Esercizio 1 I numeri di Fermat sono così definiti: \(F_{n}=2^{2^{n}}+1\). Dimostrare che tutti i numeri di Fermat con \( n>1\) hanno l’ultima cifra uguale a \(7\). SuggerimentoIl numero \(2^{2^{2}}=16\) termina con la cifra \(6\). Lo stesso vale quindi per i numeri \(2^{2^{n}}\) con \(n > 2\). Per le proprietà dei Leggi tutto…
Il matematico francese Bertrand (1822-1900) formulò la congettura che per ogni intero positivo \(n\) esiste sempre almeno un numero primo \(p\) tale che: \(n < p \le 2n\). Questa congettura venne dimostrata dal matematico russo Chebyshev (1821- 1894). In questo articolo illustreremo il metodo di dimostrazione proposto dal matematico ungherese Leggi tutto…
Esercizio 1 Sia \(x_{1}=2\) e \(x_{n+1}= x_{n}^{2} – x_{n}+1\). Dimostrare che i numeri \(x_{n}\) sono primi fra loro. SoluzioneI valori della successione si ottengono iterando il polinomio \(P(x)=x^{2}-x+1\). Ragionando per induzione si può vedere facilmente che dato \(m <n\) risulta la seguente relazione: \[ x_{n}= x_{m}Q(x_{m}) +1 \] dove \(Q(x)\) Leggi tutto…
1) Funzioni generatrici ordinarie di una variabile Le funzioni generatrici sono uno strumento importante per risolvere problemi combinatoriali di vario tipo. Un problema tipico è il calcolo del numero di oggetti in funzione della dimensione \(n\), che possiamo indicare con \(a_{n}\). Per ogni valore di \(n\) intero non negativo abbiamo Leggi tutto…
Problema 1 Sia dato un mazzo di \(52\) carte da poker disposte in un ordine qualsiasi. Quante mischiate devono essere fatte prima che il mazzo ritorni nell’ordine iniziale? Le mischiate devono essere fatte soltanto nel seguente modo: dividere il mazzo in due gruppi uguali di \(26\) carte; quindi muovere alternativamente Leggi tutto…
Problema Sia dato un poligono convesso di \(n\) lati. Calcolare in quanti modi diversi il poligono può essere diviso in triangoli mediante diagonali che non si intersecano. Questo problema venne proposto da Eulero nel 1751 al suo amico Christian Goldbach. Il numero delle diverse triangolazioni trovato da Eulero, indicato con Leggi tutto…
In un precedente articolo abbiamo introdotto alcuni esempi di frattali, illustrando le loro principali caratteristiche, qualitative e quantitative: autosimilarità, irregolarità geometrica, dimensione frazionaria. Per approfondire lo studio della scienza dei frattali è necessario in primo luogo dare una definizione più rigorosa del contesto matematico in cui sono definiti gli oggetti Leggi tutto…
In questo articolo presentiamo alcuni esercizi della teoria elementare dei numeri, che non richiedono conoscenze matematiche avanzate. Seguiranno altri articoli con esercizi collegati ai vari settori di questa affascinante branca della matematica.Ricordiamo che il simbolo \(\left\lfloor x \right\rfloor\) indica la parte intera del numero reale \(x\), cioè il più grande Leggi tutto…
Il principio dei cassetti viene attribuito al matematico tedesco Dirichlet (1805-1859). Viene anche chiamato principio di Dirichlet o principio della piccionaia (pigeonhole principle). In questo articolo viene illustrato il principio di Dirichlet e viene fatta una breve introduzione alla teoria di Ramsey, con alcuni esempi di calcolo dei numeri di Leggi tutto…
Problema Supponiamo di utilizzare solo le cifre dell’insieme \(A= \{1,2,3,4,5\} \). Quanti numeri di \(n\) cifre dell’insieme \(A\) possono essere formati, se le cifre adiacenti differiscono esattamente di 1? Indichiamo il numero cercato con \(a(n)\). SuggerimentoSe \(n=1\) abbiamo gli interi \({1,2,3,4,5}\).Se \(n=2\) abbiamo gli interi \({12,21,23,32,34,43,45,54}\).All’aumentare del numero delle cifre Leggi tutto…