]

può essere espresse tramite un polinomio fattoriale dello stesso grado.

Possiamo riassumere questi risultati.

• Ogni polinomio ordinario di grado \(n\) può essere espresso mediante un polinomio fattoriale dello stesso grado, e viceversa.
• Il coefficiente della potenza di grado massimo e il termine costante rimangono invariati in queste trasformazioni.

In un paragrafo successivo approfondiremo questi concetti introducendo i numeri di Stirling.

Esercizio 4.6
Esprimere il polinomio \(p(x)=2x^{3}-x^{2}+3x -4\) mediante i fattoriali generalizzati, con \(h=1\).

Suggerimento
Provare con il polinomio \(p(x)=2x^{(3)}+ Ax^{(2)}+ Bx^{(1)} -4\) e determinare i coefficienti \(A,B\) calcolando i valori in \(x=1\) e \(x=2\).

Soluzione: \([p(x)=2 x^{(3)}+5x^{(2)}+ 4x^{(1)}-4]\).

Estensione a funzioni fattoriali generalizzate
Per ogni funzione reale di variabile reale \(y=f(x)\) possiamo definire la funzione fattoriale nel seguente modo:

\[ \begin{array}{l} f(x)^{(0)} = 1 \\ f(x)^{(n)} = f(x)f(x-h)f(x-2h)\cdots f(x-(n-1)h) \ ,\quad n=1,2,3\cdots \\ f(x)^{(-n)} = \dfrac{1}{ f(x+h)f(x+2h)\cdots f(x+ nh)} \ ,\quad n=1,2,3\cdots \\ \end{array} \]

Notiamo che \(\lim\limits_{h \to 0}f(x)^{(n)} = f(x)^{n}\).

Esempio 4.1

\[ \begin{array}{l} (ax+b)^{(1)} = (ax+b) \\ (ax+b)^{(2)} = (ax+b)(ax+b -ah) \\ (ax+b)^{(3)} = (ax+b)(ax+b -ah)(ax+b-2ah) \\ \vdots \\ (ax+b)^{(-1)} = \dfrac{1}{ax+b + ah} \\ (ax+b)^{(-2)} = \dfrac{1}{(ax+b + ah)(ax+b+2ah)} \\ (ax+b)^{(-3)} = \dfrac{1}{(ax+b + ah)(ax+b+2ah)(ax+b+3ah)} \\ \end{array} \]

5) La funzione gamma

La funzione gamma, indicata con il simbolo \(\Gamma(x)\), è definita per ogni numero reale \(x \gt 0\) dal seguente integrale definito parametrico:

\[ \begin{array}{l} \Gamma(x) = \int\limits_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt \ ,\quad x \gt 0 \end{array} \]

E’ facile verificare che \(\Gamma(1)=1\).

Esercizio 5.1
Dimostrare che l’integrale della funzione gamma converge se \(x \gt 0\), mentre è divergente se \(x \le 0\).

Esercizio 5.2 – Relazione con la funzione di Gauss
Utilizzando l’integrale di Gauss \(\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}} dx = \sqrt{\pi}\) dimostrare che

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \int\limits_{0}^{\infty}\dfrac{e^{-t}}{\sqrt{t}}dt= \sqrt{\pi} \end{array} \]

Teorema 5.1
La funzione gamma soddisfa la seguente formula ricorsiva:

\[ \begin{array}{l} \Gamma(x+1) =x \Gamma(x) \end{array} \]

Il teorema si dimostra facilmente utilizzando il metodo di integrazione per parti.
Mediante la formula ricorsiva si può estendere la funzione gamma anche a valori negativi. Ad esempio

\[ \begin{array}{l} \Gamma\left(- \frac{1}{2}\right) = \dfrac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{-\frac{1}{2}}=-2\sqrt{\pi} \end{array} \]

Risulta che la funzione gamma non ha zeri, mentre diventa infinita (ha dei poli) nei punti \(x=0,-1,-2,-3,\cdots\).
Per approfondire le proprietà della funzione gamma vedere ad esempio il testo di E. Artin^[4].

Supponiamo ora di prendere l’intervallo unitario \(h=\Delta x = 1\). Allora in base alla proprietà precedente abbiamo

\[ \begin{array}{l} \Delta \Gamma(x) = (x-1) \Gamma(x) \end{array} \]

Chiaramente se \(x\) è un intero abbiamo

\[ \begin{array}{l} \Gamma(n+1) = \int\limits_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n}dt = n! \end{array} \]

Quindi la funzione gamma è una estensione del fattoriale classico.
Il seguente teorema presenta una relazione fra la funzione fattoriale generalizzata e la funzione gamma.

Teorema 5.2
Supponiamo \(n\) intero. Allora la funzione gamma soddisfa la seguente formula:

\[ \begin{array}{l} x^{(n)} = \dfrac{h^{n}\Gamma \left(\frac{x}{h}+1\right)}{\Gamma \left( \frac{x}{h}-n +1 \right)} \end{array} \]

Mediante la formula precedente possiamo definire il simbolo \(x^{(n)}\) anche per valori non interi di \(n\).
Nel caso \(h=\Delta x = 1\) e \(x,n\) interi, allora ritroviamo la definizione precedente:

\[ \begin{array}{l} x^{(n)} = \dfrac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}=x(x-1)(x-2) \cdots (x-n+1) \end{array} \]

Esercizio 5.3
Dimostrare che anche la definizione generalizzata della funzione fattoriale soddisfa la seguente relazione:

\[ \begin{array}{l} \Delta x^{(n)} = n x^{(n-1)} h \end{array} \]

6) I coefficienti binomiali generalizzati

Nel calcolo differenziale un ruolo importante hanno le successioni \(\{f_{n}(x),\ n=1,2,\cdots\}\) di funzioni reali di una variabile reale che soddisfano la seguente proprietà:

\[ \begin{array}{l} D f_{n}(x) = f_{n-1}(x) \ ,\quad n=2,3,4, \cdots \end{array} \]

Un esempio importante è il seguente:

\[ \begin{array}{l} D \left(\dfrac{x^{n}}{n!}\right) = \dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!} \ ,\quad n=2,3,4, \cdots \end{array} \]

Nel caso discreto consideriamo le successioni \(\{f_{n}(x)\}\) di funzioni che soddisfano la relazione seguente:

\[ \begin{array}{l} \Delta f_{n}(x) = f_{n}(x+h) – f_{n}(x)= f_{n-1}(x) \ ,\quad n=2,3,\cdots \end{array} \]

Un esempio importante nel caso \(h=1\) è il seguente:

\[ \begin{array}{l} f_{n}(x) = \dfrac{x(x-1)(x-2) \cdots (x-n+1)}{n!} \end{array} \]

6.1) Estensione dei coefficienti binomiali

I coefficienti binomiali classici sono stati studiati da varie persone fin dai tempi più remoti. In particolare Pascal nel suo ‘Traité du triangle arithmétique’, pubblicato nel \(1665\), ha fatto uno studio sistematico delle proprietà di questi numeri. Una definizione dei coefficienti binomiali classici è la seguente:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \end{array} \]

I coefficienti binomiali \(\displaystyle\binom{n}{k}\) sono interi positivi, con \(0 \le k \le n\).
Il simbolo \(\displaystyle\binom{n}{k}\) rappresenta il numero delle combinazioni di n oggetti presi a gruppi di \(k\), o in modo equivalente il numero dei sottoinsiemi di ordine \(k\) di un insieme di \(n\) oggetti. Pascal fu il primo a connettere i coefficienti binomiali con i problemi relativi al calcolo delle probabilità.
Una formula importante in cui compaiono questi coefficienti è il teorema binomiale di Newton:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle (x+y)^{n} = \sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}y^{n-k} \end{array} \]

Nel paragrafo precedente abbiamo visto come mediante la funzione gamma la funzione fattoriale \(x^{(n)}\) può essere estesa a valori reali qualsiasi dell’indice superiore. Quella stessa formula può essere utilizzata per estendere i coefficienti binomiali, supponendo \(h=1\):

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \binom{x}{n} = \dfrac{x^{(n)}}{n!} = \dfrac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(x-n+1)} \end{array} \]

Questa formula estende i coefficienti binomiali ad ogni valore di \(x\), mentre \(n\) è sempre un intero.
Valgono le seguenti proprietà:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \binom{x}{k} = \dfrac{x(x-1) \cdots (x-k+1)}{k!} \ ,\quad k=1,2,3,\cdots \\ \displaystyle \binom{x}{0} = 1 \ ,\quad 0!=1 \\ \displaystyle \binom{x}{k} = 0 \quad \text{se } k \lt 0 \end{array} \]

Esercizio 6.1
Dimostrare che nel caso \(x\) positivo e \(n\) intero positivo si ha

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \binom{-x}{n} = (-1)^{n} \binom{x+n-1}{n} \end{array} \]

Esercizio 6.2

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \binom{-1}{k} = (-1)^{k} \\ \displaystyle \binom{-2}{k} = (-1)^{k}(k+1) \\ \displaystyle \binom{x+1}{k} = \binom{x}{k-1} + \binom{x}{k} \end{array} \]

L’ultima formula dell’esercizio precedente può essere scritta nel seguente modo, se \(h=1\):

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \Delta \binom{x}{n} = \binom{x+1}{n} -\binom{x}{n} = \binom{x}{n-1} \end{array} \]

Un esempio di utilizzo dei coefficienti binomiali generalizzati è il seguente famoso sviluppo in serie infinita di Newton, che generalizza il classico teorema binomiale:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle (1+x)^{\alpha} = 1 + \binom{\alpha}{1}x + \binom{\alpha}{2}x^{2} + \binom{\alpha}{3}x^{3} + \cdots \ ,\quad |x| \lt 1 \end{array} \]

Se \(\alpha\) è un intero positivo la serie è finita (è il teorema binomiale classico), altrimenti la serie è infinita. Nel caso \(\alpha = -1\) ritroviamo la serie geometrica.

Esercizio 6.3
A partire dalla formula di Newton ricavare le seguenti due serie:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{1}{1+x} = 1 – x + x^{2} – x^{3} + \cdots \ ,\quad |x| \lt 1 \\ \ln (1+x) = x – \dfrac{x^{2}}{2}+ \dfrac{x^{3}}{3} – \dfrac{x^{4}}{4}+ \cdots \ ,\quad |x| \lt 1 \end{array} \]

7) I numeri di Stirling

Stirling (1692-1770) è un matematico vissuto al tempo di Newton, che ha dato importanti contributi allo sviluppo della matematica. I risultati più significativi sono contenuti nel sul libro ‘Methodus Differentialis’, scritto in latino.

7.1) Numeri di Stirling di prima specie

In un paragrafo precedente abbiamo visto che ogni polinomio ordinario di grado \(n\) può essere espresso mediante un polinomio fattoriale dello stesso grado, e viceversa. I numeri di Stirling di prima specie con segno \(s(n,m)\) sono i coefficienti delle potenze ordinarie \(x^{m}\) nel polinomio fattoriale \(x^{(n)}\) seguente, dove si assume \(h=1\):

\[ x^{(n)}=x(x-1) \cdots (x-n+1) \]

Nel caso \(n=0\) si pone \(x^{(0)}=1\).
Quindi i numeri di Stirling di prima specie sono generati dalla seguente funzione generatrice ordinaria:

\[ x^{(n)}=\sum_{k=1}^{n}s(n,k)x^{k}=s(n,1)x + s(n,2)x^{2} + \cdots + s(n,n)x^{n} \]

Se \(n \gt 0\) abbiamo \(s(n,k)=0\) quando \(k >n\) oppure se \(k \le 0\). Per convenzione si pone \(s(0,0)=1\).

Esempio 7.1

\[ \begin{array}{l} x^{(1)} = s(1,1)x^{1} \\ x^{(2)} = s(2,1)x^{1} + s(2,2)x^{2} \\ x^{(3)} = s(3,1)x^{1} + s(3,2)x^{2} + s(3,3)x^{3} \\ \vdots \end{array} \]

Esercizio 7.1
Dimostrare le seguenti formule:

\[ \begin{array}{l} s(1,1) = 1 \\ s(n+1,n+1) = s(n,n) \\ s(n+1,1) = – ns(n,1) \\ s(n,1)= (-1)^{n-1} (n-1)! \\ s(n+1,k) = s(n,k-1) – ns(n,k) \end{array} \]

L’ultima equazione dell’esercizio precedente è una equazione alle differenze finite parziale del primo ordine. Partendo dalle condizioni iniziali è possibile calcolare successivamente i numeri di Stirling di prima specie di ogni ordine.

Tabella numeri di Stirling di prima specie

\[ \begin{array}{cccccc} \hline n/k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 1 & 1 & & & & \\ \hline 2 & -1 & 1 & & & \\ \hline 3 & 2 & -3 & 1 & & \\ \hline 4 & -6 & 11 & -6 & 1 & \\ \hline 5 & 24 & -50 & 35 &-10 & 1 \\ \hline \hline \end{array} \]

Numeri di Stirling di prima specie senza segno
I numeri \(s(n,m)\) possono essere sia positivi sia negativi, e sono anche chiamati numeri di Stirling di prima specie con segno.
E’ utile studiare anche le proprietà dei valori assoluti dei numeri \(s(n,m)\). Questi numeri vengono indicati con il simbolo \(\displaystyle{n\brack m}\) e sono chiamati numeri di Stirling di prima specie senza segno.
Il numero \(\displaystyle{n\brack m}\) ha un importante significato combinatorio: rappresenta il numero di permutazioni di \(n\) lettere con esattamente \(m\) cicli.
Dato un insieme \(X=\{1,2,3, \cdots,n\}\), ricordiamo che una permutazione è una funzione biunivoca dell’insieme in se stesso. Ovviamente il numero delle distinte permutazioni è \(n!\). Ogni permutazione può essere scritta come il prodotto di cicli distinti. Per un ripasso di questi concetti vedere articolo in questo sito.
Ad esempio \(\displaystyle{ 3 \brack 2}=3\) poiché le permutazioni con \(2\) cicli sono le seguenti: \((1)(23),(2)(13),(3)(12)\).

Esercizio 7.2
Dimostrare che \(\displaystyle{ 4 \brack 2}=11\).

Esercizio 7.3
Dimostrare la seguente relazione fra i numeri di Stirling di prima specie con segno e senza segno:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle s(n,k) = (-1)^{n-k} { n \brack k} \end{array} \]

Esercizio 7.4
Dimostrare la seguente relazione:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle s(n,k) = \dfrac{1}{k!} D^{k}x^{(n)}\bigg\rvert_{x=0} \quad \left( D = \dfrac{d}{dx}\right) \end{array} \]

Esercizio 7.5
Dimostrare la seguente relazione:

\[ \displaystyle{ n+1\brack k}= \displaystyle{ n\brack k-1} + n\displaystyle{ n\brack k} \]

Esercizio 7.6
Dimostrare la seguente formula:

\[ \ln \left(\frac{1}{1-x}\right)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)!\frac{x^{n}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty} {n \brack 1}\frac{x^{n}}{n!} \]

Suggerimento
Ricordare che vale il seguente sviluppo in serie della funzione logaritmo naturale, valido per \(-1 <x \le 1\):

\[ \ln (1+x) = x – \frac{x^{2}}{2}+ \frac{x^{3}}{3}- \cdots \]

La funzione \(\ln \left(\dfrac{1}{1-x}\right)\) è la generatrice esponenziale del numero dei cicli di lunghezza \(n\). Infatti il numero dei cicli di lunghezza \(n\) è uguale a \((n-1)!\).

Esercizio 7.7
Dimostrare che la funzione generatrice esponenziale \(G(x,k)\) dei numeri di Stirling di prima specie senza segno è

\[ G(x,k) = \frac{1}{k!} \ln^{k} \left(\frac{1}{1-x}\right) \]

Per un ripasso delle funzioni generatrici esponenziali vedere ad esempio l’articolo su questo sito.

7.2) Numeri di Stirling di seconda specie

I numeri di Stirling di seconda specie si ottengono facendo l’espansione della potenza ordinaria \(x^{n}\) mediante un polinomio composto dai fattoriali generalizzati \(x^{(k)}\), assumendo \(h=1\). Vengono indicati con il simbolo \(\displaystyle{n \brace k}\) oppure con il simbolo \(S(n,k)\):

\[ x^{n}= \sum_{k=1}^{n}{n\brace k}x^{(k)} \]

Se \(n \gt 0\) abbiamo \(S(n,k)=0\) quando \(k >n\) oppure se \(k \le 0\).

Esempio 7.2

\[ \begin{array}{l} x^{4}= x^{(1)}+ 7 x^{(2)} + 6x^{(3)} + x^{(4)} \\ x^{5}= x^{(1)} + 15x^{(2)} + 25x^{(3)} + 10x^{(4)} + x^{(5)} \end{array} \]

Esercizio 7.8
Dimostrare le seguenti formule:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle S(n,k) = {n\brace k} = \dfrac{\Delta^{k} x^{n}}{k!}\bigg\rvert_{x=0} \\ \displaystyle S(n,k) = {n\brace k} = \dfrac{(-1)^{k}}{k!}\sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}\binom{k}{j}j^{n} \end{array} \]

Esercizio 7.9
Dimostrare la seguenti formule:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle {n+1\brace 1} = {n\brace 1} = {1\brace 1} =1 \\ \displaystyle {n+1\brace n+ 1} = {n\brace n} = {1\brace 1}=1 \\ \displaystyle {n+1\brace k} = {n\brace k-1} + k{n\brace k} \\ \end{array} \]

Tabella numeri di Stirling di seconda specie

\[ \begin{array}{ccccccc} \hline n/k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline 1 & 1 & & & & & \\ \hline 2 & 1 & 1 & & & &\\ \hline 3 & 1 & 3 & 1 & & & \\ \hline 4 & 1 & 7 & 6 & 1 & & \\ \hline 5 & 1 & 15 & 25 & 10 & 1 \\ \hline 6 & 1 & 31 & 90 & 65 & 15 & 1 \\ \hline \hline \end{array} \]

Significato combinatorio dei numeri di Stirling di seconda specie
Vale il seguente teorema:

Teorema 7.1
Il numero di Stirling \(\displaystyle{n \brace k}\) rappresenta il numero di partizioni dell’insieme \(\{1,2, \cdots,n\}\) in \(k\) sottoinsiemi disgiunti non vuoti.

Esercizio 7.10
Calcolare il numero di Stirling \(\displaystyle{4 \brace 2}\) mediante la definizione e mediante il teorema precedente.

Soluzione
Dall’esempio 7.2 già sappiamo che il valore è uguale a \(7\). Tuttavia calcoliamolo nuovamente in base al suo significato combinatorio. Le partizioni dell’insieme \(\{a,b,c,d\}\) in sottoinsiemi disgiunti non vuoti sono le seguenti:

\[ \begin{array}{l} (\{a, b, c\}, \{d\}), (\{a, b, d\}, \{c\}), (\{a, c, d\}, \{b\}), (\{b, c, d\}, \{a\}),\\ (\{a, b\}, \{c, d\}), (\{a, c\}, \{b, d\}), (\{a, d\}, \{b, c\}) \end{array} \]

Quindi come previsto \(\displaystyle{4 \brace 2}=7\).

Esercizio 7.11
Dimostrare che la funzione generatrice esponenziale dei numeri di Stirling di seconda specie è la seguente:

\[ F(x,r)=\sum_{n=0}^{\infty}{n \brace r}\frac{x^{n}}{n!}=\frac{1}{r!}(e^{x}-1)^{r} \]

8) Interpolazione con le differenze finite

Sia \(f(x)\) una funzione reale di variabile reale definita in un intervallo \([a,b]\) e siano dati \(n+1\) punti \(\{x_{k},\ k=0,1,\cdots,n\}\) contenuti nell’intervallo \([a,b]\). Il polinomio interpolatore della funzione \(f(x)\) nell’intervallo è un polinomio \(p(x)\) di grado \(n\) tale che

\[ \begin{array}{l} p(x) = a_{0}x^{n}+ a_{1}x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_{n} \\ p(x_{k}) = f(x_{k}) \ ,\quad k = 0,1,\cdots, n \end{array} \]

Si può dimostrare che esiste un unico polinomio interpolatore di grado \(n\) che interpola la funzione \(y=f(x)\) negli \(n+1\) punti. L’interpolazione polinomiale è utilizzata per stimare i valori di una funzione \(y=f(x)\) in punti compresi nell’intervallo \([a,b]\), diversi dai punti \(\{x_{k},\ k=0,1,\cdots\}\) nei quali il valore della funzione è noto.
In altri termini, conoscendo le coordinate dei punti del piano \(\{(x_{0},y_{0}), (x_{1},y_{1}), \cdots,(x_{n},y_{n})\}\), si calcola il valore della funzione \(y=f(x)\) in un altro punto \(x\) del dominio della funzione.

8.1) La formula di Gregory-Newton in avanti

Come sappiamo lo sviluppo di Taylor consiste nell’approssimare una funzione come somma di infiniti termini, con esponenti crescenti, di una variabile \(x\); in altri termini si utilizza come base l’insieme delle potenze \(\{1,x,x^{2},x^{3},\cdots \}\).
Sia data una funzione \(f(x)\) definita in un intervallo reale \((a,b)\). Supponiamo che esistano e siano continue le derivate \(\{f^{(1)},f^{(2)}, \cdots,f^{(n)}\}\) nell’intervallo aperto \(a \lt x \lt b\). Allora per \( x_{0} \in (a,b)\) vale il seguente sviluppo polinomiale, chiamato polinomio di Taylor:

\[ \begin{array}{l} f(x)= f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0}) + \dfrac{f^{(2)}(x_{0})(x-x_{0})^{2}}{2!} + \cdots \\ + \dfrac{f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}}{n!} + R_{n} \end{array} \]

dove \(R_{n}\), il resto di Lagrange, è

\[ \begin{array}{l} R_{n}(x)= \dfrac{f^{(n+1)}(\theta)(x-x_{0})^{n+1}}{(n+1)!} \ ,\quad x_{0} \lt \theta \lt x \end{array} \]

Se esistono le derivate di tutti gli ordini, e il resto \(R_{n}(x) \to 0\) per ogni \(x \in (a,b)\), allora nell’intervallo la funzione può essere rappresentata mediante la serie di Taylor:

\[ \begin{array}{l} f(x)= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}}{n!} \end{array} \]

Ad esempio per la funzione esponenziale, sviluppata nel punto \(x_{0}=0\), abbiamo

\[ e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+ \cdots \]

E’ facile dimostrare che il resto di Lagrange tende a zero per ogni \(x \in (-\infty,+\infty)\).

Una formula analoga a quella di Taylor esiste nel calcolo delle differenze finite. Questa formula è chiamata formula di Gregory-Newton in avanti. Sia \(f(x)\) una funzione reale di variabile reale definita in un intervallo \([a,b]\) e siano dati \(n+1\) punti \(\{x_{k},\ k=0,1,\cdots,n\}\) contenuti nell’intervallo \([a,b]\). Supponiamo che la distanza \(h=\Delta x\) fra i punti sia costante. La formula di Grergory-Newton può essere scritta nel seguente modo:

\[ \begin{array}{l} f(x) = f(x_{0}) + \dfrac{\Delta f(x_{0})}{h} \dfrac{(x-x_{0})^{(1)}}{1!}+ \dfrac{\Delta^{2} f(x_{0})}{h^{2}} \dfrac{(x-x_{0})^{(2)}}{2!}+ \cdots \\ + \dfrac{\Delta^{n} f(x_{0})}{h^{n}} \dfrac{(x-x_{0})^{(n)}}{n!}+ R_{n} \end{array} \]

con la seguente formula del resto:

\[ \begin{array}{l} R_{n} = \dfrac{f^{n+1}(\theta) (x-x_{0})^{(n+1)}}{(n+1)!} \ ,\quad x_{0} \lt \theta \lt x \end{array} \]

Naturalmente, come per la serie di Taylor, si deve studiare l’intervallo di convergenza della serie, cioè per quali valori di \(x\) si ha \(\lim\limits_{n \to \infty}R_{n}=0\).

Esercizio 8.1
Dimostrare che, nella formula di Gregory-Newton, se la funzione \(f(x)\) è un polinomio di grado \(n\), allora \(R_{n}(x)=0\) per ogni valore di \(x\).

Un modo alternativo di scrivere la formula di Gregory-Newton in avanti è il seguente. Poniamo \(x = x_{0}+kh\) e \(y_{k}=f(x_{k}),\ k=0,1,\cdots,n\). Allora la formula diventa

\[ \begin{array}{l} y_{k} = y_{0} + \Delta y_{0} \dfrac{k^{(1)}}{1!}+ + \Delta^{2} y_{0} \dfrac{k^{(2)}}{2!}+ \cdots + \Delta^{n} y_{0} \dfrac{k^{(n)}}{n!}+ R_{n} \end{array} \]

dove

\[ \begin{array}{l} R_{n} = \dfrac{h^{n+1}f^{n+1}(\theta) k^{(n+1)}}{(n+1)!} \ ,\quad x_{0} \le \theta \le x_{0}+kh \end{array} \]

La formula di Gregory-Newton può essere scritta utilizzano i coefficienti binomiali:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle y_{k}=y_{0} + \sum\limits_{i=1}^{n}\binom{k}{i} \Delta^{i}y_{0}+ R_{n} \end{array} \]

dove \(\displaystyle\binom{k}{i}= \dfrac{k^{(i)}}{i!}= \dfrac{k(k-1) \cdots(k-i+1)}{i!}\).

Esempio 8.1
Consideriamo la funzione \(y=\sqrt{x}\) nell’intervallo \([1,00 \le x \le 1,04]\). Prepariamo la tabella delle differenze in avanti, dove per semplicità le differenze del primo ordine sono moltiplicate per \(10^4\):

\[ \begin{array}{|l|l|l|l|l|l|} \hline \text{x} & y = \sqrt{x} & \Delta y & \Delta^{2} y &\Delta^{3} y &\Delta^{4}y \\ \hline 1,00 & 1,0000 \\ & & 50 \\ 1,01 & 1,0050 & & 0\\ & & 50 & & -1\\ 1,02 & 1,0100 & & -1 & & 2\\ & & 49 & & 1\\ 1,03 & 1,0149 & & 0\\ & & 49 \\ 1,04 & 1,0198 \\ \hline \end{array} \]

Supponiamo di voler calcolare il valore della funzione in un punto \(x\) compreso nell’intervallo di definizione, ad esempio x=1,015. Abbiamo \(k = \dfrac{1,015-1,000}{0,01}=1,5\). Utilizziamo la formula di Newton in avanti:

\[ \begin{array}{l} y_{k}=1,000 + k \cdot 0,005 + \cdots \end{array} \]

E’ utile fare delle prove utilizzano valori diversi da \(n\), a partire da \(n=1\).

Esercizio 8.2
Trovare un polinomio di grado \(4\) che assume questi valori:

\[ \begin{array}{|l|l|l|l|l|l|} \hline x_{k} & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ \hline y_{k} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{array} \]

Soluzione: \(\left[\dfrac{(x-2)(x-4)}{64}\right]\Big[8-4(x-6)+ (x-6)(x-8)\Big]\)

8.2) Formula di Gregory-Newton all’indietro

La formula di Gregory-newton all’indietro può essere scritta nel modo seguente:

\[ \begin{array}{l} y_{k}=y_{n} + \nabla y_{n}\dfrac{k^{(1)}}{1!} +\nabla^{2}y_{n}\dfrac{(k+1)^{(2)}}{2!} + \nabla^{3}y_{n}\dfrac{(k+2)^{(3)}}{3!} + \cdots \\ + \dfrac{(k+n-1)^{(n)}}{n!} \nabla^{n} y_{n} + R_{n} \end{array} \]

Differenza fra le formule di Gregory-Newton in avanti e all’indietro
La formula in avanti è utilizzata per interpolare i valori della funzione \(y=f(x)\) quando l’argomento \(x\) si trova nella parte iniziale dell’insieme dei punti \(\{x_{0},x_{1}, \cdots,x_{n}\}\). La formula all’indietro invece è utilizzata per calcolare il valore di \(y=f(x)\) quando l’argomento \(x\) si trova vicino alla parte finale dell’insieme dei punti.

Applicazioni della formula di Gregory-Newton
La formula di Gregory-Newton trova applicazione in molti campi, nei quali si deve calcolare il valore approssimato di una funzione, della quale si conoscono soltanto alcuni valori. Tra questi ricordiamo:

• analisi numerica: in particolare per approssimare I valori della derivata o dell’integrale definito di una funzione, a partire dal polinomio interpolatore;
• analisi dei dati: per stimare valori di una funzione a partire da un campione finito di dati;
• grafici di curve: per completare il grafico di una funzione a partire dalla conoscenza di un insieme di punti del piano;
• grafica con il computer e videogiochi;
• ricostruzione di segnali.

Esistono altre formule di interpolazione simili a quella di Gregory-Newton, anche se sono poco utilizzate. Tra queste ricordiamo le formule di Gauss, Bessel e Stirling.

9) Approssimazione delle derivate

La derivata misura la velocità di cambiamento di una funzione rispetto alla variazione di una delle sue variabili indipendenti. In termini geometrici la derivata di una funzione \(y=f(x)\) in un punto \(x\) coincide con la tangente trigonometrica della retta tangente nel punto. Il calcolo delle derivata ha una importanza fondamentale in molti settori della scienza e della tecnologia: è uno strumento fondamentale per analizzare e progettare sistemi complessi, che sono modellizzati tramite equazioni differenziali. Purtroppo, tranne nei casi più semplici, non è possibile determinare l’espressione analitica esatta della derivata ma si deve ricorrere a delle approssimazioni.
Utilizzare un polinomio di interpolazione \(p(x)\) per approssimare la derivata di una funzione \(y=f(x)\) in genere non garantisce dei risultati accettabili. Il problema fondamentale è che la differenza \(f(x) – p(x)\) può essere molto piccola e tuttavia la differenza delle derivate \(f'(x) – p'(x)\) può essere grande. In termini geometrici due curve possono avere valori vicini tra loro ma le loro tangenti possono avere direzioni molto diverse.
Lo strumento fondamentale per calcolare la derivata di una funzione \(f(x)\) è la serie di Taylor:

\[ \begin{array}{l} f(x + \Delta x)= f(x) + f^{(1)}(x)\Delta x + f^{(2)}(x)\dfrac{(\Delta x)^{2}}{2!} + \cdots + f^{(n)}(x)\dfrac{(\Delta x)^{n}}{n!} + R_{n} \end{array} \]

Ad esempio per \(n=1,2\) abbiamo:

\[ \begin{array}{l} f(x + \Delta x)= f(x) + f^{(1)}(x)\Delta x + f^{(2)}(\theta)\dfrac{(\Delta x)^{2}}{2!} \ ,\quad x \le \theta \le x + \Delta x \\ f(x + \Delta x)= f(x) + f^{(1)}(x)\Delta x + f^{(2)}(x)\dfrac{(\Delta x)^{2}}{2!} + f^{(3)}(\theta)\dfrac{(\Delta x)^{3}}{3!} \ ,\quad x \le \theta \le x + \Delta x \end{array} \]

Le formule di approssimazione della derivata si ottengono troncando la serie di Taylor a partire dai termini di un dato grado. Per ottenere le formule di approssimazione conviene fare un riarrangiamento dei termini:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{f(x +\Delta x) -f(x)}{\Delta x} – f^{(1)}(x) =f^{(2)}(x) \dfrac{(\Delta x)^{1}}{2!} +f^{(3)}(x)\dfrac{(\Delta x)^{2}}{3!} + \cdots \end{array} \]

9.1) Approssimazione delle derivate prime

Formula con le differenze in avanti (Eulero)
La formula di Eulero in avanti corrisponde a troncare la serie di Taylor a partire dai termini di secondo grado:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{f(x + \Delta x)- f(x)}{\Delta x} = f^{(1)}(x) + f^{(2)}(\theta)\dfrac{\Delta x}{2!} \ ,\quad x \le \theta \le x + \Delta x \end{array} \]

e quindi la formula di approssimazione:

\[ \begin{array}{l} f^{(1)}(x) = \dfrac{f(x+ \Delta x )- f(x)}{\Delta x} + O(\Delta x) \end{array} \]

dove il simbolo \(O(\Delta x)\) è il simbolo di Landau (vedi articolo su questo sito), che indica un errore lineare dell’ordine della grandezza \(\Delta x\).

Formula con le differenze all’indietro
Ragionando in modo simile otteniamo la seguente formula con le differenze finite all’indietro:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{f(x )- f(x – \Delta x)}{\Delta x} = f^{(1)}(x) – f^{(2)}(\theta)\dfrac{\Delta x}{2!} \ ,\quad x- \Delta x \le \theta \le x \end{array} \]

e quindi la formula di approssimazione lineare:

\[ \begin{array}{l} f^{(1)}(x) = \dfrac{f(x) -f(x- \Delta x )}{\Delta x} + O(\Delta x) \end{array} \]

Formula alle differenze centrate
Mettendo insieme formule diverse della serie di Taylor possiamo ottenere approssimazioni di vario ordine della derivata. Ad esempio sottraendo le due espressioni precedenti abbiamo

\[ \begin{array}{l} \dfrac{f(x + \Delta x )- f(x – \Delta x)}{2\Delta x} = f^{(1)}(x) + \Big[f^{(3)}(\theta_{1} + f^{(3)}(\theta_{2})\Big]\dfrac{(\Delta x)^{2}}{12} \quad \end{array} \]

e quindi

\[ \begin{array}{l} f^{(1)}(x) = \dfrac{f(x+\Delta x) -f(x-\Delta x))}{2\Delta x} + O((\Delta x)^{2}) \end{array} \]

dove \(x \le \theta_{1}\le x + \Delta x\) e \(x- \Delta x \le \theta_{2} \le x\). L’errore è proporzionale a \((\Delta x)^{2}\), cioè è del secondo ordine.

Dal punto di vista geometrico le tre approssimazioni sono illustrate nella figura seguente:

Come si vede dalla figura la formula con le differenze centrate è quella che approssima meglio la direzione della vera tangente nel punto \(x_{0}\).
In generale è conveniente utilizzare la formula di Eulero in avanti nei punti iniziali, quella all’indietro nei punti finali e quella alle differenze centrate nei punti centrali.

9.2) Approssimazione delle derivate seconde

Con procedure simili possiamo ottenere approssimazioni delle derivate di ordine maggiore di uno. Ad esempio utilizzando la formula di Taylor abbiamo questa approssimazione del secondo ordine:

\[ \begin{array}{l} f^{(2)}(x) = \dfrac{f(x+ \Delta x) -2f(x)+ f(x- \Delta x)}{(\Delta x)^{2}} + O((\Delta x)^{2}) \end{array} \]

Formule più complesse possono essere ricavate utilizzano un numero maggiore di termini. Ad esempio questa approssimazione del secondo ordine:

\[ \begin{array}{l} f^{(2)}(x) = \dfrac{2f(x) -5f(x+ \Delta x) +4f(x+ 2\Delta x)- f(x + 3\Delta x)}{(\Delta x)^{2}} \end{array} \]

Per approfondire vedere un testo di analisi numerica, ad esempio il testo ^[6].

10) Interpolazione nel caso di argomenti con spaziatura non costante

Nei paragrafi precedenti abbiamo studiato esempi di polinomi interpolatori di funzioni, delle quali si conoscono dei valori in corrispondenza di punti \(x_{k}\) spaziati a distanza \(h=\Delta x\) costante. In questo paragrafo studiamo il problema generale di determinare un polinomio interpolatore di una funzione, nel caso che i punti non siano necessariamente ugualmente spaziati fra loro.
Sia \(y=f(x)\) una funzione reale di variabile reale definita in un intervallo \([a,b]\). Consideriamo i valori della funzione negli \(n+1\) punti \(\{x_{0},x_{1},\cdots,x_{n}\}\) contenuti nell’intervallo, senza che siano necessariamente distanziati in modo uniforme tra loro. Vogliamo determinare un polinomio \(P_{n}(x)\) di grado \(n\)

\[ \begin{array}{l} P_{n}(x) = \sum\limits_{}{} c_{k}(x)y_{k} \end{array} \]

tale che

\[ \begin{array}{l} P_{n}(x_{k}) = f(x_{k}) = y_{k} \ ,\quad k = 0,1,2,\cdots,n \end{array} \]

dove \(\{c_{k}(x),k=0,1,\cdots,n\}\) sono dei coefficienti da determinare.
Vediamo alcuni metodi per determinare il polinomio \(P_{n}(x)\).

10.1) Il polinomio interpolatore di Lagrange

Un polinomio \(P_{n}(x)\) che soddisfa le condizioni sopra elencate è dato dalla seguente Formula di interpolazione di Lagrange:

\[ \begin{array}{l} P_{n}(x) = \sum\limits_{}{} L_{k}(x)y_{k} \ ,\quad y_{k}=f(x_{k}) \end{array} \]

dove

\[ \begin{array}{l} L_{k}(x) = \dfrac{(x-x_{0})(x-x_{1}) \cdots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots (x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{1}) \cdots (x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})\cdots (x_{k}-x_{n})} \end{array} \]

Notiamo che si tratta di un polinomio di grado \(n\) come richiesto. Naturalmente la formula vale anche se i punti \(x_{k}\) sono ugualmente distanziati fra loro.

Esercizio 10.1
Dimostrare che

\[ \begin{array}{l} L_{k}(x_{k}) = 1 \ ,\quad k=0,1,\cdots, n \\ L_{k}(x_{i})=0 \ ,\quad \text{se } k \neq i \\ P_{n}(x_{k})= y_{k} \ ,\quad k=0,1,\cdots,n \end{array} \]

Per rappresentare in modo compatto la formula di Lagrange definiamo le seguenti funzioni:

\[ \begin{array}{l} \pi(x) = \prod\limits_{k=0}^{n}(x-x_{k}) \\ F_{k}(x) = \prod\limits_{i \neq k}{}(x-x_{i}) \\ \end{array} \]

E’ facile verificare la seguente formula:

\[ \begin{array}{l} L_{k}(x) = \dfrac{F_{k}(x)}{F_{k}(x_{k})} \end{array} \]

Esercizio 10.2
Dimostrare la seguente formula:

\[ \begin{array}{l} L_{k}(x) = \dfrac{\pi(x)}{(x-x_{k})\pi'(x_{k})} \end{array} \]

Esercizio 10.3
Determinare il polinomio di Lagrangde di grado \(3\) che assume i seguenti valori: \(\{f(0)=1,f(1)=1,f(2)=2,f(4)=5\}\).

Soluzione: \(\left[P_{3}(x)= \dfrac{1}{12}(-x^{3}+9x^{2}-8x+12)\right]\).

10.2) Metodo delle differenze divise di Newton

Un altro metodo importante proposto da Newton utilizza il concetto di differenze divise, così definite:

\[ \begin{array}{l} f[x_{k}]=f(x_{k}) \ ,\quad k=0,1,\cdots,n \\ f[x_{0},x_{1}] = \dfrac{f[x_{1}] – f[x_{0}]}{x_{1}-x_{0}} \\ f[x_{0},x_{1},x_{2}] = \dfrac{f[x_{1},x_{2}] -f[x_{0},x_{1}]}{x_{2}-x_{0}} \\ f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}] = \dfrac{f[x_{1},x_{2},x_{3}] -f[x_{0},x_{1},x_{2}]}{x_{3}-x_{0}} \\ \vdots \\ f[x_{0},x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}] = \dfrac{f[x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}] -f[x_{0},x_{1},x_{2},\cdots,x_{n-1}]}{x_{n}-x_{0}} \\ \end{array} \]

E’ comodo rappresentare i valori della funzione e le varie differenze divise in una tabella. Ad esempio nel caso di \(5\) argomenti \(\{x_{0},x_{1},\cdots,x_{4}\}\) abbiamo:

Tabella delle differenze divise

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{x} & \text{y=f(x)} & \text{I} & \text{II} & \text{III} & \text{IV} \\ \hline x_0 & f(x_0) \\ & & f[x_{0},x_{1}] \\ x_1 & f(x_1) & & f[x_{0},x_{1},x_{2}]\\ & & f[x_{1},x_{2}] & & f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]\\ x_2 & f(x_2) & & f[x_{1},x_{2},x_{3}] & & f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]\\ & & f[x_{2},x_{3}] & & f[x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]\\ x_3 & f(x_3) & & f[x_{2},x_{3},x_{4}]\\ & & f[x_{3},x_{4}] \\ x_4 & f(x_4) \\ \hline \end{array} \]

Esercizio 10.4
Sia data la funzione \(y=x^{3}\). Dimostrare le seguenti formule:

\[ \begin{array}{l} f[x_{0},x_{1}] = x_{1}^{2} + x_{0}x_{1}+ x_{0}^{2} \\ f[x_{0},x_{1},x_{2}] = x_{0} + x_{1}+ x_{2} \\ f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}] = 1 \\\end{array} \]

Le differenze di ordine superiore sono uguali a zero.
Vediamo alcune proprietà delle differenze divise.

Esercizio 10.5
Dimostrare che le differenze divise sono simmetriche, cioè il valore non cambia per qualunque permutazione degli argomenti. Ad esempio

\[ \begin{array}{l} f[x_{0},x_{1}] = f[x_{1},x_{0}] \\ f[x_{0},x_{1},x_{2}] = f[x_{1},x_{2},x_{0}]=f[x_{2},x_{0},x_{1}]= \cdots\\ \end{array} \]

Esercizio 10.6
Dimostrare la seguente formula:

\[ \begin{array}{l} f[x_{0},x_{1},x_{2}] = \dfrac{f(x_{0})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})} + \\ \dfrac{f(x_{1})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})} + \dfrac{f(x_{2})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})} \end{array} \]

Ogni permutazione degli argomenti \(x_{k}\) può essere ottenuta mediante successivi scambi di coppie di argomenti. Dalla formula precedente segue chiaramente che le differenze divise sono simmetriche.
L’esercizio precedente è un caso particolare del seguente.

Teorema 10.1 – Teorema di rappresentazione
Dimostrare che per ogni intero positivo \(n\) si ha

\[ \begin{array}{l} f[x_{0},x_{1}, \cdots,x_{n}] = \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{f(x_{k})}{F_{k}(x_{k})} \end{array} \]

dove

\[ \begin{array}{l} F_{k}(x) = \prod_{i \neq k}{}(x-x_{i}) \end{array} \]

Il teorema può essere dimostrato mediante il metodo di induzione matematica.

Il polinomio interpolatore di Newton delle differenze divise
Dalla tabella delle differenze divise possiamo ottenere il polinomio interpolatore di Newton:

\[ \begin{array}{l} P_{n}(x) = f[x_{0}] + (x-x_{0}) f[x_{0},x_{1}] + \\ (x-x_{0})(x-x_{1}) f[x_{0},x_{1},x_{2}] + \cdots + \\ (x-x_{0})(x-x_{1})\cdots(x-x_{n-1}) f[x_{0},x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}] \end{array} \]

Come è noto il polinomio interpolatore è unico. Quindi la formula di Newton rappresenta lo stesso polinomio della formula di Lagrange, con i termini arrangiati in un ordine diverso.

La formula di Newton delle differenze divise
Possiamo utilizzare il polinomio di Newton delle differenze divise per approssimare una funzione \(y=f(x)\). Dalla definizione otteniamo facilmente le seguenti formule:

\[ \begin{array}{l} f[x] = f[x_{0}] + (x-x_{0}) f[x,x_{0}] \\ f[x,x_{0}] = f[x_{0},x_{1}] + (x-x_{1}) f[x,x_{0},x_{1}] \\ f[x,x_{0},x_{1}] = f[x_{0},x_{1},x_{2}] + (x-x_{2}) f[x,x_{0},x_{1},x_{2}] \\ \vdots \end{array} \]

Da questi risultati segue la formula di Newton:

\[ \begin{array}{l} f[x] = f[x_{0}] + (x-x_{0}) f[x_{0},x_{1}] + (x-x_{0})(x-x_{1}) f[x_{0},x_{1},x_{2}] + \cdots + \\ (x-x_{0})(x-x_{1})\cdots(x-x_{n-1}) f[x_{0},x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}] + R(x) \\ R(x) = f[x,x_{0},x_{1},\cdots,x_{n}] \cdot\prod\limits_{k=0}^{n}(x-x_{k}) \end{array} \]

Si può dimostrare che per il resto \(R(x)\) vale la seguente formula:

\[ \begin{array}{l} R(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(\theta)}{(n+1)!}\prod\limits_{k=0}^{n}(x-x_{k}) \end{array} \]

dove \(\theta\) è compreso nell’intervallo fra il minimo e il massimo valore dei numeri \(x,x_{0}, \cdots,x_{n}\).

Esercizio 10.7
Sia data la seguente tabella delle differenze divise:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{x} & \text{y=f(x)} & \text{I} & \text{II} & \text{III} \\ \hline 0 & 1 \\ & & 0 \\ 1 & 1 & & 1/2\\ & & 1 & & -1/12 \\ 2 & 2 & & 1/6\\ & & 3/2 \\ 4 & 5 \\ \hline \end{array} \]

Calcolare il polinomio interpolatore di Newton delle differenze divise e il polinomio interpolatore di Lagrange. Verificare che si tratta dello stesso polinomio.
Soluzione: \( P_{3}(x)=\frac{1}{12}(-x^{3}+9x^{2}-8x+12)\).

11.3) Il determinante di Vandermonde

Consideriamo la seguente matrice di Vandermonde:

\[ V(x_{0},x_{1}, \cdots,x_{n}) = \begin{pmatrix} 1 & x_{0} & x_{0}^{2} &\cdots & x_{0}^{n} \\ 1 & x_{1} & x_{1}^{2} &\cdots & x_{1}^{n} \\ \vdots \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} &\cdots & x_{n}^{n} \end{pmatrix} \]

Calcoliamo il determinante in alcuni casi particolari.

\[ det \begin{pmatrix} 1 & x_{0} \\ 1 & x_{1} \\ \end{pmatrix} = x_{1}- x_{0} \\ \] \[ det \begin{pmatrix} 1 & x_{0} & x_{0}^{2} \\ 1 & x_{1} & x_{1}^{2} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} \\ \end{pmatrix} = (x_{1}- x_{0})(x_{2}-x_{0}) (x_{2}-x_{1}) \]

In generale vale il seguente teorema:

Teorema 10.2

\[ det \begin{pmatrix} 1 & x_{0} & x_{0}^{2} &\cdots & x_{0}^{n} \\ 1 & x_{1} & x_{1}^{2} &\cdots & x_{1}^{n} \\ \vdots \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} &\cdots & x_{n}^{n} \end{pmatrix} = \prod\limits_{0 \le i \lt k \le n}{}(x_{k}-x_{i}) \]

Il polinomio interpolatore può essere ottenuto mediante il determinante di Vandermonde. Vale infatti il seguente:

Teorema 10.3
La seguente equazione rappresentata con il determinante:

\[ det \begin{pmatrix} P(x) &1 & x & x^{2} &\cdots & x^{n} \\ y_{0} &1 & x_{0} & x_{0}^{2} &\cdots & x_{0}^{n} \\ y_{1} & 1 & x_{1} & x_{1}^{2} &\cdots & x_{1}^{n} \\ \vdots \\ y_{n} &1 & x_{n} & x_{n}^{2} &\cdots & x_{n}^{n} \end{pmatrix} = 0 \]

fornisce il polinomio interpolatore di grado \(n\).

Dimostrazione
Calcolare i determinante a partire dagli elementi della prima riga. Si ottiene un polinomio \(P(x)\) di grado \(n\). Sostituendo \(x=x_{k}\) e \(P(x)=y_{k}\) il determinante vale zero in quanto si hanno due righe uguali. Quindi \(P(x)\) è il polinomio interpolatore di grado \(n\).

Esempio 10.1
Siano dati i seguenti tre punti \(A=(-2,-27),B=(0,-1),C=(1,0)\). Determinare un polinomio di secondo grado che interpola questo tre punti.

Suggerimento
Dobbiamo trovare un polinomio \(P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\) tale che \(P(x_{k})=y_{k},\ k=0,1,2\). Questo equivale a risolvere il seguente sistema lineare:

\[ \begin{pmatrix} 1 & x_{0} & x_{0}^{2} \\ 1 & x_{1} & x_{1}^{2} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{0} \\ y_{1} \\ y_{2} \end{pmatrix} \]

Sostituire le coordinate dei tre punti \((x_{k},y_{k}),\ k=0,1,2\) e risolvere il sistema.
Soluzione: \([P(x)= -1 + 5x – 4x^{2}]\)

Nota
L’interpolazione con la matrice di Vandermonde è poco usata in pratica, in quanto nel caso di un numero grande di argomenti richiede di risolvere un sistema di equazioni complesso. L’algoritmo diventa numericamente instabile a causa degli errori di arrotondamento. Inoltre questo metodo ha il difetto che se si aggiunge anche un solo punto si deve ripartire dall’inizio per risolvere il problema.

Conclusione

Il calcolo delle differenze finite è uno strumento fondamentale per studiare ed analizzare dati discreti. E’ utilizzato in molti settori della scienza scienza e della tecnologia, e anche nelle scienze sociali ed economiche.
Nel calcolo differenziale e integrale classico accanto all’operazione di derivazione esiste l’operazione inversa di integrazione indefinita. L’integrale indefinito di una funzione \(f(x)\) è una funzione \(F(x)\) la cui derivata è uguale alla funzione \(f(x)\) stessa. Grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale, l’integrale indefinito permette di calcolare l’integrale definito fra due estremi di un intervallo. In simboli abbiamo le seguenti formule:

\[ \begin{array}{l} \int\limits_{}{}f(x) dx = F(x) + c \iff F'(x) = f(x) \\ \int\limits_{a}^{b}f(x) dx = F(b) – F(a) \end{array} \]

Anche nel calcolo delle differenze finite esiste l’operatore inverso della differenza finita, chiamato somma indefinita, indicata con il simbolo di sommatoria \(\Sigma\). La somma indefinita di una funzione \(f(x)\) è una funzione \(F(x)\) tale che \(\Delta F(x)=hf(x)\). Grazie ad un teorema analogo al teorema fondamentale del calcolo integrale classico, la somma indefinita permette di calcolare la somma definita (chiamata anche integrale discreto) fra due estremi. In simboli abbiamo le seguenti formule:

\[ \begin{array}{l} \sum_{}{}f(x) + C(x) = \dfrac{F(x)}{h} \iff \Delta F(x) =hf(x) \\ \sum\limits_{x=a}^{a+(n-1)h}f(x) = \dfrac{F(a+nh) – F(a)}{h} \end{array} \]

dove \(h= \Delta x\) è l’intervallo costante di separazione dei punti \(\{x_{0}=a, x_{1}=a+h, x_{2}=a+2h,\cdots,\}\), nei quali viene calcolata la funzione \(f(x)\). Inoltre \(C(x)\) è una arbitraria funzione periodica costante di periodo uguale ad \(h\), cioè \(C(x+h)=C(x)\).
In una articolo successivo studieremo l’operatore somma indefinita e l’integrazione discreta, mostrando analogie e differenze rispetto al calcolo differenziale e integrale classico.

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Bibliografia

^[1]G. Boole – A Treatise on the Calculus of Finite Differences (Dover)

^[2]M. Spiegel – Schaum’s Outline of Calculus of Finite Differences and Difference Equations (McGraw-Hill)

^[3]S. Goldberg – Introduction to Difference Equations (Dover)

^[4]E. Artin – The Gamma Function (Dover)

^[5]Knuth, Graham, Patashnik – Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (Addison-Wesley Professional)

^[6]S. C. Chapra – Applied Numerical Methods with Matlab (McGraw-Hill)