Problema 1 Sia dato un mazzo di \(52\) carte da poker disposte in un ordine qualsiasi. Quante mischiate devono essere fatte prima che il mazzo ritorni nell’ordine iniziale? Le mischiate devono essere fatte soltanto nel seguente modo: dividere il mazzo in due gruppi uguali di \(26\) carte; quindi muovere alternativamente Leggi tutto…
Problema Sia dato un poligono convesso di \(n\) lati. Calcolare in quanti modi diversi il poligono può essere diviso in triangoli mediante diagonali che non si intersecano. Questo problema venne proposto da Eulero nel 1751 al suo amico Christian Goldbach. Il numero delle diverse triangolazioni trovato da Eulero, indicato con Leggi tutto…
In un precedente articolo abbiamo introdotto alcuni esempi di frattali, illustrando le loro principali caratteristiche, qualitative e quantitative: autosimilarità, irregolarità geometrica, dimensione frazionaria. Per approfondire lo studio della scienza dei frattali è necessario in primo luogo dare una definizione più rigorosa del contesto matematico in cui sono definiti gli oggetti Leggi tutto…
In questo articolo presentiamo alcuni esercizi della teoria elementare dei numeri, che non richiedono conoscenze matematiche avanzate. Seguiranno altri articoli con esercizi collegati ai vari settori di questa affascinante branca della matematica.Ricordiamo che il simbolo \(\left\lfloor x \right\rfloor\) indica la parte intera del numero reale \(x\), cioè il più grande Leggi tutto…
Il principio dei cassetti viene attribuito al matematico tedesco Dirichlet (1805-1859). Viene anche chiamato principio di Dirichlet o principio della piccionaia (pigeonhole principle). In questo articolo viene illustrato il principio di Dirichlet e viene fatta una breve introduzione alla teoria di Ramsey, con alcuni esempi di calcolo dei numeri di Leggi tutto…
Problema Supponiamo di utilizzare solo le cifre dell’insieme \(A= \{1,2,3,4,5\} \). Quanti numeri di \(n\) cifre dell’insieme \(A\) possono essere formati, se le cifre adiacenti differiscono esattamente di 1? Indichiamo il numero cercato con \(a(n)\). SuggerimentoSe \(n=1\) abbiamo gli interi \({1,2,3,4,5}\).Se \(n=2\) abbiamo gli interi \({12,21,23,32,34,43,45,54}\).All’aumentare del numero delle cifre Leggi tutto…
In questo articolo vengono illustrate le proprietà delle funzioni di Eulero e di Möbius, che hanno grande importanza nella Teoria dei Numeri. Come applicazione viene descritto l’algoritmo RSA per la crittografia a chiave pubblica. 1) Funzioni aritmetiche Una funzione aritmetica è una funzione a valori reali o complessi definita per Leggi tutto…
La geometria euclidea studia gli oggetti geometrici come le rette, i triangoli, i rettangoli, i cerchi, ecc. Anche i frattali sono oggetti geometrici; tuttavia hanno proprietà specifiche che li distinguono, e non possono essere classificati come oggetti della geometria classica. Nonostante Mandelbrot (1924-2010) venga considerato in generale il padre della Leggi tutto…
In questo articolo vengono proposti alcuni problemi di natura combinatoria relativi alla scacchiera e al gioco degli scacchi, che tuttavia hanno un ambito di applicazione anche in altri settori della matematica. Esercizio 1 Numeriamo la scacchiera \(8 \times 8\) con i numeri da 1 a 64. Disporre 8 torri sulla Leggi tutto…
Il principio di inclusione-esclusione è un risultato importante del calcolo combinatorio che trova applicazioni in vari campi, dalla teoria dei numeri, al calcolo delle probabilità, alla teoria della misura. In questo breve articolo vengono esposte diverse formulazioni del principio, seguite da alcune applicazioni ed esercizi.Per un approfondimento vedere ad esempio Leggi tutto…