Il Calcolo delle Differenze Finite (III) – Le Equazioni alle Differenze Finite

In due articoli precedenti abbiamo studiato i principi fondamentali del calcolo delle differenze finite. In particolare abbiamo studiato le proprietà dell’operatore differenza finita e dell’operatore inverso, cioè della somma indefinita. In entrambi i casi abbiamo abbiamo evidenziato le similitudini con il calcolo differenziale e integrale classico. In questo articolo studieremo le equazioni alle differenze finite, che hanno una stretta analogia con le equazioni differenziali classiche.

1) Equazioni differenziali ordinarie

È utile richiamare alcuni concetti fondamentali relativi alle equazioni differenziali, in quanto esistono molte analogie e similitudini con le equazioni alle differenze finite.
Le equazioni differenziali permettono di creare modelli che simulano il comportamento di sistemi reali, che dipendono da relazioni fra varie variabili. La loro importanza è fondamentale in matematica e in molti altri settori, quali fisica, chimica, economia, ingegneria. La soluzione di una equazione differenziale aiuta a prevedere il comportamento futuro di in sistema, sulla base dello stato ad un certo istante di tempo.
In termini semplici le equazioni differenziali ordinarie sono equazioni che legano una funzione di una variabile reale \(y=f(x)\) e le sue derivate ordinarie. Un’equazione differenziale alle derivate parziali è un’equazione in cui la funzione dipende da più di una variabile, e le derivate presenti sono derivate parziali. In questo articolo ci limitiamo a ricordare alcune proprietà delle equazioni differenziali ordinarie, tralasciando le equazioni differenziali alle derivate parziali.
Vediamo alcuni esempi di equazioni differenziali ordinarie.

Esempio 1.1 – Decadimento radioattivo
Il decadimento radioattivo è un processo fisico in cui nuclei di atomi che si trovano in uno stato non stabile emettono radiazione elettromagnetica o particelle sub-atomiche e passano ad uno stato più stabile. Dagli esperimenti si è determinato che la velocità di decadimento radioattivo è proporzionale alla quantità di sostanza radioattiva non ancora trasformata. Questo fenomeno può essere descritto mediante la seguente equazione differenziale del primo ordine:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{dy}{dt} = – \lambda y \end{array} \]

dove la grandezza \(y\) rappresenta la quantità di sostanza radioattiva non ancora disintegrata, mentre la costante \(\lambda \) è la costante di decadimento, che corrisponde alla probabilità che un atomo decada nell’unità di tempo.

Esempio 1.2 – Moto in caduta libera
La legge di caduta libera dei corpi scoperta da Galileo afferma che, in assenza di resistenza dell’aria, tutti i corpi sulla Terra cadono con la stessa accelerazione \(g=9,8 m/s^{2}\). In termini matematici il fenomeno è regolato dalla seconda legge di Newton, che è una equazione differenziale del secondo ordine:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}} = g \end{array} \]

Esempio 1.3 – Oscillatore armonico
Un corpo di massa \(m\) attaccato ad una molla orizzontale, se viene spostato con una piccola distanza dalla posizione di equilibrio, inizia ad oscillare sotto l’azione di una forza di richiamo, la cui intensità è proporzionale alla distanza dal punto di equilibrio. In termini matematici vale la legge di Hooke \(F=-kx\), dove \(k\) è la costante elastica della somma. Applicando la seconda legge di Newton, abbiamo la seguente equazione differenziale del secondo ordine:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega^{2}x= 0 \end{array} \]

dove \(\omega = \sqrt{k/m}\). La grandezza \(\omega\) è la frequenza angolare.
La soluzione è una funzione \(x(t)\) che descrive la posizione del corpo che oscilla in funzione del tempo.

Definizione 1.1 – Equazioni differenziali ordinarie
Data una funzione reale di variabile reale \(y=f(x)\), un’equazione differenziale ordinaria di ordine \(n\) è una relazione fra la variabile \(x\), la funzione \(y\) e le sue derivate, che può essere rappresentata nei seguenti modi:

\[ \begin{array}{l} F \left(x,y,\dfrac{dy}{dx}, \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}, \cdots, \dfrac{d^{n}y}{dx^{n}}\right) =0 \\ F \left(x,y, y’, y^{\prime\prime}, \cdots, y^{(n)}\right) =0 \end{array} \]

L’equazione si dice in forma normale se può essere risolta rispetto alla derivata di ordine maggiore:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{d^{n}y}{dx^{n}}= G\left(x,y,\dfrac{dy}{dx}, \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}, \cdots, \dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}\right) \\ y^{(n)} = G\left(x,y,y’,y^{\prime\prime}, \cdots, y^{(n-1)}\right) \end{array} \]

Nel seguito useremo indifferentemente le notazioni \(\dfrac{d^{n}y}{dx^{n}}\) oppure \(y^{(n)}(x)\) per indicare la derivata di ordine \(n\). Per la derivata prima e seconda useremo anche le notazioni \(y'(x)\) e \(y^{\prime\prime}(x)\).
Una soluzione di una equazione differenziale è una funzione \(y=f(x)\) che, se sostituita nell’equazione, riduce l’equazione stessa ad una identità.
In questo articolo ci limitiamo a richiamare alcune proprietà delle equazioni differenziali lineari del primo e del secondo ordine.

Alcuni esempi di equazioni differenziali ordinarie
Un’equazione differenziale ordinaria del primo ordine può essere scritta nella seguente semplice forma, separando la derivata prima:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{dy}{dx} = f(x,y) \end{array} \]

In genere non è possibile trovare la soluzione completa, nel senso che non esiste una formula valida in tutti i casi. Tuttavia esistono varie classi di tipi di equazioni del primo ordine per le quali è possibile trovare la soluzione generale. Il caso più semplice è il seguente tipo di equazione:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{dy}{dx} = f(x) \end{array} \]

In questo caso la soluzione generale è data dal seguente integrale indefinito:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle y = \int\limits_{}{}f(x)dx + c \end{array} \]

La costante arbitraria viene determinate se si conosce un valore iniziale della funzione \(y(x)\), in un punto \(x_{0}\). Ad esempio se \(y(x_{0})=y_{0}\) allora abbiamo una soluzione univoca

\[ \begin{array}{l} \displaystyle y = y_{0}+ \int\limits_{x_{0}}^{x}f(x)dx \end{array} \]

Variabili separabili
In alcuni casi la funzione \(f(x,y)\) può essere decomposta nel prodotto di due funzioni di una singola variabile:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{dy}{dx} = f(x)g(y) \end{array} \]

In altri termini l’equazione può essere scritta nel seguente modo:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{dy}{g(y)} = f(x) dx \end{array} \]

In questo caso la soluzione si trova integrando entrambi i membri dell’equazione:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{}{}\dfrac{dy}{g(y)} = \int\limits_{}{}f(x)dx +c \end{array} \]

Esempio 1.4
Consideriamo l’equazione

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \dfrac{dy}{dx} + \dfrac{x}{y}= 0 \end{array} \]

che può anche essere scritta \(x dx + y dy = 0\). In questo caso la soluzione è

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{}{}xdx + \int\limits_{}{}ydy = c \\ \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{y^{2}}{2} = c \end{array} \]

Dal punto di vista geometrico le soluzioni sono una famiglia di cerchi con centro l’origine. Il raggio dei cerchio dipende dal valore della costante arbitraria.

Esempio 1.5
Consideriamo l’equazione

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \dfrac{dy}{dx} – \dfrac{y}{x}= 0 \end{array} \]

che può anche essere scritta \(x dy – y dx = 0\). In questo caso la soluzione è

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{}{}\dfrac{dy}{y} = \int\limits_{}{}\dfrac{dx}{x} \\ \ln |y| = \ln |x| + \ln c \ ,\quad c \gt 0 \end{array} \]

Esercizio 1.1 – Equazione di Bernoulli (curva isocrona)
L’equazione di Bernoulli riguarda il problema di trovare una curva nel piano verticale in cui un corpo soggetto alla forza di gravità cade con velocità verticale uniforme. Questo problema si chiama problema della isocrona ed è stato studiato da Huygens, Bernoulli e Leibniz. L’isocrona è una curva in cui una particella sottoposta alla forza di gravità cade a terra impiegando lo stesso tempo, indipendentemente dal punto di partenza sulla curva. L’equazione di Bernoulli è la seguente:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \dfrac{dy}{dx} = \sqrt{\dfrac{y}{2a-y }} \end{array} \]

È una equazione differenziale ordinaria del primo ordine non lineare.
Per risolvere l’equazione effettuare la seguente sostituzione: \(y=2a \sin^{2}\dfrac{\theta}{2}\). La curva soluzione è una cicloide inversa.
Soluzione: \(\left[x =a(\theta + \sin \theta), y=a(1-\cos \theta)\right]\).

2) Equazioni differenziali ordinarie lineari

Un’equazione differenziale ordinaria lineare di ordine \(n\) ha la seguente forma:

\[ \begin{array}{l} b_{0}(x)y^{(n)}+ b_{1}(x)y^{(n-1)}+ \cdots + b_{n-1}(x)y’ + b_{n}(x)y = h(x) \end{array} \]

dove la funzione \(h(x)\) e i coefficienti \(b_{k}(x)\) dipendono solo dalla variabile \(x\) e non dipendono da \(y\) o dalle derivate di \(y\).
Se \(h(x)=0\) allora l’equazione si dice omogenea, altrimenti di si dice non omogenea.
Se i coefficienti \(b_{k}(x)\) sono tutti costanti allora l’equazione si dice a coefficienti costanti, altrimenti si dice a coefficienti variabili.
In genere la soluzione generale di una equazione differenziale ordinaria di ordine \(n\) contiene \(n\) costanti arbitrarie. Per avere una soluzione unica devono essere fissate \(n\) condizioni indipendenti. Un esempio classico e importante è il problema di Cauchy, che fissa dei valori in un punto \(x_{0}\) per la funzione \(y\) e le sue derivate fino all’ordine \(n-1\). Il problema di Cauchy ha una fondamentale importanza in matematica pura e applicata (fisica, ingegneria, economia, ecc.). Permette di modellizzare e prevedere il comportamento futuro di sistemi dinamici a partire da condizioni iniziali fissate.
Per quanto riguarda l’esistenza della soluzione del problema di Cauchy vale questo teorema:

Teorema 2.1
Sia data l’equazione differenziale lineare di ordine \(n\) precedente e siano fissate le seguenti condizioni iniziali

\[ \begin{array}{l} y(x_{0}) = c_{0}, \ y'(x_{1}) = c_{1}, \ \cdots, \ y^{(n-1)}(x_{0}) = c_{n-1} \end{array} \]

Se le funzioni \(h(x)\) e \(b_{k}(x)\) sono continue in un intervallo contenente il punto \(x_{0}\) e inoltre risulta \(b_{0}(x) \neq 0\) nell’intervallo, allora il problema ammette una unica soluzione nell’intervallo.
Nei punti in cui \(b_{0}(x) \neq 0\) in un intervallo, possiamo scrivere l’equazione precedente in forma normale:

\[ \begin{array}{l} y^{(n)}+ a_{1}(x)y^{(n-1)}+ \cdots + a_{n-1}(x)y’ + a_{n}(x)y = g(x) \end{array} \]

Per studiare il caso lineare è utile introdurre il seguente operatore differenziale lineare per rappresentare l’equazione:

\[ \begin{array}{l} \psi = \dfrac{d^{n}}{dx^{n}} + a_{1}(x)\dfrac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{n-1}(x)\dfrac{d}{dx} + a_{n}(x) \end{array} \]

Quindi l’equazione può essere scritta nel seguente modo semplificato:

\[ \begin{array}{l} \psi(y)= g(x) \end{array} \]

Esercizio 2.1
Verificare le seguenti proprietà dell’operatore lineare:

\[ \begin{array}{l} \psi(y_{1}+ y_{2})= \psi(y_{1}) + \psi(y_{2}) \\ \psi(cy)= c\psi(y) \end{array} \]

dove \(c\) è una costante e le due funzioni \(y_{1}(x),y_{2}(x)\) hanno le derivate fino all’ordine \(n\).

2.1) Equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine

Una equazione differenziale ordinaria lineare del primo ordine ha la seguente forma:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{dy}{dx} + a(x)y = g(x) \end{array} \]

dove \(a(x),g(x)\) sono funzioni continue del dominio di interesse, nel quale si deve integrare l’equazione. Se \(g(x)=0\) allora l’equazione si dice omogenea:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{dy}{dx} + a(x)y = 0 \end{array} \]

L’equazione omogenea è a variabili separabili e la soluzione si ottiene facilmente:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \dfrac{dy}{y} = -a(x)dx \\ \displaystyle \ln |y| = -\int\limits_{}{}a(x)dx + \ln c_{1} \quad \quad (c_{1} \gt 0) \\ \displaystyle y = c e^{- \int\limits_{}{}a(x)dx} \quad \quad (c \neq 0) \end{array} \]

L’equazione non omogenea può essere integrata mediante il metodo di variazione dei parametri. Partiamo dalla soluzione dell’equazione omogenea e supponiamo che la \(c\) non sia costante ma sia una funzione di \(x\). Quindi possiamo provare la seguente funzione:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle y = c(x) e^{- \int\limits_{}{}a(x)dx} \end{array} \]

Calcoliamo la derivata prima:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dc(x)}{dx} e^{- \int\limits_{}{}a(x)dx}- c(x)a(x)e^{- \int\limits_{}{}a(x)dx} \end{array} \]

Sostituendo nell’equazione originale, con semplici passaggi otteniamo la soluzione dell’equazione non omogenea:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle c(x) = \int\limits_{}{}g(x)e^{ \int\limits_{}{}a(x)dx}dx + c_{1} \\ \displaystyle y(x) = c_{1}e^{ -\int\limits_{}{}a(x)dx} +e^{ -\int\limits_{}{}a(x)dx}\int\limits_{}{}g(x)e^{ \int\limits_{}{}a(x)dx}dx \end{array} \]

Quindi la soluzione generale dell’equazione lineare non omogenea è uguale alla somma della soluzione generale dell’equazione omogenea (primo termine a destra) e di una soluzione particolare dell’equazione non omogenea (secondo termine a destra).

Esercizio 2.2
Trovare la soluzione particolare dell’equazione non omogenea seguente:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{dy}{dx} – \dfrac{y}{x} = x^{2} \end{array} \]

Suggerimento
La soluzione dell’equazione omogenea è \(\ln |y| = \ln |x| + \ln c\), cioè \( y=cx\). Quindi provare con la funzione \(y(x)= c(x)x\).

Soluzione: \(\left[ y = cx+\dfrac{x^{3}}{2} \right]\)

Esercizio 2.3
Trovare la soluzione generale dell’equazione

\[ \begin{array}{l} \dfrac{dy}{dx} + \dfrac{y}{x} = 3x \end{array} \]

Sol: \(\left[ y =\dfrac{c}{x} + x^{2}\right]\)

Esercizio 2.4 – L’equazione di Bernoulli
Risolvere la seguente equazione differenziale:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{dy}{dx} + p(x) y = q(x)y^{n} \ ,\quad n \neq 1 \end{array} \]

dove \(n\) è un numero reale.
Questa equazione è lineare se \(n=0,1\). Dimostrare che mediante il cambio di variabile \(z=y^{1-n}\) può essere ridotta alla seguente equazione lineare anche nel caso di altri valori di \(n\):

\[ \begin{array}{l} \dfrac{1}{1-n}\dfrac{dz}{dx} + p(x) z = q(x) \end{array} \]

Esercizio 2.5
Risolvere la seguente equazione differenziale (equazione di Riccati):

\[ \begin{array}{l} \dfrac{dy}{dx} = y^{2} – \dfrac{2}{x^{2}} \end{array} \]

Suggerimento
Trasformare in una equazione di Bernoulli mediante la sostituzione \(y= z + \dfrac{1}{x}\).
Soluzione: \(\left[ y = \dfrac{1}{x}+ \dfrac{3x^{2}}{c – x^{3}}\right]\).

2.2) Equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti costanti

Studiamo ora le equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti costanti.

Principio di sovrapposizione e soluzioni indipendenti
Introduciamo il concetto importante di dipendenza lineare di un insieme di funzioni. Un insieme di funzioni \(\{y_{1}(x), y_{2}(x),\cdots,y_{n}(x) \}\) si dice linearmente dipendente in un intervallo \([a,b]\) se esistono delle costanti \(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}\), non tutte nulle, tali che risulti

\[ \begin{array}{l} c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + \cdots + c_{n}y_{n}(x) =0 \end{array} \]

per tutti gli \(x \in [a,b]\). In caso contrario le funzioni di dicono linearmente indipendenti.

Esempio 2.1
Le funzioni \(y_{1}(x)=x,\ y_{2}(x)=x^{2},\ y_{3}(x)=5x^{2}+ 3x\) sono dipendenti in quanto

\[ \begin{array}{l} 3y_{1}(x) + 5y_{2}(x) – y_{3}(x) =0 \end{array} \]

Nel caso di due funzioni la dipendenza lineare significa che una delle funzioni è uguale all’altra moltiplicata per una opportuna costante.

Esempio 2.2
Verificare la dipendenza o indipendenza delle seguenti coppie di funzioni in un dato intervallo:

\[ \begin{array}{|l|l|l|l|} \hline y_{1}(x) & y_{2}(x) & \text{Dipendenti?} & \text{Relazione} \\ \hline 5x & – 3x & \text{SI} & 3y_{1}(x) -5y_{2}(x)=0 \\ \hline x^{2} & -x & \text{NO} & \\ \hline e^{3x} & e^{3x+2} & \text{SI} & e^{2}y_{1}(x) – y_{2}(x)=0 \\ \hline \sin^{2}(x) & 1 – \cos^{2}(x) & \text{SI} & y_{1}(x) – y_{2}(x)=0 \\ \hline \sin x & \cos x & \text{NO} & \\ \hline \end{array} \]

In generale, nel caso di \(n\) funzioni \(\{y_{1}(x), \cdots, y_{n}(x)\}\), si ha dipendenza lineare se una di esse può essere scritta come combinazione lineare delle altre \(n-1\), in tutto l’intervallo. Ad esempio le funzioni \(\{1, \sin^{2} x, \cos 2x\}\) sono dipendenti in quanto dalla trigonometria è noto che

\[ \begin{array}{l} \cos 2x = 1 – 2 \sin^{2} x \end{array} \]

Esercizio 2.6
Dimostrare che le funzioni \(\{1,x,x^{2},\cdots, x^{2}\}\) sono indipendenti, per \(n \ge 1\).

Suggerimento
Utlilizzare il teorema fondamentale dell’algebra.

Esercizio 2.7
Dimostrare che le funzioni \(\{e^{k_{1}x}, e^{k_{2}x}\}\), con \(k_{1} \neq k_{2}\), sono indipendenti.

Suggerimento
Se fossero dipendenti si avrebbe \(c_{1}e^{k_{1}x}+ c_{2}e^{k_{2}x}=0\). Supponiamo per esempio che \(c_{2} \neq 0\). Dividere per \(e^{k_{1}x}\) e differenziare l’espressione.
Estendere il ragionamento al caso di \(n \gt 2\) funzioni \(\{e^{k_{1}x}, e^{k_{2}x}, \cdots,e^{k_{n}x}\}\), dove \(k_{i} \neq k_{j}\) se \(i \neq j\).
Per quanto riguarda l’esistenza delle soluzioni di una equazione differenziale lineare omogenea, vale il seguente fondamentale teorema.

Teorema 2.2
Un’equazione differenziale lineare omogenea \(\psi(y)=0\) di ordine \(n\) ha sempre \(n\) soluzioni linearmente indipendenti. Se \(y_{1}(x),y_{2}(x), \cdots,y_{n}(x)\) sono queste soluzioni, allora la soluzione generale è

\[ \begin{array}{l} y(x)= c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + \cdots + c_{n}y_{n}(x) \end{array} \]

dove \(c_{1},c_{2}, \cdots,c_{n}\) sono costanti arbitrarie.

Il determinante Wronskiano
Un criterio utile per stabilire l’indipendenza di un insieme di funzioni è dato dal determinante Wronskiano. Siano date \(n\) funzioni \(\{g_{1}(x), \cdots,g_{n}(x)\}\) definite in un intervallo \([a,b]\), con la proprietà di esistenza delle derivata fino all’ordine \(n-1\). Il determinante Wronskiano è il seguente:

\[ W(g_{1},g_{2}, \cdots,g_{n}) = \begin{vmatrix} g_{1} & g_{2} & \cdots & g_{n} \\ g_{1}^{(1)} & g_{2}^{(1)} & \cdots & g_{n}^{(1)} \\ \vdots \\ g_{1}^{(n-1)} & g_{2}^{(n-1)} & \cdots & g_{n}^{(n-1)} \\ \end{vmatrix} \]

Il nome Wronskiano è in onore del matematico polacco G. Wronski (1775-1853).
Ad esempio il Wronskiano dell’insieme di funzioni \(\{1,\sin x\}\) in un punto \(x\) è

\[ W(1, \sin x) = \begin{vmatrix} 1 & \sin x \\ 0 & \cos x \end{vmatrix} = \cos x \]

Vale il seguente teorema:

Teorema 2.3
Se il determinante Wronskiano di un insieme di \(n\) funzioni definite in un intervallo \([a,b]\) è diverso da zero in almeno un punto di questo intervallo, allora le funzioni sono linearmente indipendenti nell’intervallo.
Se il Wronskiano è identicamente nullo nell’intervallo e se le funzioni sono tutte soluzioni della stessa equazione differenziale lineare, allora le funzioni sono linearmente dipendenti.

Notiamo che se il Wronskiano è identicamente nullo, ma le funzioni non sono soluzioni della stessa equazione, allora non è detto che siano linearmente dipendenti.
Si può dimostrare facilmente che l’insieme delle soluzioni di un’equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti di ordine \(n\) forma uno spazio vettoriale di dimensione \(n\).

Esempio 2.3
Calcoliamo il determinate Wronskiano dell’insieme di funzioni \(\{e^{x},e^{-x}\}\). Abbiamo

\[ W(e^{x},e^{-x}) = \begin{vmatrix} e^{x} & e^{-x} \\ e^{x} & -e^{-x} \end{vmatrix} = e^{x}(-e^{-x}) – e^{-x}e^{x}=-2 \]

Esempio 2.4
Calcoliamo il determinate Wronskiano dell’insieme \(\{x,x^{2},x^{3}\}\).
In questo caso abbiamo

\[ W(x,x^{2},x^{3}) = \begin{vmatrix} x & x^{2} & x^{3} \\ 1 & 2x & 3x^{2} \\ 0 & 2 & 6x \end{vmatrix} = 2 x^{3} \]

Esercizio 2.8
Dimostrare che le funzioni \(\{\sin x, \cos x, -1\}\) sono linearmente indipendenti.

2.3) Equazioni differenziali lineari del secondo ordine

Studiamo in particolare il caso importante di equazioni differenziali ordinarie lineari di secondo grado. L’equazione generale lineare del secondo ordine è

\[ \begin{array}{l} a_{0}(x) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_{1}(x)\dfrac{dy}{dx} + a_{2}(x)y = g(x) \end{array} \]

dove \(a_{0}(x), a_{1}(x), a_{2}(x)\) sono funzioni della variabile reale \(x\).
Se \(g(x)=0\) allora l’equazione è omogenea:

\[ \begin{array}{l} a_{0}(x) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_{1}(x)\dfrac{dy}{dx} + a_{2}(x)y = 0 \end{array} \]

Equazioni di questo tipo hanno grande importanza in molti settori della scienza e della tecnologia. Un esempio importante è la seconda legge di Newton della meccanica, un’equazione differenziale del secondo ordine che permette di calcolare il moto dei corpi, ad esempio le traiettorie dei pianeti intorno al Sole.
Per le equazioni lineari vale questo importante teorema:

Teorema 2.4
La soluzione generale \(y(x)\) dell’equazione differenziale lineare è uguale alla somma della soluzione generale \(y_{c}(x)\) dell’equazione omogenea (soluzione complementare) e di una soluzione particolare \(y_{p}(x)\) dell’equazione non omogenea. In simboli

\[ \begin{array}{l} y(x) = y_{c}(x) + y_{p}(x) \end{array} \]

Dimostrazione
Il teorema vale qualunque sia la soluzione particolare trovata. Supponiamo che la soluzione generale dell’equazione omogenea sia

\[ \begin{array}{l} y_{c}(x)=c_{1}y_{1}(x)+ c_{2}y_{2}(x) \end{array} \]

Ricordiamo che la soluzione generale dell’equazione non omogenea deve contenere tutte le possibili soluzioni dell’equazione.
Se \(h_{p}(x)\) è un’altra soluzione particolare dell’equazione non omogenea allora \(y_{p}(x) -h_{p}(x)\) è una soluzione dell’equazione omogenea in quanto

\[ \begin{array}{l} \psi (h_{p}(x) – y_{p}(x)) = 0 \end{array} \]

e quindi esistono constanti \(c_{1},c_{2}\) tali che risulti

\[ \begin{array}{l} h_{p}(x) = c_{1}y_{1}(x)+ c_{2}y_{2}(x) + y_{p}(x) \end{array} \]

Quindi una soluzione particolare e la soluzione complementare sono sufficienti per avere tutte le possibili soluzioni.
Vediamo ora in dettaglio alcuni metodi di soluzione delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Consideriamo prima il caso di equazioni omogenee.

2.4) Equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti

Il metodo dell’equazione caratteristica
Consideriamo l’equazione omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti

\[ \begin{array}{l} a_{0} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_{1} \dfrac{dy}{dx} + a_{2}y = 0 \end{array} \]

Supponiamo che le soluzioni siano della forma \(y(x)=e^{\lambda x}\), dove \(\lambda\) è un numero reale o complesso. Sostituendo nell’equazione abbiamo

\[ \begin{array}{l} a_{0} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_{1} \dfrac{dy}{dx} + a_{2}y = ( a_{0}\lambda^{2} + a_{1}\lambda + + a_{2})e^{\lambda x}=0 \end{array} \]

Quindi la funzione \(y(x)=e^{\lambda x}\) è una soluzione dell’equazione omogenea se \(\lambda\) soddisfa la seguente equazione, chiamata equazione caratteristica:

\[ \begin{array}{l} a_{0}\lambda^{2} + a_{1}\lambda + + a_{2}= 0 \end{array} \]

Questa è una equazione algebrica di secondo grado che ammette due radici \(\lambda_{1},\lambda_{2} \) reali o complesse, non necessariamente distinte fra loro.
Consideriamo i seguenti tre casi distinti.

A) Radici reali e distinte
Supponiamo che il discriminante sia positivo, cioè \(\Delta = a_{1}^{2}-4a_{0}a_{2} \gt 0\). Allora esistono due soluzioni reali distinte \(\lambda_{1},\lambda_{2}\). In questo caso si può dimostrare che le due funzioni \(e^{\lambda_1 x}, e^{\lambda_2 x}\) sono soluzioni indipendenti e la soluzione generale dell’equazione differenziale omogenea è

\[ \begin{array}{l} y(x) = c_{1}e^{\lambda_1 x} +c_{2}e^{\lambda_2 x} \end{array} \]

Possiamo dimostrare che sono indipendenti calcolando il determinante Wronskiano delle due funzioni:

\[ W(e^{\lambda_{1}x}, e^{ \lambda_{2} x})= \begin{vmatrix} e^{\lambda_{1}x} & e^{\lambda_{2}x} \\ \lambda_{1}e^{\lambda_{1}x} &\lambda_{2} e^{\lambda_{2}x} \end{vmatrix} = (\lambda_{2} – \lambda_{1})e^{(\lambda_{1}+ \lambda_{2})x} \]

Il determinante è diverso da zero in quanto le radici sono distinte.

Esercizio 2.9
Trovare la soluzione generale della seguente equazione lineare omogenea del secondo ordine:

\[ \begin{array}{l} y^{\prime\prime}(x) – 3y'(x) + 2y(x) = 0 \end{array} \]

Soluzione: \(\left[ y(x)=c_{1}e^{x}+ c_{2}e^{2x}\right]\)

B) Radici distinte complesse
Supponiamo che il discriminante sia negativo, cioè \(\Delta = a_{1}^{2}-4a_{0}a_{2} \lt 0\). In questo caso ci sono due soluzioni complesse indipendenti. Tuttavia sappiamo che se i coefficienti \(a_{i}\) sono reali, per ogni radice complessa \(\alpha + i \beta\) dell’equazione caratteristica esiste anche la soluzione coniugata \(\alpha – i \beta\). Quindi abbiamo abbiamo le due soluzioni dell’equazione differenziale \(y_{1}(x)=e^{(\alpha + i \beta)x}\) e \(y_{2}(x)=e^{(\alpha – i \beta)x}\). La soluzione generale dell’equazione omogenea è quindi

\[ \begin{array}{l} y(x) = c_{1} e^{(\alpha + i \beta)x} + c_{2}e^{(\alpha – i \beta)x} \end{array} \]

Si può evitare l’uso dei numeri complessi mediante la formula di Eulero e il teorema de Moivre (vedi articolo su questo sito), utilizzando le funzioni trigonometriche seno e coseno. Quindi la soluzione può essere scritta nel seguente modo:

\[ \begin{array}{l} y(x) = e^{\alpha x}( A\cos \beta x + B \sin \beta x) \end{array} \]

dove \(A,B\) sono costanti arbitrarie.

Esempio 2.5
Consideriamo l’equazione lineare omogenea del secondo ordine

\[ \begin{array}{l} y^{\prime\prime}(x) – 6y'(x) + 13y(x) = 0 \end{array} \]

L’equazione caratteristica e le sue soluzioni sono

\[ \begin{array}{l} \begin{cases} \lambda^{2} – 6 \lambda + 13= 0 \\ \lambda_{1} = 3+2i \\ \lambda_{2} = 3-2i \end{cases} \end{array} \]

La soluzione generale dell’equazione differenziale omogenea è quindi

\[ \begin{array}{l} y(x) = e^{3x}(c_{1}\cos 2x + c_{2}\sin 2x) \end{array} \]

C) Radici multiple
Supponiamo che il discriminante sia nullo, cioè \(\Delta = a_{1}^{2}-4a_{0}a_{2} = 0\). Allora esiste una unica radice reale \(\lambda\), con molteplicità doppia. Possiamo scrivere l’equazione caratteristica nella seguente forma:

\[ \begin{array}{l} a_{0}\lambda^{2} + a_{1}\lambda + a_{2}= a_{0}\left(\lambda + \dfrac{a_{1}}{2a_{0}}\right)^{2}=0 \\ \lambda= -\dfrac{a_{1}}{2a_{0}} \end{array} \]

In questo caso la soluzione generale è la seguente:

\[ \begin{array}{l} y(x) = c_{1}e^{\lambda x} + c_{2}xe^{\lambda x} \end{array} \]

Esercizio 2.10
Trovare la soluzione generale della seguente equazione lineare omogenea del secondo ordine:

\[ \begin{array}{l} y^{\prime\prime}(x) – 2y'(x) + y(x) = 0 \end{array} \]

Soluzione: \(\left[y(x)=c_{1}e^{x}+ c_{2}xe^{x}\right]\)

2.5) Equazioni differenziali del secondo ordine lineari non omogenee a coefficienti costanti

La procedura per trovare la soluzione generale dell’equazione lineare non omogenea a coefficienti costanti consiste nei seguenti due passi:

• determinare la soluzione generale (chiamata soluzione complementare) \(y_{c}(x)\) dell’equazione omogenea
• determinare una soluzione particolare \(y_{p}(x)\) dell’equazione non omogenea

Notiamo che la funzione \(y_{c}(x)\) contiene due costanti arbitrarie, mentre la soluzione particolare \(y_{p}(x)\) non contiene nessuna costante arbitraria.
Non esiste una regola generale per trovare una soluzione particolare, tuttavia esistono dei metodi che permettono di ipotizzare una possibile soluzione, che in molti casi risolve il problema.
In questo paragrafo studieremo alcuni metodi per trovare le soluzioni particolari delle equazioni differenziali ordinarie non omogenee a coefficienti costanti.

2.6) Il metodo di variazione dei parametri

Consideriamo l’equazione lineare a coefficienti costanti del secondo ordine

\[ \begin{array}{l} a_{0} y^{\prime\prime}(x) + a_{1}y'(x) + a_{2}y(x) = g(x) \end{array} \]

Supponiamo che l’equazione omogenea abbia la soluzione generale

\[ \begin{array}{l} y_{x}= c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) \end{array} \]

Sostituiamo le costanti arbitrarie \(c_{k}\) con delle funzioni \(c_{k}(x)\) e proviamo a determinare una soluzione particolare del seguente tipo:

\[ \begin{array}{l} y_{p}(x)= c_{1}(x)y_{1}(x) + c_{2}(x)y_{2}(x) \end{array} \]

dove \(y_{1}(x),y_{2}(x)\) sono due soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione omogenea. Per determinare le funzioni \(c_{1}(x),c_{2}(x)\) possiamo imporre due condizioni e risolvere il sistema di due equazioni in due incognite. In genere le due condizioni sono le seguenti:

\[ \displaystyle \begin{cases} c_{1}'(x)y_{1}(x) + c_{2}'(x)y_{2}(x)= 0 \\ a_{0}[c_{1}'(x)y_{1}'(x) + c_{2}'(x)y_{2}'(x)]= g(x) \end{cases} \]

Esempio 2.6

\[ \begin{array}{l} y^{\prime\prime} + y = \tan x \ ,\quad 0 \lt x \lt \frac{\pi}{2} \end{array} \]

Soluzione
L’equazione omogenea ha la soluzione generale \(y_{c}(x)=c_{1}\sin x + c_{2}\cos x\). Per la soluzione particolare dell’equazione non omogenea proviamo la funzione seguente:

\[ \begin{array}{l} y_{p}(x) = c_{1}(x)\sin x + c_{2}(x)\cos x \end{array} \]

Dobbiamo risolvere il sistema seguente:

\[ \begin{cases} c_{1}'(x)\sin x + c_{2}'(x)\cos x= 0 \\ c_{1}'(x)\cos x – c_{2}'(x)\sin x = \tan x \end{cases} \]

Risolvendo il sistema si trova la soluzione generale dell’equazione non omogenea:

\[ \begin{array}{l} y(x) = c_{1}(x)\sin x + c_{2}(x)\cos x – \cos x \ln (\sec x + \tan x) \end{array} \]

dove \(\sec x = \dfrac{1}{\cos x}\).

Esercizio 2.11
Trovare la soluzione generale della seguente equazione differenziale:

\[ \begin{array}{l} y^{\prime\prime} – y = 2 \sin x \end{array} \]

Soluzione: \(\left[y(x) = c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x} – \sin x \right]\)

2.7) Il metodo dei coefficienti indeterminati

Consideriamo l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti non omogenea del secondo ordine:

\[ \begin{array}{l} a_{0} y^{\prime\prime}(x) + a_{1}y'(x) + a_{2}y(x) = g(x) \end{array} \]

Il metodo dei coefficienti indeterminati consiste nel provare una soluzione che contiene una o più costanti arbitrarie. Si sostituisce questa possibile soluzione nell’equazione differenziale e si cerca di determinare i valori delle costanti. Il metodo non sempre funziona per una funzione arbitraria \(g(x)\), in quanto non sempre si riesce a determinare i valori dei coefficienti. Tuttavia il metodo è efficace in molte situazioni importanti. La scelta della funzione di prova dipende dal termine noto dell’equazione differenziale, cioè dalla funzione \(g(x)\). Alcuni casi significativi sono quelli nei quali il termine noto è una delle seguenti funzioni:

• polinomio
• funzione esponenziale
• funzioni trigonometriche seno e coseno

Caso A) Polinomio
Supponiamo che il termine noto \(g(x)\) sia un polinomio di grado \(s\):

\[ \begin{array}{l} g(x) = A_{0}x^{s} + A_{1}x^{s-1} + \cdots + A_{s} \end{array} \]

Se \(a_{2} \neq 0\) allora esiste una soluzione particolare dell’equazione non omogenea che ha la forma di un polinomio di grado \(s\):

\[ \begin{array}{l} y_{p}(x) = B_{0}x^{s} + B_{1}x^{s-1} + \cdots + B_{s} \end{array} \]

Sostituendo questo polinomio nell’equazione, uguagliando i coefficienti delle potenze con lo stesso esponente, otteniamo un sistema che ci permette di determinare i coefficienti \(B_{i}\).

Esercizio 2.12

\[ \begin{array}{l} y^{\prime\prime} + 4y = x^{2} + 2 \end{array} \]

Soluzione
L’equazione omogenea si risolve facilmente mediante il metodo dell’equazione caratteristica. La soluzione complementare è la seguente

\[ \begin{array}{l} y_{c}(x) = c_{1}\sin 2x + c_{2}\cos 2x \end{array} \]

Proviamo una soluzione particolare dell’equazione non omogenea del seguente tipo:

\[ \begin{array}{l} y_{p}(x) = B_{0}X^{2} + B_{1}x + B_{2} \end{array} \]

Calcoliamo le derivate e sostituiamo nell’equazione non omogenea. Facendo i calcoli si trovano i valori delle costanti \(B_{0}=\dfrac{1}{4}, B_{1}=0,B_{2}=\dfrac{3}{8}\). Quindi la soluzione generale dell’equazione non omogenea è la seguente:

\[ \begin{array}{l} y(x) = c_{1}\sin 2x + c_{2}\cos 2x + \dfrac{x^{2}}{4}+ \dfrac{3}{8} \end{array} \]

Esercizio 2.13
Determinare la soluzione generale della seguente equazione differenziale:

\[ \begin{array}{l} y^{\prime\prime} + y = x^{2} + x \end{array} \]

Suggerimento
Provare con la funzione \(y_{p}(x) = B_{0}x^{2}+ B_{1}(x) + B_{2}\).
Soluzione: \(\left[y(x)=c_{1}\cos x + c_{2}\sin x + x^{2}+ x – 2 \right]\).

Caso particolare: supponiamo che \(a_{2} = 0, a_{1} \neq 0\)
In questo caso come soluzione particolare si prova il seguente polinomio:

\[ \begin{array}{l} y_{p}(x) = x (B_{0}x^{s} + B_{1}x^{s-1} + \cdots + B_{s}) \end{array} \]

Esercizio 2.14
Determinare la soluzione generale della seguente equazione differenziale:

\[ \begin{array}{l} y^{\prime\prime} + y’ = x -2 \end{array} \]

In questo caso provare la seguente soluzione:

\[ \begin{array}{l} y_{p}(x) = x (B_{0}x + B_{1}) \end{array} \]

Soluzione: \(\left[y(x)=c_{1}+c_{2}e^{-x} + \dfrac{x^{2}}{2}- 3x \right]\)

Caso B) Funzione esponenziale e polinomio
Supponiamo che il termine noto \(g(x)\) contenga la funzione esponenziale:

\[ \begin{array}{l} g(x) = e^{rx} ( A_{0}x^{s} + A_{1}x^{s-1} + \cdots + A_{s}) \end{array} \]

Se \(r\) non è una radice dell’equazione caratteristica, allora una soluzione particolare ha la seguente forma:

\[ \begin{array}{l} y_{p}(x) = e^{rx}(B_{0}x^{s} + B_{1}x^{s-1} + \cdots + B_{s}) \end{array} \]

Se invece \(r\) è una radice di molteplicità \(\alpha\) dell’equazione caratteristica, allora una soluzione particolare ha la seguente forma:

\[ \begin{array}{l} y_{p}(x) = x^{\alpha}e^{rx}(B_{0}x^{s} + B_{1}x^{s-1} + \cdots + B_{s}) \end{array} \]

Esercizio 2.15

\[ \begin{array}{l} y^{\prime\prime} -2y’ -3 y = 64xe^{-x} \end{array} \]

Soluzione: \(\left[y_{p}(x)= -e^{-x}(8x^{2}+ 4x +1 )\right]\)

Caso C) Funzioni trigonometriche seno e coseno
Supponiamo che il termine noto \(g(x)\) sia una funzione sinusoidale:

\[ \begin{array}{l} g(x) = a \sin \alpha x + b \cos \alpha x \end{array} \]

dove \(a,b\) sono costanti. In questo caso una soluzione particolare ha la seguente forma:

\[ \begin{array}{l} y_{p}(x) = A \sin \alpha x + B \cos \alpha x \end{array} \]

Esercizio 2.16

\[ \begin{array}{l} y^{\prime\prime} +2y’ +2 y = 10 \sin x \end{array} \]

Provare la seguente soluzione:

\[ \begin{array}{l} y_{p}(x) = A \cos 2x + B \sin 2x \end{array} \]

Soluzione: \(\left[y_{p}=- \sin 2x – 2 \cos 2x \right]\).

Esistono altri metodi per risolvere le equazioni non omogenee.
Per una trattazione approfondita delle equazioni differenziali ordinarie, comprendente il caso di equazioni a coefficienti variabili, equazioni non lineari e sistemi di equazioni, vedere ad esempio il testo di Bronson della collana Schaum^[1], nel quale sono presenti molti esercizi con soluzioni.

3) Equazioni alle differenze finite

Sia data una funzione reale di variabile reale \(y=f(x)\) definita nell’asse reale. Fissato un numero reale \(h\), consideriamo un insieme dei punti contenuti nel dominio di definizione della funzione e intervallati da una distanza \(h\):

\[ \begin{array}{l} \{x_{0}=a,\ x_{1}=a+h,\ x_{2}=a + 2h,\ \cdots,\ x_{n}=a+nh \} \end{array} \]

Poniamo

\[ \begin{array}{l} y_{k}=f(x_{k})=f(x_{0}+kh), \quad k=0,1,\cdots,n \end{array} \]

Per semplicità, se non ci sono rischi di confusione, indichiamo il valore della funzione in un punto generico \(x_{k}=x_{0}+kh\) con la notazione \(f(x)\) al posto di \(f(x_{k})\).
Un’equazione alle differenze finite è una relazione che contiene una funzione e le sue differenze finite. In generale un’equazione alle differente finite di ordine \(n\) ha la seguente forma:

\[ \begin{array}{l} F\left(x,y, \dfrac{\Delta y}{\Delta x},\dfrac{\Delta^{2} y}{\Delta x^{2}}, \cdots, \dfrac{\Delta^{n} y}{\Delta x^{n}}\right) \end{array} \]

Ad esempio

\[ \begin{array}{l} \Delta^{2}f(x) + 2\Delta f(x) + f(x) = 0, \quad x = x_{0}+kh \\ \Delta^{2}y_{k} + 2\Delta y_{k} + y_{k} = 0, \quad y_{k}=f(x_{0}+kh) \\ \end{array} \]

Tuttavia per maggiore semplicità conviene scrivere le equazioni senza utilizzare il simbolo \(\Delta\) delle differenze finite. Ad esempio l’equazione precedente semplificata diventa

\[ \begin{array}{l} f(x+2h)= 0 \\ y_{k+2} = 0 \end{array} \]

Definizione 3.1
Un’equazione alle differenze finite di ordine \(n\) ha la seguente forma:

\[ \begin{array}{l} F(x,f(x),f(x+h), \cdots, f(x+nh)) = 0 \\ \text{ oppure} \\ H(k,y_{k},y_{k+1}, \cdots, y_{k+n})= 0 \end{array} \]

dove i simboli \(F,H\) sono delle funzioni che definiscono la relazione fra le variabili all’interno delle parentesi. Una equazione si dice in forma normale se può essere scritta nel seguente modo:

\[ \begin{array}{l} f(x+nh) = F_{1}(x,f(x),f(x+h), \cdots, f(x+(n-1)h)) \\ \text{ oppure} \\ y_{k+n} = H_{1}(k,y_{k},y_{k+1}, \cdots, y_{k+n-1}) \end{array} \]

In genere utilizzeremo la notazione \(y_{k}\) oppure \(y(k)\), che risulta più semplice e intuitiva.
L’ordine di una equazione alla differenze finite è uguale alla differenza fra il massimo e il minimo indice degli argomenti presenti nell’equazione.

3.1) Soluzioni di un’equazione alle differenze finite

Una soluzione di un’equazione alle differenze finite di ordine \(n\) è una successione di valori \(y_{k}\) che rendono l’equazione un’identità. Se l’equazione è di ordine \(n\), si chiama soluzione generale una soluzione che contiene \(n\) costanti periodiche arbitrarie (con periodo \(h\)). Per determinare dei valori per queste costanti vengono imposte \(n\) condizioni al contorno indipendenti. In tal modo si ottiene una soluzione univoca.

Esercizio 3.1
Supponiamo \(h=1\). Consideriamo l’equazione

\[ \begin{array}{l} y_{k+2} – (a+b)y_{k+1} + aby_{k} = 0 \end{array} \]

Dimostrare che una soluzione dell’equazione è la seguente:

\[ \begin{array}{l} y_{k} = c_{1}(k)a^{k} + c_{2}(k)b^{k} \end{array} \]

dove \(c_{1}(k),c_{2}(k)\) sono funzioni periodiche di periodo \(h=1\).
Dimostrare che l’equazione può essere scritta utilizzando il simbolo delle differenze finite nel seguente modo:

\[ \begin{array}{l} \Delta^{2}y_{k} – (a+b-2)\Delta y_{k} + (ab-a-b+1)y_{k} = 0 \end{array} \]

Esercizio 3.2
Consideriamo la seguente funzione:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle y_{k}= \int\limits_{0}^{1}x^{k}e^{x-1}dx, \quad k \ge 0 \end{array} \]

Supponiamo \(h=1\). Dimostrare che soddisfa la seguente equazione alle differenze finite:

\[ \begin{array}{l} y_{k} + ky_{k-1}= 1 \end{array} \]

Calcolare i valori \(y_{0},y_{1}\).

Suggerimento
Effettuare l’integrazione per parti per calcolare l’integrale.
Soluzione: \(\left[y_{0}= 1 – \dfrac{1}{e}, y_{1}=\dfrac{1}{e}\right]\)

3.2) Scrittura mediante l’operatore di traslazione E

Ricordiamo l’operatore \(Ef(x) = f(x+h)\), oppure \(Ey_{k}=y_{k+1}\). Un’equazione alle differenze finite di ordine \(n\) può essere rappresentata mediante questo operatore:

\[ \begin{array}{l} H(k,y_{k},Ey_{k},E^{2}y_{k} \cdots, E^{n}y_{k})= 0 \end{array} \]

Esempio 3.1
Supponiamo \(h=1\). Sia data l’equazione di secondo grado

\[ \begin{array}{l} E^{2}y_{k} – 2Ey_{k} + y_{k} = 0 \end{array} \]

Verificare che una soluzione è la seguente:

\[ \begin{array}{l} y_{k} =c_{1} + c_{2}k \end{array} \]

dove \(c_{1},c_{2}\) sono funzioni periodiche di periodo \(h=1\).

3.3) Classificazione delle equazioni alle differenze finite

La classificazione delle equazioni alle differenze finite è simile a quella delle equazioni differenziali ordinarie. Una distinzione fondamentale è tra equazioni lineari e equazioni non lineari. Una equazione alle differenze finite di ordine \(n\) si dice lineare se ha la seguente forma:

\[ \begin{array}{l} a_{0}(k)E^{n}y_{k}+ a_{1}(k)E^{n-1}y_{k}+ a_{2}(k)E^{n-2}y_{k}+ \cdots + a_{n}(k)y_{k} = V(k) \\ \end{array} \]

Le equazioni che non hanno questa forma si chiamano non-lineari.
Per studiare le equazioni lineari è utile introdurre il seguente operatore lineare:

\[ \begin{array}{l} \psi(E) =a_{0}(k)E^{n}+ a_{1}(k)E^{n-1}+ a_{2}(k)E^{n-2}+ \cdots + a_{n}(k) \end{array} \]

Grazie alla linearità l’equazione lineare può essere scritta in modo sintetico nel seguente modo:

\[ \begin{array}{l} \psi(E) y_{k} = V(k) \end{array} \]

Se \(V(k)=0\) l’equazione si dice omogenea.
Un’equazione lineare può essere a coefficienti costanti se i termini \(a_{i}(k)\) sono tutti costanti, cioè indipendenti da \(k\), altrimenti si dice a coefficienti variabili.

Esempio 3.2

\[ \begin{array}{|l|l|} \hline y_{k+2} -3 y_{k+1} + 10 y_{k} = 5k & \text{lineare ordine 2, coefficienti costanti, non omogenea} \\ \hline y_{k+1}^{2} -5 y_{k} = 0 & \text{non lineare ordine 1, omogenea} \\ \hline y_{k+2} + \cos y_{k}= 0 & \text{non lineare ordine 2, omogenea} \\ \hline y_{k+1} + ky_{k}= 2 & \text{lineare ordine 1, coefficienti variabili, non omogenea} \\ \hline \end{array} \]

4) Equazioni alle differenze finite lineari omogenee a coefficienti costanti

In questo paragrafo e nel successivo studieremo il caso più semplice, cioè le equazioni alle differenze finite lineari a coefficienti costanti. Una equazione lineare a coefficienti costanti di ordine \(n \) ha la seguente forma:

\[ \begin{array}{l} a_{0}E^{n}y_{k}+ a_{1}E^{n-1}y_{k}+ a_{2}E^{n-2}y_{k}+ \cdots + a_{n}y_{k} = V(k) \\ \psi(E) y_{k} = V(k) \end{array} \]

dove i coefficienti \(a_{j}\) sono indipendenti da \(k\).
Come per le equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti, conviene prima risolvere l’equazione omogenea e quindi trovare la soluzione dell’equazione completa non omogenea. Vale il seguente importante teorema:

Teorema 4.1- Principio di sovrapposizione
Sia data una equazione alle differenze finite lineare omogenea di ordine \(n\) a coefficienti costanti. Se \(g_{1}(k),g_{2}(k), \cdots,g_{n}(k)\) sono soluzioni dell’equazione omogenea, allora è una soluzione qualsiasi combinazione lineare delle funzioni stesse:

\[ \begin{array}{l} y_{k}= c_{1}g_{1}(k) + c_{2}g_{2}(k) + \cdots + c_{n}g_{n}(k) \end{array} \]

4.1) Equazioni alle differenze finite lineari omogenee del primo ordine a coefficienti costanti

Esercizio 4.1

\[ \begin{array}{l} y_{n} =a y_{n-1} \ ,\quad n \ge 1,\ a \neq 0 \end{array} \]

Dimostrare che, assumendo un valore iniziale \(y_{0}=A\), la soluzione generale dell’equazione è

\[ \begin{array}{l} y_{n}=Aa^{n} \end{array} \]

Suggerimento
Utilizzare il metodo di induzione matematica.

4.2) Equazioni alle differenze finite lineari omogenee a coefficienti costanti di ordine maggiore di \(1\)

Studiamo ora le equazioni alle differenze finite lineari di ordine maggiore di \(1\).

Criterio di indipendenza delle soluzioni
Un’equazione alle differenze finite di ordine \(n\) omogenea ha \(n\) soluzioni linearmente indipendenti. Naturalmente se si trovano \(n\) soluzioni bisogna verificare che siano effettivamente indipendenti.
Ricordiamo che un insieme di \(n\) funzioni \(\{g_{1}(k), g_{2}(k),, \cdots, g_{n}(k)\}\) sono linearmente dipendenti se esistono \(n\) costanti \(\{c_{1},c_{2}, \cdots,c_{n}\}\) non tutte nulle tali che risulti identicamente

\[ \begin{array}{l} c_{1}g_{1}(k) +c_{2}g_{2}(k) + \cdots + c_{n}g_{n}(k) = 0 \end{array} \]

Un insieme di \(n\) soluzioni indipendenti si chiama un insieme fondamentale di soluzioni.
Le soluzioni di un’equazione alle differenze finite lineare omogenea a coefficienti costanti formano uno spazio vettoriale. La dimensione dello spazio vettoriale è uguale all’ordine dell’equazione.

Esempio 4.1
Le funzioni \(g_{1}(k)=k,\ g_{2}(k)=k^{2},\ g_{3}(k)=k^{2}+ k\) sono dipendenti in quanto \(g_{3}(k) = g_{1}(k) + g_{2}(k)\). Come costanti si possono prendere valori che soddisfano \(c_{1}=c_{2}=-c_{3}\).
Le funzioni \(g_{1}(k)=k,\ g_{2}(k)=k^{2},\ g_{3}(k)=k^{3}\) sono indipendenti.
Per verificare l’inidipendenza di un insieme di soluzioni di un’equazione alle differenze finite lineare esiste un teorema simile a quello utilizzato per le soluzioni delle equazioni differenziali. Al posto del determinante Wronskiano viene utilizzato il determinante di Casorati.

Definizione 4.1 – Matrice di Casorati (1835-1890)
Date \(n\) funzioni \(\{g_{1}(k),g_{2}(k),\cdots, g_{n}(k) \}\), si chiama matrice di Casorati nel punto \(k\) la seguente:

\[ C(g_{1},g_{2}, \cdots,g_{n})(k) = \begin{pmatrix} g_{1}(k) & g_{2}(k) & \cdots & g_{n}(k) \\ g_{1}(k+1) & g_{2}(k+1) & \cdots & g_{n}(k+1) \\ \vdots \\ g_{1}(k+n-1) & g_{2}(k+n-1) & \cdots & g_{n}(k+n-1) \\ \end{pmatrix} \]

Si chiama determinante di Casorati il determinante della matrice sopra definita.

Esempio 4.2
Consideriamo l’insieme delle funzioni \(\{1,k,k^{2},k^{3}\}\). Il determinante della matrice di Casorati nel punto \(k=0\) è

\[ \det C(1,k,k^{2},k^{3})(0) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 &8\\ 1 & 3 & 9 &27 \end{vmatrix} \]

È un determinante di Vandermonde (vedi articolo su questo sito). Dimostrare che il determinante è uguale a \(12\). Dimostrare che nel caso generale si ha

\[ \det C(1,k,k^{2},\cdots,k^{n})(0) = \prod\limits_{j=0}^{n}j! \]

Il determinante di Casorati \(\det C(g_{1},g_{2}, \cdots,g_{n})(k)\) in generale assume valori diversi in funzione dell’argomento \(k\). Tuttavia ha la proprietà invariante di essere sempre diverso da zero oppure sempre uguale a zero. Il seguente teorema fornisce un criterio utile per verificare se \(n\) funzioni sono linearmente indipendenti.

Teorema 4.2
L’insieme delle funzioni \(\{g_{1}(k),g_{2}(k),\cdots, g_{n}(k)\}\) è linearmente indipendente se e solo se il seguente determinante di Casorati è diverso da zero:

\[ \det C(g_{1},g_{2}, \cdots,g_{n})(0) = \begin{vmatrix} g_{1}(0) & g_{2}(0) & \cdots & g_{n}(0) \\ g_{1}(1) & g_{2}(1) & \cdots & g_{n}(1) \\ \vdots \\ g_{1}(n-1) & g_{2}(n-1) & \cdots & g_{n}(n-1) \\ \end{vmatrix} \neq 0 \]

4.3) L’equazione caratteristica

Per semplicità ci limitiamo a studiare il caso particolarmente importante di equazioni omogenee a coefficienti costanti di ordine \(2\). Tuttavia il ragionamento può essere esteso facilmente alle equazioni di ordine \(n \gt 2\). Consideriamo l’equazione omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti

\[ \begin{array}{l} a_{0}y_{k+2}+ a_{1}y_{k+1}+ a_{2}y_{k}= 0 \end{array} \]

Proviamo con delle soluzioni della forma \(y_{k}=\lambda^{k}\), dove \(\lambda\) è un numero reale o complesso. Sostituendo abbiamo

\[ \begin{array}{l} a_{0} \lambda^{k+2} + a_{1} \lambda^{k+1} + a_{2}\lambda^{k} = \lambda^{k} (a_{0} \lambda^{2} + a_{1} \lambda^{1} + a_{2})=0 \end{array} \]

Quindi la funzione \(y_{k}=\lambda^{k}\) è una soluzione dell’equazione alle differenze finite omogenea di secondo grado a coefficienti costanti se \(\lambda\) soddisfa la seguente equazione algebrica:

\[ \begin{array}{l} a_{0}\lambda^{2} + a_{1}\lambda + a_{2}= 0 \end{array} \]

Come sappiamo una equazione algebrica di secondo grado può avere radici reali o complesse. Bisogna esaminare questi tre casi distinti, in funzione del valore del discriminante \(\Delta=a_{1}^{2}-4a_{0}a_{2}\).

A) Radici reali distinte (\(\Delta \gt 0\))
Supponiamo che il discriminante sia positivo, cioè \(\Delta \gt 0\). Allora esistono due soluzioni reali distinte \(\lambda_{1},\lambda_{2}\) dell’equazione caratteristica, quindi le seguenti due soluzioni distinte dell’equazione alle differenze finite:

\[ \begin{array}{l} y_{1}(k) = \lambda_{1}^{k} \\ y_{2}(k) = \lambda_{2}^{k} \end{array} \]

Quindi la soluzione generale è

\[ \begin{array}{l} y_{k} = c_{1}\lambda_{1}^{k} + c_{2}\lambda_{2}^{k} \end{array} \]

Si può dimostrare che le due soluzioni \(\lambda_{1}^{k}, \lambda_{2}^{k}\) sono indipendenti, calcolando il determinante di Casorati. Infatti il determinante Casoratiano dell’insieme delle due funzioni è:

\[ \det C(\lambda_{1}^{k}, \lambda_{2}^{k})(0) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ \lambda_{1} & \lambda_{2} \end{vmatrix} = \lambda_{2} – \lambda_{1} \neq 0 \]

Il determinante è diverso da zero in quanto le radici sono distinte.

Esercizio 4.2
Risolvere la seguente equazione lineare omogenea del secondo ordine

\[ \begin{array}{l} y_{k} = y_{k-1}+ 2y_{k-2} \quad \quad (k \ge 2) \end{array} \]

Soluzione: \(\left[y_{k}= c_{1}2^{k} + c_{2}(-1)^{k}\right]\)

B) Radici distinte complesse (\(\Delta \lt 0 \))
Anche in questo caso le soluzioni sono indipendenti. Tuttavia sappiamo che, se i coefficienti \(a_{0},a_{1},a_{2}\) sono reali, per ogni radice complessa \(\alpha + i \beta\) dell’equazione caratteristica esiste anche la soluzione coniugata \(\alpha – i \beta\). Quindi abbiamo le seguenti due soluzioni dell’equazione alle differenze finite \(y_{1}(k)=(\alpha + i \beta)^{k}\) e \(y_{2}(k)=(\alpha – i\beta)^{k}\) e anche la loro combinazione lineare:

\[ \begin{array}{l} y(k) = A (\alpha + i \beta)^{k} + B (\alpha – i \beta)^{k} \end{array} \]

Si può evitare l’uso dei numeri complessi mediante la formula di Eulero e il teorema de Moivre (vedi articolo su questo sito), utilizzando le funzioni trigonometriche seno e coseno:

\[ \begin{array}{l} \alpha \pm i \beta = R (\cos \theta \pm i \sin \theta) \\ R = \sqrt{\alpha^{2}+ \beta^{2}} \\ \theta = \arctan \dfrac{\beta}{\alpha} \\ (\alpha \pm i \beta)^{k} = R^{k} (\cos k\theta \pm i \sin k\theta) \end{array} \]

Quindi la soluzione generale può essere scritta nella seguente forma:

\[ \begin{array}{l} y(k) = R^{k}( c_{1}\cos k\theta + c_{2} \sin k\theta) \end{array} \]

Esercizio 4.3
Risolvere la seguente equazione lineare omogenea del secondo ordine:

\[ \begin{array}{l} y_{k+2}+ 2y_{k+1}+ 4y_{k}=0 \end{array} \]

Soluzione: \(\left[y_{k}=c_{1}2^{k} \cos \dfrac{2k\pi}{3}+ c_{2}2^{k} \sin \dfrac{2k\pi}{3}\right]\)

C) Radici multiple (\(\Delta = 0 \))
Supponiamo che il discriminante sia nullo, cioè \(\Delta = 0\). Allora esiste una unica radice \(\lambda\), con molteplicità doppia. L’unica radice è \(\lambda = \dfrac{-a_{1}}{2a_{0}}\). Quindi possiamo scrivere l’equazione caratteristica nella seguente forma:

\[ \begin{array}{l} a_{0}\lambda^{2} + a_{1}\lambda + a_{2}= \left(\lambda + \dfrac{a_{1}}{2a_{0}}\right)^{2}=0 \end{array} \]

Esercizio 4.4
Verificare che le due soluzioni dell’equazione alle differenze finite precedente sono le seguenti:

\[ \begin{array}{l} y_{1}(k) = \lambda^{k} \\ y_{2}(k) = k\lambda^{k} \end{array} \]

Soluzione
Sostituendo nell’equazione la prima funzione abbiamo

\[ \begin{array}{l} a_{0}\lambda^{k+2} + a_{1}\lambda^{k+1} + a_{2}\lambda^{k}= \lambda^{k}\left[a_{0}\lambda^{2} + a_{1}\lambda + a_{2}\right] = 0 \end{array} \]

Sostituendo nell’equazione la seconda funzione abbiamo

\[ \begin{array}{l} a_{0}(k+2)\lambda^{k+2} + a_{1}(k+1)\lambda^{k+1} + a_{2}k\lambda^{k}= \\ \lambda^{k}\left[k(a_{0}\lambda^{2} + a_{1} \lambda + a_{2}) + (2a_{0}\lambda + a_{1})\lambda \right] = 0 \end{array} \]

Quindi sono entrambe soluzioni.
Si può dimostrare che le due soluzioni sono indipendenti.

Esercizio 4.5
Risolvere la seguente equazione lineare omogenea del secondo ordine:

\[ \begin{array}{l} y_{k+2}- 2y_{k+1}+ y_{k}=0 \end{array} \]

Soluzione: \(\left[y_{k}=c_{1} + c_{2}k \right]\)

Possiamo riepilogare nella seguente tabella come trovare le soluzioni di un’equazione lineare omogenea di secondo grado \(y_{k+2}+ ay_{k+1} + by_{k}=0\) a coefficienti costanti, con equazione caratteristica \(\lambda^{2}+ a\lambda + b=0\), che ha radici \(\lambda_{1},\lambda_{2}\). In funzione del valore del discriminante \(\Delta = a_{1}^{2}-4a_{0}a_{2}\) abbiamo i seguenti casi:

\[ \begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \textbf{Delta} & \textbf{Radici} & \textbf{Soluzione 1} & \textbf{Soluzione 2} \\ \hline \Delta \gt 0 & \lambda_{1}, \lambda_{2} & y_{1}(k)=\lambda_{1}^{k} & y_{2}(k)=\lambda_{2}^{k} \\ \hline \Delta = 0 &\lambda_{1}=\lambda_{2} & y_{1}(k)=\lambda_{1}^{k} & y_{2}(k)=k \lambda_{1}^{k} \\ \hline \Delta \lt 0 &\lambda_{1},\lambda_{2} =R(\cos \theta \pm i \sin \theta) & y_{1}(k)=R^{k} \sin k \theta & y_{2}(k)=R^{k} \cos k \theta \\ \hline \end{array} \]

4.4) Esempi di equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti

Esempio 4.3 – Il problema dei conigli e i numeri di Fibonacci
Questo problema è contenuto nel libro ‘Liber abaci’ del 1202, scritto dal matematico italiano Leonardo Fibonacci. Il problema è il seguente: calcolare il numero di conigli vivi dopo \(n\) mesi, se si inizia con una coppia di conigli non fertile. Ogni coppia raggiunge la fertilità nel secondo mese e ogni coppia fa nascere una nuova coppia dopo il secondo mese. Ogni mese ciascuna coppia fertile di conigli si accoppia. Si suppone che i conigli non muoiano mai e non smettano di riprodursi. Nella seguente tabella sono indicate le coppie di conigli al passare dei mesi. 

Tabella numero di coppie di conigli nei mesi

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline \textbf{Mese} & \textbf{Coppie di conigli} \\ \hline 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 \\ \hline 2 & 1 \\ \hline 3 & 2 \\ \hline 4 & 3 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline 6 & 8 \\ \hline 7 & 13 \\ \hline 8 & 21 \\ \hline \end{array} \]

Indichiamo con \(F(n)\) il numero di coppie di conigli alla fine di \(n\) mesi. Dalla tabella si ricava la successione seguente:

\[ \begin{array}{l} 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34, \cdots \end{array} \]

La successione \(F(n)\) verifica la seguente equazione alle differenze finite:

\[ \begin{array}{l} F(0)=0, F(1)=1 \\ F(n) = F(n-1) + F(n-2) \quad \quad (n \gt 1 ) \end{array} \]

L’equazione caratteristica è

\[ \begin{array}{l} \lambda^{2} – \lambda – 1 = 0 \end{array} \]

con soluzioni \(\alpha = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) e \(\beta = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\).
La soluzione generale dell’equazione di Fibonacci è quindi

\[ \begin{array}{l} F(n) = c_{1} \left(\dfrac{1+ \sqrt{5}}{2}\right)^{n} + c_{2} \left(\dfrac{1- \sqrt{5}}{2}\right)^{n} \end{array} \]

Con le condizioni iniziali \(F(0)=0,F(1)=1\) possiamo determinare i valori della due costanti e abbiamo la formula di Binet:

\[ \begin{array}{l} F(n) = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left(\dfrac{1+ \sqrt{5}}{2}\right)^{n} – \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\dfrac{1- \sqrt{5}}{2}\right)^{n} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^{n}- \beta^{n}) \end{array} \]

Esercizio 4.6
Dimostrare che vale la seguente formula:

\[ \begin{array}{l} \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{F(n+1)}{F(n)}= \alpha \approx 1,618 \end{array} \]

Il numero \(\alpha\) è chiamato numero aureo.

Esempio 4.4
Un giocatore effettua una serie di scommesse contro un avversario. La probabilità che il giocatore vinca \(1\) euro in una prova è uguale a \(q\) e la probabilità di perdere \(1\) euro è \(p=1-q\), con \(0 \le p,q \le 1\). Il gioco termina se il giocatore perde tutto il suo capitale oppure se raggiunge il capitale di \(N\) euro. Indichiamo con \(P(n)\) la probabilità che il giocatore venga rovinato, se inizialmente possiede \(n\) euro. Per trovare una espressione analitica per la funzione \(P(n)\) scriviamo la relazione ricorsiva che la stessa funzione soddisfa. Abbiamo due ipotesi: il giocatore può vincere la prossima partita con probabilità \(q\) e avere \(n+1\) euro, può perdere la prossima partita con probabilità \(p=1-q\) e avere \(n-1\) euro. Quindi possiamo applicare il teorema delle probabilità totali ottenendo la seguente relazione:

\[ \begin{array}{l} P(n) = q P(n+1) + (1-q)P(n-1) \end{array} \]

Si tratta di una equazione alle differenze finite lineare e omogenea a coefficienti costanti. L’equazione caratteristica è

\[ \begin{array}{l} \lambda^{2} – \dfrac{\lambda}{q}+ \dfrac{1-q}{q}= 0 \end{array} \]

Dobbiamo distinguere due casi. Supponiamo inizialmente \(q \neq \dfrac{1}{2}\). In questo caso esistono due radici distinte

\[ \begin{array}{l} \lambda_{1} = 1 \\ \lambda_{2} = \dfrac{1-q}{q} \end{array} \]

La soluzione generale dell’equazione alle differenze finite è quindi

\[ \begin{array}{l} P(n) = c_{1} + c_{2}\left(\dfrac{p}{q}\right)^{n} \quad \quad (q \neq \dfrac{1}{2}) \end{array} \]

Con le condizioni iniziali \(P(0)=1,P(N)=0\) la soluzione diventa

\[ \begin{array}{l} P(n) = \dfrac{\left(\dfrac{p}{q}\right)^{n} -\left(\dfrac{p}{q}\right)^{N}}{1 – \left(\dfrac{p}{q}\right)^{N}} \end{array} \]

Nel caso \(q=p=\dfrac{1}{2}\) l’equazione caratteristica ha due soluzioni coincidenti, \(\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=1\), e quindi la soluzione generale dell’equazione alle differenze finite è

\[ \begin{array}{l} P(n) = c_{1} + c_{2}n \end{array} \]

Con le condizioni iniziali \(P(0)=1,P(N)=0\) la soluzione diventa

\[ \begin{array}{l} P(n) = \dfrac{N-n}{N} \end{array} \]

Esercizio 4.7
Dimostrare che se \(q \le \dfrac{1}{2}\) si ha in ogni caso

\[ \begin{array}{l} \lim\limits_{N \to \infty}P(n) = 1 \implies \text{rovina certa} \end{array} \]

Esercizio 4.8
Trovare l’equazione alle differenze finite omogenea le cui soluzioni sono le seguenti:

\[ \begin{array}{l} c_{1}2^{k}+ c_{2}5^{k} \end{array} \]

Soluzione: \(\left[y_{k+2} – 7y_{k+1} + 10 y_{k}= 0 \right]\)

4.5) Metodo delle funzioni generatrici

Ricordiamo brevemente anche il metodo delle funzioni generatrici, che è utile per calcolare la soluzione di equazioni alle differenze finite lineari omogenee a coefficienti costanti.

Definizione 4.2
Data una successione \(a_{n}\) di numeri reali, la funzione generatrice ordinaria associata è la seguente funzione:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle G(t)= \sum\limits_{k=0}^{\infty}a_{k}t^{k} \end{array} \]

Ad esempio la funzione generatrice associata ai coefficienti binomiali è

\[ \begin{array}{l} \displaystyle G(t)= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n}t^{n}=(1+t)^{k} \end{array} \]

Ricordiamo che \(\displaystyle\binom{k}{n}=0\) se \(k \lt n\).
Consideriamo ora una funzione \(y=f(x)\) definita sui punti \(x_{k}\) con valori \(y_{k}=f(x_{k})\). Una funzione \(G(t)\) è la funzione generatrice ordinaria della funzione \(y=f(x)\) se la sua espansione in serie di potenze di \(x\) è la seguente:

\[ \begin{array}{l} G(t)= \sum\limits_{k=0}^{\infty}y_{k}t^{k}= f(x_{0}) + f(x_{1})t + f(x_{2})t^{2} + \cdots + f(x_{k})t^{k}+ \cdots \end{array} \]

Esempio 4.5
Ricordiamo la successione dei numeri di Fibonacci:

\[ \begin{array}{l} F_{k}= F_{k-1}+ F_{k-2} \ ,\quad k \ge 2 \\ F_{0}=0,\ F_{1}= 1 \end{array} \]

Consideriamo la serie

\[ \begin{array}{l} F(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} F_{n}x^{n}= 1+ x + 2x^{2}+ 3x^{3}+ 5x^{4}+ \cdots \end{array} \]

Verificare la seguente formula:

\[ \begin{array}{l} F(x) = xF(x) + x^{2}F(x) + 1 \\ F(x) = \dfrac{1}{1-x-x^{2}} \end{array} \]

Quindi la funzione generatrice dei numeri di Fibinacci è la funzione \(F(x)\).
Vediamo con un esempio come risolvere un’equazione alle differenze tramite il metodo delle funzioni generatrici.

Esercizio 4.9
Trovare la soluzione della seguente equazione alle differenze finite con le condizioni iniziali:

\[ \begin{array}{l} y_{k+2} – 3y_{k+1} + 2y_{k} = 0 \\ y_{0}=1,\ y_{1}= 2 \end{array} \]

Suggerimento
Moltiplicare l’equazione per \(t^{k}\) e quindi determinare la \(G(t)\) a partire dalla seguente formula:

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{k=0}^{\infty}y_{k+2}t^{k}- 3 \sum\limits_{k=0}^{\infty}y_{k+1}t^{k}+2 \sum\limits_{k=0}^{\infty}y_{k}t^{k}= 0 \end{array} \]

Semplificando si trova

\[ \begin{array}{l} G(t) = \dfrac{y_{0}+(y_{1}-3y_{0})t}{1-3t + 2t^{2}} \end{array} \]

Quindi espandere la funzione in serie di potenze.
Soluzione: \([y_{k}=2^{k}]\)

Esercizio 4.10

\[ \begin{array}{l} y_{k} – 5y_{k-1}+ 6y_{k-2}= 0, \quad k \ge 2 \\ y_{0}= 1,\ y_{1}=-2 \end{array} \]

Soluzione
Posto \(F(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}y_{n}x^{n}\) dimostrare la seguente formula:

\[ \begin{array}{l} F(x) = \dfrac{1-7x}{1-5x+6x^{2}}= \dfrac{5}{1-2x} – \dfrac{4}{1-3x} \end{array} \]

Quindi, sfruttando la formula della serie geometrica \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{n}= \dfrac{1}{1-x}\), dimostrare che i coefficienti della serie valgono

\[ \begin{array}{l} y_{k}= 5 \cdot 2^{k}- 4 \cdot 3^{k} \quad \quad (k \ge 0) \end{array} \]

Per approfondire le proprietà delle funzioni generatrici ordinarie vedere l’articolo su questo sito.

5) Equazioni alle differenze finite lineari non omogenee a coefficienti costanti

Un’equazione alle differenze finite lineare non omogenea a coefficienti costanti ha la seguente forma:

\[ \begin{array}{l} a_{0}E^{n}y_{k}+ a_{1}E^{n-1}y_{k}+ a_{2}E^{n-2}y_{k}+ \cdots + a_{n}y_{k} = V(k) \\ \psi(E) y_{k} = V(k) \end{array} \]

La procedura per trovare la soluzione generale dell’equazione lineare non omogenea consiste nei seguenti due passi:

• determinare la soluzione generale (chiamata soluzione complementare) \(y_{c}(k)\) dell’equazione omogenea;
• determinare una soluzione particolare \(y_{p}(k)\) dell’equazione non omogenea.

Vale il seguente teorema:

Teorema 5.1
La soluzione generale dell’equazione lineare non omogenea è data dalla somma della soluzione complementare e di una soluzione particolare:

\[ \begin{array}{l} y_{k} = y_{c}(k) + y_{p}(k) \end{array} \]

Dimostrazione
Ricordiamo che la soluzione generale dell’equazione non omogenea è una espressione che contiene tutte le possibili soluzioni. Supponiamo che l’equazione omogenea abbia la soluzione generale

\[ \begin{array}{l} y_{c}(k)= c_{1}y_{1}(k) + c_{2}y_{2}(k) + \cdots + c_{n}y_{n}(k) \end{array} \]

Le soluzioni dell’equazione omogenea formano uno spazio vettoriale. Quindi dando valori opportuni alle costanti \(c_{j}\) si ottengono tutte le possibili soluzioni.
Al contrario le soluzioni dell’equazione non omogenea non formano uno spazio vettoriale. Date due soluzioni particolari dell’equazione non omogenea \(y_{p}(k), y_{q}(k)\) la somma non è una soluzione. Tuttavia la differenza è una soluzione. Quindi ricapitolando abbiamo

\[ \begin{array}{l} \psi(E) y_{c}(k) = 0 \\ \psi(E) y_{p}(k) = V(k) \\ \psi(E) y_{q}(k) = V(k) \\ \psi(E) (y_{q}(k) – y_{p}(k)) = 0 \end{array} \]

La funzione \(y_{q}(k) – y_{p}(k)\) è una soluzione dell’equazione omogenea, quindi devono esistere delle costanti \(A_{1}, \cdots, A_{n}\) tali che

\[ \begin{array}{l} y_{q}(k) – y_{p}(k) = A_{1}y_{1}(k) + \cdots + A_{n}y_{n}(k) \end{array} \]

Quindi la soluzione \(y_{q}(k)\) è rappresentabile nel modo seguente:

\[ \begin{array}{l} y_{q}(k) = y_{c}(k) + y_{p}(k) \end{array} \]

Da questo deriva che una soluzione particolare dell’equazione non omogenea, sommata alla soluzione generale dell’equazione omogenea, è sufficiente per rappresentare tutte le possibili soluzioni.
Nel seguito studieremo alcuni metodi per trovare le soluzioni particolari delle equazioni alle differenze finite non omogenee a coefficienti costanti.

5.1) Equazioni non omogenee del primo ordine

Esercizio 5.1
Consideriamo la seguente progressione aritmetica:

\[ \begin{array}{l} y_{k+1} = y_{k}+ b \end{array} \]

Verificare che la soluzione generale è \(y_{k}=y_{0}+ kb\).

Esercizio 5.2
Consideriamo l’equazione seguente

\[ \begin{array}{l} y_{k+1} = ay_{k} + b \end{array} \]

dove \(a \neq 1\).
Dimostrare che la soluzione è

\[ \begin{array}{l} y_{k} = (y_{0} – \beta)a^{k} + \beta \end{array} \]

dove \(\beta = \dfrac{b}{1-a}\).
Dimostrare inoltre che

\[ \begin{array}{l} |a| \lt 1 \implies \lim\limits_{n \to \infty} y_{k} = \beta \\ |a| \gt 1 \implies \lim\limits_{n \to \infty} |y_{k}| = + \infty \end{array} \]

Il valore \(\beta\) è soluzione dell’equazione \(ay_{k}+ b = y_{k}\) ed è chiamato punto di equilibrio. Studieremo questi concetti in un articolo successivo dedicato ai sistemi dinamici discreti.

5.2) Equazioni non omogenee di ordine maggiore di \(1\)

Vediamo ora alcuni metodi per risolvere le equazioni di ordine maggiore di \(1\). Per semplicità ci limitiamo a studiare il caso particolarmente importante di equazioni non omogenee a coefficienti costanti di ordine \(2\).

Il metodo dei coefficienti indeterminati
Consideriamo l’equazione alle differenze finite lineare a coefficienti costanti non omogenea del secondo ordine:

\[ \begin{array}{l} a_{0}y_{k+2}+ a_{1}y_{k+1}+ a_{2}y_{k}= V(k) \end{array} \]

Il metodo consiste nel provare una soluzione che contiene una o più costanti arbitrarie. Si sostituisce questa possibile soluzione nell’equazione alle differenze finite e si cerca di determinare i valori delle costanti. Il metodo non è efficace per tutti i valori possibili del termine non omogeneo dell’equazione (termine noto). Tuttavia in molti casi importanti si riesce a determinare i valori delle costanti, e quindi a trovare una soluzione particolare. Alcuni casi importanti sono i seguenti nei quali il termine noto è una di queste funzioni:

• polinomio
• funzione esponenziale
• funzioni trigonometriche

La seguente tabella illustra la funzione di prova da utilizzare in funzione del termine noto dell’equazione non omogenea.

Tabella per scelta soluzione particolare equazione non omogenea

\[ \begin{array}{|l|l|} \hline \textbf{Termine noto V(k)} & \textbf{Funzione di prova } \\ \hline a^{k} & ca^{k} \\ \hline k^{n} & c_{0}+ c_{1}k + \cdots + c_{n}k^{n} \\ \hline k^{n}a^{k} & (c_{0}+ c_{1}k + \cdots + c_{n}k^{n})a^{k} \\ \hline \sin bk & c_{1}\sin bk + c_{2} \cos bk \\ \hline \cos bk & c_{1}\sin bk + c_{2} \cos bk \\ \hline a^{k}\sin bk & (c_{1}\sin bk + c_{2} \cos bk)a^{k} \\ \hline \end{array} \]

Vediamo ora alcuni esercizi.

Esercizio 5.3
Risolvere la seguente equazione con le condizioni al contorno:

\[ \begin{array}{l} y_{k} – y_{k-1} – 2y_{k-2} = 3^{k} \\ y_{1}= 0,\ y_{2}=1 \end{array} \]

Suggerimento
Risolvere prima l’equazione omogenea con il metodo dell’equazione caratteristica. Quindi provare una soluzione particolare dell’equazione non omogenea, mediante la funzione \(y_{p}(k)=A3^{k}\), dove \(A\) è una costante.

Soluzione: \(\left[y(k) = -\dfrac{13}{3}2^{k} – \dfrac{23}{12}(-1)^{k} + \dfrac{9}{4}3^{k}\right]\)

Esercizio 5.4
Trovare la soluzione generale dell’equazione non omogenea seguente:

\[ \begin{array}{l} y_{k+2} – 5y_{k+1} +6y_{k} = 2 \end{array} \]

Soluzione: \(\left[y(k) = c_{1}2^{k}+ c_{2}3^{k} +1 \right]\)

Esercizio 5.5
Trovare la soluzione generale dell’equazione non omogenea seguente:

\[ \begin{array}{l} y_{k+2} -y_{k} = k \cos \dfrac{k\pi}{2} \end{array} \]

Suggerimento
Per la soluzione particolare provare con una funzione del seguente tipo:

\[ \begin{array}{l} y_{p}(k)= (Ak + B) \cos \dfrac{k\pi}{2} + (Ck + D) \sin \dfrac{k\pi}{2} \end{array} \]

Soluzione: \(\left[y(k)= c_{1}+ c_{2}(-1)^{k}+ \dfrac{1}{2}\cos \dfrac{k\pi}{2}- \dfrac{1}{2}k\cos \dfrac{k\pi}{2}\right]\)

Il metodo di variazione dei parametri
Consideriamo l’equazione lineare a coefficienti costanti del secondo ordine

\[ \begin{array}{l} a_{0}y_{k+2}+ a_{1}y_{k+1}+ a_{2}y_{k}= V(k) \end{array} \]

Supponiamo che l’equazione omogenea abbia la soluzione generale

\[ \begin{array}{l} y_{k}= c_{1}y_{1}(k) + c_{2}y_{2}(k) \end{array} \]

Il metodo consiste nel sostituire le costanti arbitrarie \(c_{j}\) con delle funzioni \(c_{j}(k)\), sostituirle nell’equazione e cercare di determinare dei valori che soddisfano l’equazione. Quindi come soluzione particolare si prova la seguente:

\[ \begin{array}{l} y_{p}(k)= c_{1}(k)y_{1}(k) + c_{2}(k)y_{2}(k) \end{array} \]

dove \(y_{1}(k),y_{2}(k)\) sono soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione omogenea. Per determinare le funzioni \(c_{1}(k),c_{2}(k)\) si possono imporre due condizioni indipendenti. In genere si assumono le seguenti condizioni:

\[ \begin{array}{l} \Delta c_{1}(k)y_{1}(k+1) + \Delta c_{2}(k)y_{2}(k+1) = 0 \\ \Delta c_{1}(k)y_{1}(k+2) + \Delta c_{2}(k)y_{2}(k+2) = V(k) \end{array} \]

Esempio 5.1
Dimostrare che le due soluzioni \(c_{1}(k), c_{2}(k)\) hanno le seguenti espressioni:

\[ \begin{array}{l} c_{1}(k) =- \sum\limits_{i=0}^{k-1} \dfrac{V(i)y_{2}(i+1)}{C(i+1)} \\ c_{2}(k) = \sum\limits_{i=0}^{k-1} \dfrac{V(i)y_{1}(i+1)}{C(i+1)} \end{array} \]

dove \(C(i)\) è il determinante di Casorati:

\[ \det C(y_{1},y_{2})(i) = \begin{vmatrix} y_{1}(i) & y_{2}(i) \\ y_{1}(i+1) & y_{2}(i+1) \end{vmatrix} \]

Esercizio 5.6

\[ \begin{array}{l} y_{k+2}- 7y_{k+1} + 6y_{k} = k \end{array} \]

L’equazione omogenea si risolve facilmente mediante l’equazione caratteristica. La soluzione generale dell’equazione omogenea è

\[ \begin{array}{l} y_{c}(k) = c_{1} + c_{2}6^{k} \end{array} \]

Per trovare una soluzione particolare dell’equazione non omogenea calcoliamo il determinante di Casorati delle due soluzioni dell’equazione omogenea:

\[ \det C(y_{1},y_{2})(i) = \begin{vmatrix} 1 & 6^{i} \\ 1 & 6^{i+1} \end{vmatrix} = 6^{i+1}- 6^{i}=5 \cdot 6^{i} \]

A questo punto applichiamo le formule dell’esercizio precedente per determinare la soluzione particolare.

Soluzione: \(\left[y_{k}=c_{1}+ c_{2}6^{k}- \dfrac{k^{2}}{10} + \dfrac{3k}{50} – \dfrac{1}{125}\right]\)

Esercizio 5.7

\[ \begin{array}{l} 4y_{k+2} – 4y_{k+1}+ y_{k} = \dfrac{3}{2^{k}} \end{array} \]

L’equazione omogenea si risolve facilmente mediante l’equazione caratteristica. La soluzione generale è

\[ \begin{array}{l} y_{c}(k) = c_{1}2^{-k}+ c_{2}k2^{-k} \end{array} \]

Per trovare una soluzione particolare dell’equazione non omogenea calcoliamo il determinante di Casorati:

\[ \det C(y_{1},y_{2})(i) = \begin{vmatrix} 2^{-i} & i2^{-i} \\ 2^{-i-1} & (i+1)2^{-i-1} \end{vmatrix} = \\ (i+1)2^{-2i-1}- i2^{-2i-1}= 2^{-2i-1} \]

A questo punto applichiamo le formule dell’esercizio precedente per determinare la soluzione particolare.

Soluzione: \(\left[y_{k}=\left(c_{1} + c_{2}k + \dfrac{3}{2}k^{2}\right)2^{-k}\right]\)

6) Equazioni alle differenze finite lineari a coefficienti variabili

Un’equazione alle differenze finite lineare a coefficienti variabili ha la seguente forma:

\[ \begin{array}{l} a_{0}(k)E^{n}y_{k}+ a_{1}(k)E^{n-1}y_{k}+ a_{2}(k)E^{n-2}y_{k}+ \cdots + a_{n}(k)y_{k} = V(k) \\ \end{array} \]

dove i coefficienti \(a_{i}(k)\) dipendono dalla variabile intera \(k\). Anche per queste equazioni vale il teorema illustrato in precedenza, secondo il quale la soluzione generale \(y_{k}\) è data dalla soluzione generale dell’equazione omogenea (soluzione complementare) e di una soluzione particolare dell’equazione non omogenea:

\[ \begin{array}{l} y_{k} = y_{c}(k) + y_{p}(k) \end{array} \]

Per semplicità ci limitiamo ad analizzare esempi di equazioni del primo ordine.

6.1) Equazioni lineari omogenee del primo ordine a coefficienti variabili

Consideriamo l’equazione del primo ordine omogenea

\[ \begin{array}{l} y_{k+1} – a(k)y_{k}= (E-a(k))y_{k} = 0, \quad k \ge 0 \end{array} \]

dove i coefficienti \(a(k)\) non sono costanti, ma sono funzioni di \(k\). È facile verificare che la soluzione è

\[ \begin{array}{l} y_{k}= y_{0} \prod\limits_{I=0}^{k-1}a(i) \end{array} \]

Esempio 6.1

\[ \begin{array}{l} y_{k}= k y_{k-1}, \quad k \ge 1 \\ y_{0}= 1 \end{array} \]

La soluzione è \(y_{n}=n!\).

Esercizio 6.1
Consideriamo la seguente equazione:

\[ \begin{array}{l} y_{k+1} – \dfrac{2k+1}{2k+2}y_{k} = 0, \quad k \ge 0 \\ y_{0}= 1 \end{array} \]

Dimostrare che la soluzione generale è

\[ \begin{array}{l} \displaystyle y_{k}= \binom{2k}{k} \dfrac{1}{2^{2k}} \end{array} \]

6.2) Equazioni lineari non omogenee del primo ordine a coefficienti variabili

Un’equazione lineare non omogenea del primo ordine può essere scritta nel seguente modo:

\[ \begin{array}{l} y_{k+1} – a(k)y_{k}= (E-a(k))y_{k} = V_{k} \end{array} \]

dove i coefficienti \(a(k)\) non sono costanti, ma sono funzioni di \(k\).
Vale il seguente teorema:

Teorema 6.1
La soluzione generale dell’equazione non omogenea è:

\[ \begin{array}{l} y_{k}= p_{k} \left( y_{0} + \dfrac{V_{0}}{p_{1}}+ \dfrac{V_{1}}{p_{2}}+ \cdots + \dfrac{V_{k-1}}{p_{k}} \right) \\ p_{k}=a(0)a(1) \cdots a(k-1) \end{array} \]

Dimostrazione

\[ \begin{array}{l} y_{1}=a(0)y_{0} + V_{0} \\ y_{2}=a(1)y_{1} + V_{1}= a(0)a(1)y_{0} +a(1)V_{0} + V_{1} \\ y_{3}=a(2)y_{2} + V_{2}= a(0)a(1)a(2)y_{0} +a(1)a(2)V_{0} + a(2)V_{1}+ V_{2} \\ \vdots \end{array} \]

Esercizio 6.2
Trovare la soluzione della seguente equazione a coefficienti variabili:

\[ \begin{array}{l} y_{k+1} -ky_{k}=k \end{array} \]

Soluzione: \(\left[y_{k}= (k-1)! \left(y_{1} + \sum\limits_{i=0}^{k-2}\dfrac{1}{i!}\right)\right]\)

Esercizio 6.3
Consideriamo la seguente equazione finanziaria:

\[ \begin{array}{l} y_{k+1}= (1+r)y_{k} + P_{k} \end{array} \]

dove \(r\) è il tasso di interesse e \(P(k)\) è il deposito periodico. Determinare \(y_{k}\), cioè il capitale totale al tempo \(k\).
Soluzione
Prima risolvere l’equazione omogenea. Si trova la seguente soluzione complementare

\[ \begin{array}{l} y_{c}(k)= C(1+r)^{k} \end{array} \]

Quindi trovare una soluzione particolare dell’equazione non omogenea. Dimostrare che si trova la seguente soluzione:

\[ \begin{array}{l} y_{k}= C(1+r)^{k} + \sum\limits_{i=0}^{k-1}(1+r)^{k-1-i}P_{i} \end{array} \]

Nel caso particolare in cui i pagamenti sono costanti, cioè \(P_{i}=P\) per \(i=0,1,2,\cdots\), si trova la seguente classica formula della matematica finanziaria:

\[ \begin{array}{l} y_{k} = C(1+r)^{k} + P \left[\dfrac{(1+r)^{k}-1}{r}\right] \end{array} \]

7) ESERCIZI PROPOSTI

Esercizio 7.1

\[ \begin{array}{l} 2y_{k+2} – y_{k+1} – y_{k}= 0 \\ y_{0}= 0,\ y_{1}=1 \end{array} \]

Soluzione: \(\left[y_{k}=\dfrac{2}{3}- \dfrac{(-1)^{k}}{3 \cdot 2^{k-1} }\right]\)

Esercizio 7.2

\[ \begin{array}{l} y_{k+2} + 2y_{k+1} + 4y_{k}= 0 \end{array} \]

Soluzione: \(\left[y_{k}=2^{k}\left(c_{1}\cos \dfrac{2 \pi k}{3} + c_{2}\sin \dfrac{2 \pi k}{3}\right) \right]\)

Esercizio 7.3

\[ \begin{array}{l} y_{k+2} – 4y_{k+1} + 4y_{k}= 0 \end{array} \]

Soluzione: \(\left[y_{k}=2^{k}\left(c_{1} + c_{2}k \right) \right]\)

Esercizio 7.4

\[ \begin{array}{l} y_{k+1} = a y_{k} + c_{k+1} \\ y_{0}=c_{0} \end{array} \]

Soluzione: \(\left[y_{k}=c_{0}a^{k} +c_{1}a^{k-1} + \cdots +c_{k} \right]\)

Esercizio 7.5

\[ \begin{array}{l} y_{k+2} – 5y_{k+1} + 6 y_{k}=2 \end{array} \]

Soluzione: \(\left[y_{k}=c_{1}2^{k}+ c_{2}3^{k} + 1 \right]\)

Esercizio 7.6

\[ \begin{array}{l} y_{k+2} +y_{k+1} -12 y_{k}=k2^{k} \end{array} \]

Soluzione: \(\left[y_{k}=c_{1}3^{k}+ c_{2}(-4)^{k} – \dfrac{5}{18}2^{k}- \dfrac{1}{6}k2^{k} \right]\)

Esercizio 7.7

\[ \begin{array}{l} y_{k+1}- \dfrac{k+1}{t}y_{k}= 1 \\ y_{0}=1 \end{array} \]

Soluzione: \(\left[y_{k}=\dfrac{k!}{t^{k}} \left( 1+ t + \dfrac{t^{2}}{2!}+ \cdots + \dfrac{t^{k}}{k!}\right)\right]\)

Esercizio 7.8

\[ \begin{array}{l} y_{k+2}- 4 y_{k+1} + 8 y_{k}= 0 \end{array} \]

Soluzione: \(\left[y_{k}=c_{1}(2\sqrt{2})^{k}\cos \dfrac{k\pi}{4} +c_{2}(2\sqrt{2})^{k}\sin \dfrac{k\pi}{4}\right]\)

Esercizio 7.9

\[ \begin{array}{l} y_{k+2}- 4 y_{k+1} + 3 y_{k}= 2^{k} \end{array} \]

Soluzione: \(\left[y_{k}=c_{1}+ c_{2}3^{k} – 2^{k}\right]\)

Esercizio 7.10
Trovare una equazione alle differenze finite omogenea di ordine \(3\) la cui soluzione generale è

\[ \begin{array}{l} (a + bk + ck^{2})7^{k} \end{array} \]

Soluzione: \(\left[y_{k+3}-21y_{k+2}+ 147y_{k+1}- 343y_{k}=0\right]\).

Conclusione

In questo articolo abbiamo introdotto le proprietà fondamentali delle equazioni alle differenze finite, in particolare delle equazioni lineari, che sono le più facili da studiare e risolvere. Argomenti più avanzati per gli studenti interessati sono i seguenti:

• sistemi di equazioni alle differenze finite
• equazioni alle differenze finite non lineari, per le quali non esiste un metodo generale di soluzione come per le equazioni differenziali
• comportamento asintotico e stabilità delle soluzioni delle equazioni alle differenze finite
• approssimazione di equazioni differenziali

In un prossimo articolo studieremo le proprietà dei sistemi dinamici discreti, cioè sistemi il cui comportamento è regolato da equazioni alle differenze finite.

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Bibliografia

^[1]Bronson – Schaum’s Outline of Differential Equations (McGraw-Hill)

^[2]G. Boole – A Treatise on the Calculus of Finite Differences (Dover)

^[3]M. Spiegel – Schaum’s Outline of Calculus of Finite Differences and Difference Equations (McGraw Hill)

^[4]S. Goldberg – Introduction to Difference Equations (Dover)

^[5]Mendelson, Ayres – Schaum’s Outline of Calculus (McGraw-Hill)

^[6]D.E. Knuth – The Art of Computer Programming (Addison-Wesley)