Numero di Rettangoli contenuti in un Reticolo Quadrato

Consideriamo prima il caso di un reticolo di 10 quadrati di lunghezza unitaria. Prendiamo in considerazione un rettangolo con base di \(k\) quadrati consecutivi e altezza di \(h\) quadrati consecutivi. Il gruppo di \(k\) colonne consecutive della base può essere scelto in \(11-k\) modi differenti. In modo simile il gruppo di \(h\) righe consecutive dell’altezza può essere scelto in \(11-h\) modi differenti. Quindi il numero totale dei rettangoli di dimensioni \(k \times h\) è \((11-k)(11-h)\).
Ora i rettangoli con una data base fissata \(k\), possono avere altezza uguale a \(\{1,2, \cdots 10 \}\). Quindi in totale il numero dei rettangoli con base \(k\) è \( (11-k)(1+2+ \cdots +10)=55 (11-k)\).
Anche la base \(k\) può assumere i valori \(\{1,2, \cdots 10 \}\). Quindi il numero totale dei rettangoli è \(55(1+2+ \cdots 10)= 55 \cdot 55=3025\)
Per risolvere il caso generale con un reticolo di \(n\) quadratini, basta fare lo stesso ragionamento. La soluzione è:

Il numero totale dei quadrati di lato uguale a \(k\) è \((n+1-k)^{2}\). Quindi ragionando in modo simile al problema precedente si trova che il numero totale dei quadrati è:

Ragionamento in modo simile ai problemi precedenti, si trova la seguente formula:

Come si può notare, il risultato coincide con il numero di rettangoli che si possono disegnare in un reticolo piano quadrato. Come utile esercizio provare a dimostrare che esiste una corrispondenza biunivoca tra i sottocubi contenuti nel reticolo cubico e i rettangoli contenuti nella scacchiera quadrata alla base del cubo stesso.