Il principio dei cassetti viene attribuito al matematico tedesco Dirichlet (1805-1859). Viene anche chiamato principio di Dirichlet o principio della piccionaia (pigeonhole principle). In questo articolo viene illustrato il principio di Dirichlet e viene fatta una breve introduzione alla teoria di Ramsey, con alcuni esempi di calcolo dei numeri di Leggi tutto…
Problema Supponiamo di utilizzare solo le cifre dell’insieme \(A= \{1,2,3,4,5\} \). Quanti numeri di \(n\) cifre dell’insieme \(A\) possono essere formati, se le cifre adiacenti differiscono esattamente di 1? Indichiamo il numero cercato con \(a(n)\). SuggerimentoSe \(n=1\) abbiamo gli interi \({1,2,3,4,5}\).Se \(n=2\) abbiamo gli interi \({12,21,23,32,34,43,45,54}\).All’aumentare del numero delle cifre Leggi tutto…
In questo articolo vengono illustrate le proprietà delle funzioni di Eulero e di Möbius, che hanno grande importanza nella Teoria dei Numeri. Come applicazione viene descritto l’algoritmo RSA per la crittografia a chiave pubblica. 1) Funzioni aritmetiche Una funzione aritmetica è una funzione a valori reali o complessi definita per Leggi tutto…
La geometria euclidea studia gli oggetti geometrici come le rette, i triangoli, i rettangoli, i cerchi, ecc. Anche i frattali sono oggetti geometrici; tuttavia hanno proprietà specifiche che li distinguono, e non possono essere classificati come oggetti della geometria classica. Nonostante Mandelbrot (1924-2010) venga considerato in generale il padre della Leggi tutto…
In questo articolo vengono proposti alcuni problemi di natura combinatoria relativi alla scacchiera e al gioco degli scacchi, che tuttavia hanno un ambito di applicazione anche in altri settori della matematica. Esercizio 1 Numeriamo la scacchiera \(8 \times 8\) con i numeri da 1 a 64. Disporre 8 torri sulla Leggi tutto…
Il principio di inclusione-esclusione è un risultato importante del calcolo combinatorio che trova applicazioni in vari campi, dalla teoria dei numeri, al calcolo delle probabilità, alla teoria della misura. In questo breve articolo vengono esposte diverse formulazioni del principio, seguite da alcune applicazioni ed esercizi.Per un approfondimento vedere ad esempio Leggi tutto…
Problema 1 Sia dato un reticolo quadrato di dimensioni \(n \times n\).Calcolare il numero \(R\) di rettangoli differenti, con i vertici nei punti del reticolo, che possono essere disegnati.Due rettangoli sono considerati diversi se hanno dimensioni diverse o sono in posizioni diverse. Problema 2 Sia dato un reticolo quadrato di Leggi tutto…
Problema 1 Calcolare il massimo numero di parti nelle quali un piano può essere diviso da \(n\) rette. Questo problema è equivalente al problema del massimo numero di parti di una pizza che è possibile fare effettuando n tagli. Problema 2 Calcolare il massimo numero di parti nelle quali un Leggi tutto…
Esercizio 1 Un quadrato e un triangolo hanno la stessa area. Quale dei due ha il perimetro maggiore? Può essere utile ricordare la seguente formula:Disuguaglianza fra media aritmetica e media geometricaSiano \(x_{1},x_{2}, \dots x_{n}\) numeri reali non negativi. Allora: \[ \dfrac {x_{1}+ x_{2} + \cdots x_{n}}{n} \ge \sqrt[n]{x_{1}x_{2} \cdots x_{n}} Leggi tutto…
1) L’Aritmetica Modulare di Gauss Dato un intero positivo \(m\), si dice che due interi \(a\) e \(b\) sono congruenti modulo \(m\) se danno lo stesso resto nella divisione per \(m\). Si usa la seguente notazione introdotta dal matematico tedesco Gauss: \[ a \equiv b \pmod{m} \] Ad esempio \(21 Leggi tutto…